The course is an introduction to the regularity theory for free boundary and geometric variational problems. The focus is on the role of the monotonicity formulas in the analysis of the structure of nodal sets, free boundaries, and free discontinuitie and in the analysis of their singularities.

Martedì 18:00 - 20:00 e venerdì 18:00 - 20:00 (Aula Magna).

Prima lezione: Martedì 28/2/2023.

Le lezioni saranno trasmesse anche online sul gruppo teams del corso.

Durata: 15-18 lezioni da due ore.

Esame a seminario.
Una lista di argomenti sarà pubblicata sul sito del corso.

Part 1. Regularity theory for the one-phase Bernoulli problem.

We will provide a complete analysis of the free boundary for the one-phase problem. We will prove the optimal (Lipschitz) regularity of the solutions, and we will introduce the notions of blow-up sequences and blow-up limits, for which a key tool will be the Weiss monotonicity formula. We will show how to decompose the free boundary into a “regular set” and a “singular set” and we will prove that the “regular set” is a smooth manifold via an epsilon-regularity theorem. We will then introduce Federer’s dimension reduction principle, based on the monotonicity formula, in order to estimate the dimension of the “singular set”. We will then show that in dimension 2 and 3 the singular set is always empty and we will prove that in dimension 2 the free boundary is analytic.

Part 2. Two-phase problems and Alt-Caffarelli-Friedman’s monotonicity formulas.

We will discuss the celebrated Alt-Caffarelli-Friedman monotonicity formula and its application to the regularity of the solutions of the two-phase Bernoulli problem, as well as its applications to the optimal partition problem and to the regularity of the solutions of elliptic PDEs.

Part 3. Almgren frequency function and unique continuation.

The aim is to discuss Almgren’s frequency function for solutions to elliptic PDEs and to show how it can be used to study the structure of their nodal sets. We will show for instance how to deduce the unique continuation property (which in its classical form is the fact that the nodal set has an empty interior) for Schrodinger operators.

Lezione 1 (B.V.) - martedì 28/02/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Il problema di Bernoulli ed il funzionale di Alt-Cafarelli. Esistenza di minimi, positività, limitatezza e subarmonicità. Formula della media e definizione puntuale di una funzione di Sobolev subarmonica. Stima del Laplaciano e continuità Lipschitz dei minimi del funzionale a una fase.

Lezione 2 (B.V.) - giovedì 02/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Non-degenerazione delle soluzioni. Stime di densità dell'insieme di positività. Convergenenza uniforme delle successioni di blow-up.

Lezione 3 (B.V.) - martedì 07/02/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Convergenza forte delle successioni di blow-up. Convergenza degli insiemi di positività. I limiti di blow-up sono minimi globali. Formula di monotonia di Weiss. Omogeneità dei limiti di blow-up. Classificazione dei blow-up in dimensione due.

Lezione 4 (B.V.) - giovedì 09/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Variazione prima del funzionale di Alt-Caffarelli e le sue conseguenze. Decomposizione della frontiera libera in parte regolare e parte singolare. Teorema di epsilon-regolarità (enunciato). Teorema di improvement-of-flatness (enunciato). L'improvement-of-flatness implica l'epsilon-regolarità (con dimostrazione).

Lezione 5 (B.V.) - giovedì 16/03/2023, dalle 18:00 alle 20:00.
Soluzioni del problema a una fase in senso di viscosità. I minimi sono soluzioni viscose. Improvement of flatness: idea della dimostrazione. Partial Harnack inequality: prima parte della dimostrazione (il caso in cui la palla di raggio 1/10 è conenuta nell'insieme di positività).