The course is an introduction to the regularity theory of harmonic maps. The focus is on the regularity theory for energy-minimizing harmonic maps with values in smooth manifolds and in singular spaces. Several applications will also be discussed.

Martedì 16:00 - 18:00 e mercoledì 16:00 - 18:00

Prima lezione: Martedì 04/03/2025 (Aula Magna).

Durata: 16 lezioni da due ore.

Esame a seminario.

Harmonic maps and existence of two-dimensional minimal surfaces with prescribed boundary - the theorem of Douglas and Rado.

Inner and outer variation of the Dirichlet energy funcitonal. Monotonicity formula for energy-minimizing maps. Regularity of area-minimizing harmonic maps with two-dimensional domains. Examples of area-minimizing harmonic maps with singularities in zero. Federer's dimension reduction principle for energy-minimizing maps - estimate on the dimension of the singular set. Existence and non-existence of homogeneous energy-minimizing maps - the role of the curvature of the co-domain.

Energy-minimizing maps with values in singular negatively curved spaces. Segregation and optimal partition problems. Lipschitz regularity, Almgren's frequency function, and structure of the nodal sets.

L. Simon. Regularity Theory for Harmonic Maps

F.H. Lin, C. Wang. The Analysis of Harmonic Maps and Their Heat Flows

M. Giaquinta, L. Martinazzi. An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graphs

Lezione 1 (G.B.) - martedì 04/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Magna.
Formulazione del problema di Plateau alla Douglas-Radò, funzionale di Dirichlet invariate per trasformazioni conformi, Teorema di Courant-Lebesgue, trasformazioni di Mobius.

Lezione 2 (G.B.) - martedì 11/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Magna.
Teorema di compattezza sul bordo del disco, applicazione del metodo diretto per minimizzare il funzionale di Dirichlet, conformità della soluzione. Considerazioni finali sulla regolarità e possibili estensioni.

Lezione 3 (G.B.) - mercoledì 12/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Magna.
Introduzione alle mappe armoniche tra varietà Riemanniane, approccio intrinseco per definire il funzionale di Dirichlet, approccio estrinseco per studiare la regolarità. Esistenza del minimo, variazione interna e formula di monotonia.

Lezione 4 (G.B.) - martedì 18/03/2025, dalle 16:00 alle 18:, aula Magna.
Variazione esterna, definizione della nearest point projection map con le sue proprietà. Classificazione delle mappe armoniche: minimizzanti, stazionarie e debolmente armoniche.

Lezione 5 (G.B.) - mercoledì 19/03/2025, dalle 16:00 alle 18:, aula Magna.
La mappa x/|x| ha energia infinita in dimensione 2. In dimensione 2 non ci sono singolarità. Inizio dimostrazione della regolarità in dimensione 2 - se u è energy minimizing map, allora u è C^0,a per qualche a < 1/2.

Lezione 6 (G.B.) - martedì 25/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula N1.
Continuazione dimostrazione della regolarità in dimensione 2: se u è energy minimizing map, allora u è C^{0, a} per ogni a minore di 1.

Lezione 7 (G.B.) - mercoledì 26/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula N.
Conclusione dimostrazione della regolarità in dimensione 2: se u è energy minimizing map e u è C^0,a(B₁) per ogni a minore di 1, allora u è C^1,b(B_1/2) per qualche b minore di 1. Enunciato del teorema di epsilon-regolarità in dimensione m maggiore o uguale a 3 e differenze con dimensione 2. Se la varietà target è una curva liscia, ogni mappa u energy-minimizing è regolare per ogni dimensione m.

Lezione 8 (G.B.) - martedì 01/04/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
La funzione x/|x| è una energy-minimizing map in ogni dimensione m \geq 3. Uso delle mappe armoniche in problemi di cristalli liquidi e derivazione della "one-constant approximation" per l'energia di Onseen-Frank. Mappe armoniche come limite di soluzioni del problema di Ginzbug-Landau quando il parametro \eps \to 0.

Lezione 9 (B.V.) - martedì 29/04/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Continuità Holder in dimensione più alta e le sue coneguenze. La formula di monotonia con resto in dimensione m>2. La continuità Holder come conseguenza della disugiaglianza epiperimetrica. Dimostrazione della disuguaglianza epiperimetrica per funzioni zero-omogenee a valori nella varietà di arrivo e con oscillazione piccola.

Lezione 10 (B.V.) - mercoledì 30/04/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Convoluzioni con mollificatori a raggio variabile. Stime energetiche e stime L-infinito.

Lezione 11 (B.V.) - martedì 06/05/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Dimostrazione della disuguaglianza epiperimetrica in dimensione m=3 nel caso generale, ovvero sotto la condizione di energia di Dirichlet piccola. Dimostrazione del teorema di epsilon-regolarità in dimensione m=3.

Lezione 12 (B.V.) - mercoledì 07/05/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Riunioni.
Teorema di epsilon-regolarità in ogni dimensione m>2: la dimostrazione originale di Schoen e Uhlenbeck.

Lezione 13 (R.O.) - martedì 13/05/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Motivazioni per lo studio di mappe armoniche a valori in spazi singolari:
    - limite di problemi di competizione-diffusione. Gamma convergenza dei funzionali.
    - problemi di partizione ottima per autovalori. Equivalenza del problema di partizioni e del minimo del quoziente di Rayleigh per funzioni a valori in Σ.

Lezione 14 (R.O.) - mercoledì 14/5/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Preliminari su spazi metrici:
    - nozione di distanza intrinseca;
    - spazi di lunghezza e spazi geodetici;
    - nozione di curvatura nel senso di Alexandrov;
    - esempi.

Lezione 15 (R.O.) - lunedì 19/05/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Formula di monotonia di Almgren per mappe armoniche minimizzanti a valori in spazi a curvatura non-positiva e locale lipschitzianità (con dimostrazioni). Approccio di Gromov-Schoen.

Lezione 16 (R.O.) - mercoledì 21/05/2025, dalle 16:00 alle 18:00, aula Seminari.
Caso particolare di mappe armoniche minimizzanti a valori in Σ (problemi di segregazione). Definizione di frontiera libera (insieme nodale). Enunciato dei risultati noti sulla regolarità e struttura geometrica della frontiera libera. Idee e strumenti della dimostrazione.