Lezione 1 - giovedì 26/02/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
Introduzione al corso. Traccia sull'iperpiano di una funzione di Sobolev definita
sul semispazio superiore.
Disuguaglianza integrale di Minkowski, disuguaglianza di Hardy, e teorema di Gagliardo.
Esempio di una funzione in L2 che non è la traccia di una funzione di Sobolev.
Lezione 2 - venerdì 27/02/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Definizione di p-capacità di un sottoinsieme limitato di Rd.
Monotonia rispetto all'inclusione e proprietà di riscalamento.
Nel caso p>d tutti gli insiemi limitati hanno capacità nulla;
nel caso p=d tutti gli insiemi aperti limitati hanno la stessa capacità.
Definizione della p-capacità relativa.
Calcolo della p-capacità relativa, nel caso p=d,
di una palla di raggio r rispetto ad una palla concentrica di raggio R>r.
Nel caso p=d tutti gli insiemi aperti limitati hanno la stessa capacità.
Lezione 3 - giovedì 12/03/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
Composizione di funzioni di Sobolev con diffeomorfismi di classe C1.
Calcolo della 2-capacità di un segmento in dimensione d=2.
Calcolo della 2-capacità della deformazione di un segmento in dimensione d=2.
Subadditività della p-capacità relativa.
Limite della p-capacità relativa lungo successioni crescenti di insiemi.
Insiemi di capacità nulla - definizione.
L'unione numerabile di insiemi di capacità nulla è un insieme di capacità nulla.
Lezione 4 - venerdì 13/03/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di ricoprimento di Besicovitch.
Lezione 5 - giovedì 19/03/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
Definizione puntuale cap-quasi-ovunque delle funzioni di Sobolev.
Parte prima: stima capacitaria.
Lezione 6 - venerdì 20/03/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Definizione puntuale cap-quasi-ovunque delle funzioni di Sobolev.
Parte seconda: stima sulla capacità dell'insieme singolare del gradiente e conclusione.
Lezione 7 - giovedì 26/03/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
Ogni successione che converge fortemente in W1,p, con p>1 e p<=d, ammette una sottosucccessione che converge puntualmente cap-quasi-ovunque.
Quasi-continuità delle funzioni in W1,p con p>1 e p<=d.
Lezione 8 - venerdì 27/03/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Il ruolo della capacità nella definizione degli spazi W1,p0, per p>1 e p<=d, su insiemi aperti e su insiemi generali.
Misure esterne, misure Boreliane, teorema di Caratheodory -- richiami.
La sigma algebra degli insiemi misurabili per la p-capacità non contiene nessun insieme limitato di capacità non-nulla.
Lezione 9 - giovedì 02/04/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
Misura di Hausdorff - definizione e prime proprietà;
misura di Hausdorff e deformazioni Lipschitz;
la misura di Hausdorff è una misura esterna;
misura di Hausdorff 0-dimensionale nello spazio Euclideo di dimensione d;
misura di HAusdorff 1-dimensionale su R.
Controesempi alla semicontinuità della misura di Hausdorff rispetto alla convergenza di Hausdorff.
Lezione 10 - giovedì 16/04/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
La misura di Lebesgue e misura Hausdorff d-dimensionale sono uguali in Rd
- simmetrizzazione di Steiner e disuguaglianza isodiametrica.
Lezione 11 - venerdì 17/04/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
La misura di Lebesgue e misura Hausdorff d-dimensionale
sono uguali in Rd - conclusione della dimostrazione.
Capacità e misura di Hausdorff -
gli insiemi di misura di Hausdorff (d-p)-dimensionale in Rd hanno p-capacità nulla.
Lezione 12 - giovedì 23/04/2026, dalle 14:00 alle 16:00.
Capacità e misura di Hausdorff -
la dimensione di Hausdorff di un insieme in Rd di p-capacità nulla non supera d-p.
Lezione 13 - venerdì 24/04/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di Rademacher.
Formula dell'area per grafici Lipschitz - enunciato.
Lemma di esaurimento di insiemi misurabili con palle chiuse.
Lezione 14 - giovedì 07/05/2026, dalle 14:00 alle 15:30.
Formula dell'area per grafici di funzioni lineari.
Stima sulla proiezione del grafico di una funzione continua su un piano.
Dimostrazione della formula dell'area per grafici C1 - parte prima - stima dal basso della misura di Hausdorff del grafico.
Lezione 15 - venerdì 08/05/2026, dalle 16:00 alle 18:00.
Dimostrazione della formula dell'area per grafici C1 - parte seconda - stima dall'alto della misura di Hausdorff del grafico.
Formula dell'area per grafici Lipschitz.