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------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 1 Un punto si muove su una retta in modo che la distanza dal punto iniziale è proporzionale al quadrato del tempo percorso. In due minuti percorre dodici metri. Si trovi la velocità media: a- nei primi cinque minuti, b- tra il quarto minuto e il settimo.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2 a- Calcolare le derivate delle seguenti funzioni
b- Calcolare
se
,
e se
calcolare
.
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ESERCIZIO n. 3 a- Si trovi la tangente nel punto dell'insieme
di punti del piano definito da
b- Si trovino le tangenti nel punto dell'insieme del piano
definito da
.
c- Si trovi l'angolo di incidenza in tra le due curve
,
.
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ESERCIZIO n. 4 a- Si provino le relazioni
,
.
b- Si provi che per si ha
,
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 5 Si studino i grafici delle seguenti funzioni
.
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ESERCIZIO n. 6 a- Si studi la derivabilità della funzione
definita da
se
, e nulla per
.
b- Si studi la derivabilità della funzione
definita da
se
, e nulla per
.
* c- Sia
se
,
.
Si provi che esiste
ed è
strettamente positiva, ma la funzione non è crescente
in nessun intervallo contenente
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 a- Tra i triangoli rettangoli di ipotenusa di lunghezza assegnata quali hanno area massima?
b- Si trovi il rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani, interamente contenuto in
di area massima.
c- Tra i prismi regolari a base triangolare di volume assegnato
quali rendono minima l'area superficiale?
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Si calcolino se esistono i seguenti limiti:
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ESERCIZIO n. 9 Sia
. a - Si provi che
è continua su
.
b - Si provi che le derivate di in
sono del
tipo funzione razionale moltiplicato
.
c - Si provi che è derivabile infinite volte in
.
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ESERCIZIO n. 10 a- Si provi che la derivata del prodotto di
funzioni è la somma dei prodotti delle derivate di ognuna delle funzioni
per le rimanenti funzioni:
a - Si provi
b- Si supponga che la funzione abbia
derivate nel punto
e che la funzione
abbia
derivate in
. Si provi che la funzione
composta
ha
derivate nel punto
.
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ESERCIZIO n. 11 a- Sapendo che è una funzione con la derivata prima e seconda
continue e sapendo che
quando
si
calcolino
,
,
.
* b- Si provi che se su un intervallo
allora
assume tutti valori compresi tra il suo estremo superiore e il suo estremo inferiore
sull'intervallo
. In particolare la funzione
non potrà avere discontinuità
di tipo ``salto''.
(Si consideri un'opportuna funzione che abbia come valori i coefficienti angolari
delle corde sul grafico di
ed un estremo nei punti
nella prima metà
dell'intervallo
, ed un estremo in
nella seconda parte).
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ESERCIZIO n. 12 a- Si disegni la curva
.
b- Si disegni a curva
.
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ESERCIZIO n. 13 Sia
. Soprovi che la funzione è bigettiva da
in se. Detta
la sua inversa si calcoli
.
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ESERCIZIO n. 14 a-
Sia
. Si provi che è bigettiva da
in se.
b- Detta l'inversa di
si provi che
quando
.
* c- si determini esplicitamente una funzione per cui
quando
. (Si provi
).
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ESERCIZIO n. 15 Si scriva come differenza di due funzioni convesse.
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ESERCIZIO n. 16 Si consideri l'equazione
.
Si provi che ha una sola soluzione positiva
. Si provi che
.
Si provi che
. Usando la convessità di
si provi inoltre
che
.
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ESERCIZIO n. 17 Si mostri che le uniche funzioni per cui
sono le funzioni
.
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ESERCIZIO n. 18
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ESERCIZIO n. 19
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ESERCIZIO n. 21
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ESERCIZIO n. 22
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ESERCIZIO n. 23