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ESERCIZIO n. 1 Usando la definizione di limite si mostri che quando
si ha
.
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ESERCIZIO n. 2 Si calcolino per
i limiti delle seguenti successioni al variare dei parametri
:
.
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ESERCIZIO n. 3 a-
Si provi che
(diseguaglianza
tra media aritmetica e media geometrica).
b- Si provi che per si ha
.
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ESERCIZIO n. 4 a- Si provi che se
allora la
media geometrica e la media aritmetica dei primi
termini tendono ad
per
.
b- Si provi che se
allora
tende a
se
a
se
.
c- Si mostri con diversi esempi che se la successione
può: convergere a
, a
, ad un numero
diverso da
, o non convergere affatto.
d- Si provi che se
allora
.
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ESERCIZIO n. 5 Calcolare
per i limiti di:
.
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ESERCIZIO n. 6 Calcolare
per i limiti di:
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 7 Calcolare
per i limiti di:
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 8 Calcolare
per i limiti di:
.
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ESERCIZIO n. 9 Calcolare
per i limiti di:
.
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ESERCIZIO n. 10 Studiare la convergenza delle serie:
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 11 Studiare la convergenza delle serie:
.
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ESERCIZIO n. 12 Studiare la convergenza delle serie:
.
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ESERCIZIO n. 13 Si provi che
non converge.
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ESERCIZIO n. 14 a- Si provi
per
.
b- Si provi che
,
per
.
c-
.
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ESERCIZIO n. 15 Per quali convergono rispettivamente le serie:
.
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ESERCIZIO n. 16 Si considerino le successioni
, e
.
Si provi che sono monotone, se ne calcolino
i limiti
e
e si studino le serie
,
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 17 Si calcolino i seguenti limiti di funzione:
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 18 Si calcolino i limiti delle seguenti funzioni:
.
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ESERCIZIO n. 19 Si calcoli usando la definizione
.
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Definizione - Una funzione si dice Lipschitziana se esiste
una costante
per cui
. Ovvero i rapporti incrementali sono limitati.
- Dato , una funzione
si dice
-Hölderiana
se esiste una costante
per cui
.
- Una funzione si dice uniformemente continua se
.
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ESERCIZIO n. 21 a- Una funzione è uniformemente continua se e solo se
per ogni coppia di successioni
,
se
allora anche
.
(Si noti che non si richiede che le successioni convergano)
b- Teorema Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente cont.
c- Una funzione continua che ha limite all'infinito è uniformemente continua.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 22 a - Le funzioni Hölderiane e Lipschitziane sono uniformemente continue.
b- Il grafico di una funzione Lipschitziana si trova sempre
compreso tra due rette di pendenza e
centrate in un qualsiasi
punto del grafico stesso.
c- Si mostri che
è
-Hölderiana ma non Lipschitziana.
d- Si mostri che
è Lipschitziana, ma
non lo è.
e- Si trovino funzioni Lipschitziane ma non Hölderiane. Su quali intervalli una funzione Lipschitziana è anche Hölderiana?
f- Si trovi una funzione uniformemente continua
ma non Hölderiana.
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ESERCIZIO n. 23 Si provi che la funzione
ha massimo su
ma non ha minimo.