Corso di Laurea in Scienze Geologiche, A.A. 2003-2004, Matematica 30 ottobre 2003
Definizione: - Si dice rango di una matrice il numero massimo per cui una sottomatrice quadrata con tale dimensione ha determinante non nullo.
Definizione: Se
è una matrice con
righe ed
la matrice trasposta è
. Quindi la trasposta di una
matrice con una riga ed
colonne
sarà
, con
colonne ed una riga.
NOTAZIONE: un elemento di considerato come vettore
(di spostamento ovvero velocità etc. )
su cui si agisce conviene scriverlo come matrice con
righe ed una colonna.
Se si considera come matrice relativa ad un'applicazione
lineare da
ad
(come vettore che agisce come
forza
Corso di Laurea in Scienze Geologiche, A.A. 2003-2004, Matematica 30 ottobre 2003
Definizione: - Si dice rango di una matrice il numero massimo per cui una sottomatrice quadrata con tale dimensione ha determinante non nullo.
Definizione: Se
è una matrice con
righe ed
la matrice trasposta è
. Quindi la trasposta di una
matrice con una riga ed
colonne
sarà
, con
colonne ed una riga.
NOTAZIONE: un elemento di considerato come vettore
(di spostamento ovvero velocità etc. )
su cui si agisce conviene scriverlo come matrice con
righe ed una colonna.
Se si considera come matrice relativa ad un'applicazione
lineare da
ad
(come vettore che agisce come
ovvero impulso etc. ) come matrice con una riga e
colonne.
Nel primo caso le coordinate generiche vengono scritte con indici in alto,
nel secondo con indici in basso.
- Questa convenzione si estende quando: si rappresenta una
funzione lineare da a
come azione di una matrice
con il prodotto (scalare) riga i
della matrice per colonna del vettore
dato per avere la i
componente del vettore risultato; quando si rappresenta la
composizione
di due funzioni lineari come prodotto righe per colonne
delle matrici ad esse
rispettivamente associate.
Esercizio: la relazione tra trasposto e prodottto righe per colonne
è
.
- Si dimostra che il rango di una matrice con righe ed
colonne
è la dimensione
dell'immagine dell'applicazione lineare
da
in
associata:
Definizione: - Il luogo di zeri di una funzione polinomiale
di secondo grado in variabili:
si dice quadrica. Se conica.
Una quadrica si dice non degenere se
.
Osservazione: Poiché:
, si assume che
, e quindi
, sia una
matrice simmetrica; i.e.
.
Osservazione: si é identificato
con
il sottospazio affine degli
con la prima coordinata eguale ad
:
. Conviene quindi osservare che
il gruppo affine su
puó essere identificato con
un sottogruppo, del gruppo lineare su
, che agisce su tale sottospazio
affine di
nel seguente modo: alla trasformazione affine
da
in se si associa l'azione della
matrice:
Nelle variabili
,
considerando che
, si ottiene
:
CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE CONICHE
Ogni conica puó essere trasformata in una delle seguenti con un
cambiamento di
coordinate affine del tipo
.
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||
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Parabola |
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rk
![]() ![]() |
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Parabola degenere | ![]() |
rk
![]() ![]() |
(![]() |
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||
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Parabola degenere (![]() |
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rk
![]() ![]() |
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|||
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C. doppiamente degenere |
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rk
![]() |
(![]() |
Una famiglia di invarianti classificante é quindi data da
,
,
,
.
CLASSIFICAZIONE AFFINE DELLE QUADRICHE NON DEGENERI
Ogni quadrica non degenere puó essere trasformata
in una delle seguenti con un cambiamento di
coordinate affine.
rk
![]() |
||
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Tipo ellisse-iperbole |
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Tipo parabola |
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QUADRICHE NELLO SPAZIO
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||
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Ellissoide |
![]() ![]() |
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Ellissoide immaginario |
![]() ![]() |
(![]() |
||
![]() |
Ellissoide degenere |
![]() ![]() |
(![]() |
||
![]() |
||
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Iperboloide iperbolico |
![]() ![]() |
ad una falda | ||
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Iperboloide ellittico |
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a due falde | ||
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Iperboloide degenere |
![]() ![]() |
(![]() |
||
![]() ![]() |
||
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Paraboloide ellittico | ![]() |
![]() |
||
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Paraboloide iperbolico | ![]() |
(![]() |
![]() |
|
![]() ![]() |
||
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Paraboloide degenere | ![]() |
(![]() |
||
![]() |
Cilindri su coniche non | ![]() |
degeneri con centro, | ||
eventualmente il vuoto | ||
![]() ![]() |
||
![]() |
Vuoto o piani paralleli | ![]() |
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Retta o piani incidenti | ![]() |
![]() ![]() |
||
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Piano``doppio'' | ![]() |