Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica
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El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1
a - Si studi la convergenza delle seguenti serie:
b - Stabilre se i seguenti integrali generalizzati sono convergenti:
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ESERCIZIO n. 2
a - Si provi che le serie di Taylor di centro 0 di
è convergente alla funzione stessa per
.
b - Si provi che le serie di Taylor di centro 0 delle funzioni
sono assolutamente convergenti per ogni
,
e
quindi che rispettivamente convergono alle funzioni di cui sono sviluppo.
c - Si provi che il resto dello sviluppo di Taylor in 0 di grado 2n+2della funzione
è in modulo minore di
.
(Per esempio si può usare la serie gometrica di ragione
-x2).
d - Si trovi una funzione la cui serie di Taylor in 0 converge per ogni
,
ma non converge alla funzione stessa.
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ESERCIZIO n. 3* Si pone
.
Si calcoli lo sviluppo di Taylor
in 0 della funzione
e si provi che
converge alla funzione stessa per
.
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ESERCIZIO n. 4 Si ocnsideri
.
a - Si provi che tale funzine può essere estesa con continuità a tutto
.
b*- Si studi la derivabiltà di tale estensione.
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ESERCIZIO n. 5
Posto
,
si studi il limite del rapporto
,
,
nei seguenti casi:
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ESERCIZIO n. 4 Sia
.
a - Si provi che
e quindi
,
.
b - Si deduca che
[Formula di
Wallis].
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ESERCIZIO n. 5
a - Si provi che
,
valutando
.
b - Si provi che
,
si dia
un interpretazione geometrica alla successione Dn mostrando tra l'altro che è
crescente.
c - Detto D il limite di Dn si provi che
.
d - Usando la formula di Wallis si provi che
e
quindi la formula di Stirling
.
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ESERCIZIO n. 6
a - Si consideri
,
.
Si provi che è ben definito e quindi che
per
.
b - Sia
,
.
Si provi che è
derivabile con derivata eguale a
.
c - Si studi il caso
.
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ESERCIZIO n. 7 Si considerino gli integrali
a) Si calcoli T(0) e si provi che per ogni
tali integrali sono finiti.
b) Si studi al variare di
il comportamento di
per
.
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ESERCIZIO n. 8
questioni numeriche
funzioni continue mai derivabili
insiemi di cantor
funzioni definite con integrali o serie
serie di errori di successioni definite per ricorrenza
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ESERCIZIO n. 9