Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica
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El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1
a - Si mostri che vi sono funzioni, da
in
,
che
trasformano ogni intervallo in un intervallo ma non sono continue.
b
- Si mostri che vi sono funzioni, da
in
,
che
trasformano ogni intervallo in un intervallo e non sono continue in alcun punto.
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ESERCIZIO n. 2
a - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha solo discontinuità di tipo salto.
b - Si provi che una funzione monotona definita su un intervallo ha al più un insiem numerabile di punti in cui non è continua.
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ESERCIZIO n. 3 Si provi che
limitata
è continua se e solo se
e
allora y=f(x).
Si mostri che ciò non è vero se f non è limitata.
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DEFINIZIONE f si dice uniformemente continua su I se e solo se
ovvero
TEOREMA:
Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è ivi uniformemente continua.
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ESERCIZIO n. 5
a - Si provi che
è
-hölderiana su
ma non lipschitziana.
b - Si provi che
e
non sono uniformemente continue su
e sono lipscitziane
sugli intervalli limitati.
c - Si provi che
,
,
è
uniformemente continua ma non è hölderiana.
d - Si provi che le funzioni hölderiane e lipschitziane sono uniformemente continue.
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ESERCIZIO n. 6
a -
è continua se e solo se per
ogni successione
di elementi di I si ha
.
b -
se e solo se date due successioni di elementi di Iper cui
si ha anche
.
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ESERCIZIO n. 7 Una funzione continua da
in se con limiti all'infinito è
uniformemente continua.
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ESERCIZIO n. 8 Al variare di
si studi l'hölerianità di
su
.
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ESERCIZIO n. 9 Una funzione f uniformemente continua da
in se è a crescita lineare (
).
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