Elementi di Analisi Matematica II, Anno Accademico 2002-2003, Matematica
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El. di An. Mat. I e II A.A. 2002/03
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ESERCIZIO n. 1
a - Calcolare i seguenti limiti senza usare le funzioni esponenziali e logaritmiche, cercando di usare la definizione di limite, diseguaglianze e le principali proprietà dei limiti:
;
,
(si provi inoltre che è
decrescente);
;
,
;
b - Calcolare gli stessi usando gli elementi di calcolo noti.
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ESERCIZIO n. 2 Calcolare i limiti delle seguenti successioni
;
;
;
;
,
,
,
,
,
,
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ESERCIZIO n. 3 Si provino le seguenti implicazioni, e si mostri che le implicazioni
inverse non sono vere.
a - bn >0,
esponenzialmente.
b - bn >0,
esponenzialmente.
c - an >0,
.
d - an >0,
.
e -
,
.
f * -
.
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ESERCIZIO n. 5 Si provi che
è decrescente
e che il suo estremo inferiore è non nullo.
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ESERCIZIO n. 6
a - Si provi per induzione
.
b - Utilizzando lo sviluppo di
Taylor per
si provi che per ogni
:
definitivamente
e
quindi definitivamente
è crescente.
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ESERCIZIO n. 7
Si calcoli il limite
di
.
Si valuti l'infinitesimo
.
Si provi che
ove:
Si provi che la successione
diverge. Si calcoli
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ESERCIZIO n. 8 * Studiare la convergenza della successione:
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ESERCIZIO n. 9
a - Dato M>0, studiare la convergenza
b * - Studiare la convergenza di
.
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ESERCIZIO n. 10 Si consideri la successione
,
.
a - Si provi che non converge.
b * - Quali sono tutti i valori limite di sottosuccessioni della successione data?
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ESERCIZIO n. 11 Una successione di numeri complessi
,
converge ad un numero complesso
se e solo se:
,
cioè se e solo se
.
Provare:
a -
e
e
.
b - se
,
.
(Si
assuma che
).