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1.a- Dire se esiste il limite
di
.
,
R.: NO
1.b- Si calcoli il differenziale della funzione
in
,
ove
,
.
Derivando
e calcolando in
si ottiene
,
,
,
.
R.:
1.c- Si calcoli il polinomio di Taylor del terzo ordine in
della funzione
.
Dagli sviluppi in una variabile in
,
.
Ma
per unicità del polinomio di Taylor:
R.:
2- Si calcolino i punti critici della funzione
specificando se si
tratta di punti di massimo o minimo relativo o meno.
Imponedo
,
si ha
e
. Quindi
,
e i punti
ove si annulla il differenziale sono
,
.
Inoltre
,
,
per cui sia la traccia che il determinante della matrice Hessiana sono
positivi
R.:
,
, p.ti di minimo
3- Si calcoli
per la funzione definita implicitamente in un intorno di
da
.
Il punto
verifica la condizione,
non si annulla nel punto
ove
è nulla. Quindi
è ben definita e