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Cammini. - Si dirà cammino una funzione continua
, ove
è un intervallo.
- Un cammino si dirà semplice se è iniettiva.
- Un cammino si dirà chiuso se è un intervallo chiuso
e
(in altri termini corrisponde ad
una funzione continua dalla circonferenza unitaria in
, ovvero una funzione
continua su
che sia
periodica).
- Un cammino si dirà semplice chiuso se è chiuso ed è iniettivo tranne che negli estermi (la funzione che induce sulla circonferenza è iniettiva) .
- Un cammino si dirà se è differenziabile con continuità
volte.
- Un cammino si dirà -
se è
e le sue prime
derivate sono cammini chiusi (ovvero induce una funzione su
che sia periodica
e
).
- Un cammino si dirà regolare se è differenziabile e
- Un cammino si dirà , ovvero regolare, a tratti,
se
è unione di un numero finito di intervalli su ognuno dei quali
è
, rispettivamente regolare.
Parametrizzazioni. I cammini possono avere la stessa immagine ma rappresentare modi diversi
di ``percorrerla'': e.g.
,
,
,
tutti hanno come immagine la circonferenza unitaria,
il primo la percorre una volta
con ``velocità '' in modulo costante eguale ad , il secondo
eguale a
, il terzo
la percorre due volte nello stesso senso, il quarto due volte in
senso differente.
- Volendo mettere in evidenza quante volte e in che verso
viene percorsa
l'immagine di un cammino piuttosto che ``quanto velocemente'' diremo
che due cammini
e
sono
equivalenti con la stessa orientazione
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Cammini. - Si dirà cammino una funzione continua
, ove
è un intervallo.
- Un cammino si dirà semplice se è iniettiva.
- Un cammino si dirà chiuso se è un intervallo chiuso
e
(in altri termini corrisponde ad
una funzione continua dalla circonferenza unitaria in
, ovvero una funzione
continua su
che sia
periodica).
- Un cammino si dirà semplice chiuso se è chiuso ed è iniettivo tranne che negli estermi (la funzione che induce sulla circonferenza è iniettiva) .
- Un cammino si dirà se è differenziabile con continuità
volte.
- Un cammino si dirà -
se è
e le sue prime
derivate sono cammini chiusi (ovvero induce una funzione su
che sia periodica
e
).
- Un cammino si dirà regolare se è differenziabile e
- Un cammino si dirà , ovvero regolare, a tratti,
se
è unione di un numero finito di intervalli su ognuno dei quali
è
, rispettivamente regolare.
Parametrizzazioni. I cammini possono avere la stessa immagine ma rappresentare modi diversi
di ``percorrerla'': e.g.
,
,
,
tutti hanno come immagine la circonferenza unitaria,
il primo la percorre una volta
con ``velocità '' in modulo costante eguale ad , il secondo
eguale a
, il terzo
la percorre due volte nello stesso senso, il quarto due volte in
senso differente.
- Volendo mettere in evidenza quante volte e in che verso
viene percorsa
l'immagine di un cammino piuttosto che ``quanto velocemente'' diremo
che due cammini
e
sono
se
,
continua, invertibile crescente
e quindi con inversa continua
- Se non si `einteressati ai versi di percorrenza
si può introdurre una nozione di equivalenza meno stringente
ammettendo riparametrizzazioni continue e strettamente monotone.
NOTA: se un cammino a tratti è regolare
sulle parti interne di
un numero finito di intervalli che ricoprono
allora è equivalente
a un cammino
-regolare a tratti
Curve I cammini solo continui possono avere immagini
non aderenti all'idea intuitiva di curva: si possono trovare cammini
che ricoprono l'intero quadrato
nel piano!
D'altronde un concetto geometrico che riguardi l'immagine di un cammino
se formalizzato in termini di cammini non deve dipendere da
parametrizzazioni equivalenti.
- Quindi in termini di cammini una curva orientata è la classe di equivalenza di cammini con un rappresentante regolare a tratti che tranne per un numero finito di parametri risulti iniettivo (che corrispondono ad un numero finito di ``autointersezioni'' dell'immagine).
Tangente Tranne un numero finito di punti un
insieme che può essere visto come immagine di una
parametrizzazione regolare a tratti del tipo precedente
ha una direzione tangente data dal versore tangente
.
In particolare poichè
dalla definizione di differenziabilità e per la diseguaglianza triangolare
si ha:
ovvero l'errore dato dall'approssimazione lineare è infinitesimo relativamente a ciò che si desidera misurare.
-superficie parametrica regolare - Si dice
-superficie
(parametrica) regolare una funzione
ove
è connesso, e
,
per cui:
i- la è restrizione di una funzione
su una perto
contenente
ii- i vettori
generano un sottospazio di dimenzione
in
: ovvero vi siano
indici
per cui
- Una superficie parametrica si dirà semplice se è iniettiva.
NOTA: una
che sia
intorno alla chiusura di
da naturalmente una
-superficie
che parametrizza il suo grafico
NOTA: il teorema del rango assicura che l'immagine di una superficie semplice è almeno localmente nel codominio un grafico.
- Come per le curve si ha che l'immagine di una
-superficie ha in ogni suo punto
un piano tangente dato da
al variare di
.
-varietà I teoremi del Dini e del rango rendono
la seguente definizione naturale, in quanto non tutti i luoghi di zeri possono
essere visti come immagine di una superficie regolare semplice:
- Un sottoinsieme di
si dice
-varietà se:
per ogni vi è un intorno
di
e una
i- e: o
ii- è
ed iniettiva
iii- è
- La famiglia
si dice sistema
di coordinate locali per
, mentre le
parametrizzazioni
locali.
NOTA: ogni risulta una
-superficie parametrica semplice:
il suo differenziale ha rango massimo poichè composto con quello
di
deve dare l'applicazione identica di
.
Lunghezza - Si dice lunghezza di un cammino
- La lunghezza di un cammino è eguale per cammini equivalenti.
- Un cammino si dice rettificabile se ha lunghezza finita.
NOTA: intuitivamente la lunghezza defita non corrisponde alla misura dell'immagine ma alla misura del percorso fatto: ciò accade per cammini semplici.
Teorema Se
è
a tratti
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Integrazione non orientata di funzioni su superficie parametrica
Sulla falsariga del teorema di cambiamento di variabile negli integrali multipli,
considerando la corrispondenza tra somma dei determinanti minori
di
vettori in
e
-volume del
-parellepipedo da essi generato
sembra naturale definire per una
-superficie
il suo
volume
come ``somma infinita'' dei
-volumi dei parellelpipedi ``infinitesimi''
dati dall'approssimazione lineare
NOTA: per una superficie semplice in effetti ciò corrisponde all'dea intuitiva di misura della sua immagine. Altrimenti tale nozione tiene conto delle diverse ``sovrapposizioni'' (su sottoinsiemi di misura non nulla del dominio) date dalla parametrizzazione.
- Data una funzione continua sull'immagine di una
-superficie
condominio misurabile si definisce
- Nel caso di ipersuperficie che sia un grafico
ovvero
e
, si ottiene:
- Nel caso di cammini, per i quali la definizione si estende direttamente
nel caso a tratti, si ottiene:
Propopsizione
.
- Se
è un cambiamento di variabile
regolare (con
e
misurabili e
iniettiva con differenziale invertibile )
dal teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli segue
che gli integrali rispetto a una superficie
su
sono eguali a quelli
rispetto alla superficie
NOTA: in particolare l'integrazioni di funzioni su un cammino non dipendono dall'orientazione relativa di riparametrizzazioni.
- Nel caso di un insieme
paramettrizzato da (che è immagine di ) una
-superficie semplice
ha senso scrivere
Integrazione su varietà Per integrare una funzione su una varietà
si espime questa come unione di immagini di parametrizzazioni locali,
ovvero si scrive la funzione come somma di funzioni nulle fuori dagli intorni in
cui la varietà è immagine di una parametrizzazione locale, si integra su queste
e si somma.
Volumi e aree di figure di rotazione: formule di Guldino
Domini semplicemente connessi cfr. app. seconda parte lez. X.