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Convergenza di successioni. Si dice che una successione
converge a
, e scriveremo
o
,
, se:
![]() |
- Se si ha
. Quindi una successione converge se e solo se le
successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono
rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere
le proprietà dei limiti in
.
- La propietà di completezza di viene estesa ad
grazie alla nozione di successione
di Cauchy:
![]() |
TEOREMA
Cauchy in ![]() ![]() ![]() |
Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione: cfr. Courant-John Vol.2 Cap. 1.1.
- Se
allora
si dice aperto
(chiuso) relativamente a
se vi è
aperto (risp. chiuso)
per cui
.
Limiti di funzioni. Se
,
di accumulazione per
,
e
, si dice che
converge a
per
che tende a
su
se:
![]() |
- ,
se e solo se per ogni
![]() |
- Se si ha
. Quindi una successione converge se e solo se le
successioni di numeri reali date dalle sue coordinate cartesiane convergono
rispettivamente alle componenti omologhe del suo limite. Questo permette di estendere
le proprietà dei limiti in
.
- La propietà di completezza di viene estesa ad
grazie alla nozione di successione
di Cauchy:
![]() |
TEOREMA
Cauchy in ![]() ![]() ![]() |
Aperti, chiusi, bordo, punti di accumulazione: cfr. Courant-John Vol.2 Cap. 1.1.
- Se
allora
si dice aperto
(chiuso) relativamente a
se vi è
aperto (risp. chiuso)
per cui
.
Limiti di funzioni. Se
,
di accumulazione per
,
e
, si dice che
converge a
per
che tende a
su
se:
![]() |
- ,
se e solo se per ogni
si ha
;
- se e solo se per ogni divisione di
in un numero finito di parti che abbiano
come punto di accumulazione
ha
limite in ognuna di queste parti e tali limiti sono tutti eguali ad
.
e.g.
,
,
,
:
ha limite
in
su
, ma non ha limite in
su
.
Limitati:
si dice (metricamente)
limitato se è contenuto
in una palla:
.
- Una funzione si dice limitata
su
se i valori di
su
formano
un insieme limitato.
- Se è un insieme non limitato ed
è definita su
si
dice che
tende ad
all'infinito su
se
![]() |
- Se una funzione ha limite per (o all'infinito),
allora è limitata su
intersecato una palla di centro
(il complementare di una palla).
In particolare se una successione ha limite allora è limitata.
Funzioni continue
,
: si dice che
è continua in
su
, o che
è un punto di continuità di
su
se
![]() ![]() ![]() |
oppure ![]() ![]() |
- è continua in
su
se e solo se per ogni
,
si ha
.
- Definizione.
è continua su
se è continua in ogni punto su
.
- Definizione. è uniformemente continua su
se
![]() |
.
- le funzioni
(
),
(
) sono continue.
- composizione di funzioni continue è continua.
Se ne deduce che le funzioni continue su un insieme a valori in
``ereditano'' la struttura lineare di
. Essendo la dimensione di
finita
se ne deduce che le funzioni lineari sono continue.
E.g. per composizione con la somma e il prodotto si ha che le funzioni le cui componenti sono funzioni razionali a denominatore non nullo sono continue.
- è continua su
se e solo se
le preimmagini di aperti sono aperte relativamente a ![]() |
le preimmagini di chiusi sono chiuse relativamente a ![]() |
Nota: In particolare i luoghi di zeri di funzioni continue
di sono chiusi.
Compatti per successioni Un sottoinsieme di
si dice comaptto (per successioni)
se da ogni successione a valori in
si può estrarre una sottosuccessione
che converge e il cui limite è un elemento di
.
- I sottoinsiemi compatti sono chiusi. I sottoinsiemi finiti sono compatti
TEOREMA
![]() |
TEOREMA
L'immagine di un compatto mediante una funzione continua è un compatto. |
NOTA: non è vero in generale che l'immagine di aperti (chiusi) mediante funzioni continue sia aperta (chiusa).
TEOREMA
Se ![]() ![]() ![]() ![]() |
cioè
TEOREMA
Se ![]() ![]() ![]() |
Connessi. Un sottoinsieme
di
si dice connesso
se solo se non è unione di due
aperti (chiusi) relativamente a
, non vuoti e disgiunti.
Cioè se sono entrambi aperti o chiusi di
per cui
allora
.
In altri termini non vi è una
surgettiva
e continua su
.
- Definizione: Un insieme si dice connesso per archi se ogni coppia
di punti può essere congiunta da un cammino continuo interamente contenuto in
.
Cioè per vi è
continuo per cui
e
.
- Ogni connesso per archi è anche connesso in quanto gli intervalli in sono
connessi.
Il sottoinsieme di
dato dall'unione di
con grafico della funzione
è connesso ma non connesso per archi.
PROPOSIZIONE Un sottoinsieme aperto e connesso è anche connesso per archi.
TEOREMA
L'immagine di un connesso (connesso per archi) mediante una funzione continua |
è ancora connessa (connessa per archi). |
In particolare una funzione continua su un connesso a valori reali assume tutti i valoi compresi tra il suo estremo superiore ed il suo estremo inferiore.