Lunghezza d'arco Richiamando le nozioni della sesta lezione
si introduce per cammini a tratti, definiti su
,
la nozione di parametro di lunghezza d'arco che parametrizza in modo non arbitrario
l'immagine in funzione della lunghezza del percorso che si fa ``allontanandosi''
dal suo ``punto iniziale''
il cammino
per
cui
è equivalente a
e percorre la sua immagine
con ``velocità '' in modulo unitaria:
ma
.
Ciò è particolarmente significativo per quelle che si sono
chiamate curve orientate:
da il versore
tangente.
Insiemi semplicemente connessi Si ricorda la nozione introdotta
nella sesta lezione che formalizza nel caso di sottoinsiemi del piano
la nozione intuitiva di ``non aver buchi''. Un sottoinsieme
di
si dice semplicemente connesso se è connesso (per archi)
e per ogni cammino
chiuso a valori in
,
vi è
,
,
,
è costante,
è un cammino chiuso
(
)
intuitivamente: si deforma con continuità ad un punto
rimanendo in
Lunghezza d'arco Richiamando le nozioni della sesta lezione
si introduce per cammini a tratti, definiti su
,
la nozione di parametro di lunghezza d'arco che parametrizza in modo non arbitrario
l'immagine in funzione della lunghezza del percorso che si fa ``allontanandosi''
dal suo ``punto iniziale''
il cammino
per
cui
è equivalente a
e percorre la sua immagine
con ``velocità '' in modulo unitaria:
ma
.
Ciò è particolarmente significativo per quelle che si sono
chiamate curve orientate:
da il versore
tangente.
Insiemi semplicemente connessi Si ricorda la nozione introdotta
nella sesta lezione che formalizza nel caso di sottoinsiemi del piano
la nozione intuitiva di ``non aver buchi''. Un sottoinsieme
di
si dice semplicemente connesso se è connesso (per archi)
e per ogni cammino
chiuso a valori in
,
vi è
,
,
,
è costante,
è un cammino chiuso
(
)
intuitivamente: si deforma con continuità ad un punto
.
Operazioni con cammini e curve - Dati due cammini
su
e
su
per cui
si definisce il cammino giustapposizione o somma dei due
per
per
- In maniera simile dato un cammino su si definisce il
cammino opposto
Si ha
, per cui
si scriverà
intendendo
qualora
sia definita.
- Queste operazioni sono compatibili con la relazione di equivalenza di cammini orientati: ovvero somme e opposti di cammini equivalenti sono equivalenti. Per questo motivo nella pratica spesso non conviene riparametrizzare il risultato su un unico intervallo ma mantenerlo definito a pezzi. Nella teoria queste operazioni si estendono a tali classi di equivalenza.
In particolare le classe dei cammini orientati chiusi (che iniziano da un prefissato punto) a valori in un dato insieme connesso per archi, con queste operazoni formano un gruppo (chiaramente non commutativo), che è indipendente dal punto di base prescelto (punti diversi sono collegati da un camino e dal suo opposto), chiamato gruppo dei lacci.
Omotopia di cammini con estremi fissati Due cammini
e
su
a valori in
(connesso per archi),
per cui
e
,
ovvero hanno lo stesso punto iniziale e lo stesso punto finale,
si dicono omotopi in
se esiste
,
,
,
è un cammino con i prefissati estremi
(
)
- Questa nozione si estende di equivalenza di cammini orientati in quanto: cammini equivalenti a cammini omotopi sono omotopi, e inoltre due cammini possono essere riparametrizzati in modo lineare e crescente affinchè abbiano lo stesso dominio.
Si osserva che due cammini sono omotopi in se e solo se
il cammino chiuso
è omotopo in
ad un cammino costante.
In particolare un dominio
è semplicemente connesso
se e solo se cammini con gli stessi estremi sono omotopi in
.
- L'omotopia in risulta a sua volta una relazione di equivalenza
tra (classi di equivalenza di ) cammini orientati a valori in
.
Inoltre giustapposizione e opposto di cammini omotopi sono omotopi al risultato
rispettivo delle operazioni.
- Ne segue che in un dominio connesso per archi
l'equivalenza data dall'omotopia proietta il gruppo dei lacci su un gruppo
relativamente più semplice daa studiare chiamato primo gruppo di omotopia
dello spazio
in questione ed è uno strumento algebrico per studiare proprietà
geometriche di
(e.g. un dominio semplicemente connesso ha primo gruppo di omotopia
di un solo elemento, se un dominio piano ha primo gruppo di omotopia isomorfo
ai numeri interi ha esattamente un ``buco'' etc.).
Integrazione orientata di campi ed -forme: lavoro Un concetto
fondamentale in fisica
è quello di lavoro di una forza lungo un cammino:
l'idea intuitiva di ``somma infinita'' del prodotto tra
la componente tangenziale di una forza applicata in un punto
per lo spostamento ``infinitesimo'' lungo la traiettoria
nello stesso punto.
Da un punto di vista matematico avanzato lo studio di proprietà geometriche tramite il gruppo dei lacci risultano spesso impegnative: estensioni del concetto di ``lavoro lungo una curva'' sono la base per studiare proprietà geometriche meno impegnative ma decisamente più maneggevoli da analizzare.
- Su in
prima istanza un campo vettoriale (vettori applicati in punti) su
è indotto
da una funzione
continua.
- Un cammino in
definisce in ogni punto
della sua immagine un vettore tangente
. Un cammino
differenziabile con continutà individua un campo di vettori sulla sua
immagine.
PROBLEMA: se in un aperto di di
è definito un campo
esiste una famiglia di curve che ricopre l'aperto e ognuna di esse
ha come tangente il campo stesso?
- Se è un campo su
,
un cammino
a tratti
a valori in
e definito su
,
si dice lavoro di
su
:
NOTA: a si
può rimpiazzare il campo tangente a
otteneuto dalla proiezione ortogonale di
su
.
- Tenendo presente che le coordinate cartesiane
permettono di identificare punti, vettori e funzionali lineari
concettualmente diversa è la nozione di -forma differenziale
su
che in prima istanza viene individuta da una funzione continua
da
in
:
. In tale contesto è comodo
denotare
con
.
Analogamente si definisce l'integrale
(il lavoro) di una -forma
su
lungo un a cammino in
come l'integrale
rispetto la lunghezza d'arco della funzione ottenuta applicando la forma nel punto al vettore unitario
tangente alla curva nel punto
Se si vuole identificando i vettori con spostamenti o velocità, in assenza di di sistemi di riferimento una forza non può che essere un funzionale lineare.
NOTA: l'integrazione di campi o forme lungo cammini si differenzia da quella di funzioni in quanto non è invariante rispetto all'inversione del cammino:
mentre, come per l'integrale di funzioni, per l'integrale di forme vale
- Tipici esempi di campo vettoriale e di - forma differenziale
sono il gradiente e la funzione differenziale di una funzione
su un aperto
- La -forma differenziale costantemente eguale alla
proiezione coordinata
, i.e.
, viene indicata con
:
e questo è coerente
con il fatto che l'applicazione lineare
ha come differenziale in ogni punto se stessa.
Le -funzioni che identificano una froma differenziale
non sono altro che i coefficienti della forma
espressa come combinazione dei differenziali delle coordinate:
- D'altra parte fissato
e un vettore
(un campo su un punto)
per ogni funzione regolare in un intorno di
è definita
. Quindi (indicata con
la funzione di valutazione in
:
) un campo si identifica
con ``un'operatore di derivazione'' puntulale, e i campi che danno in ogni
punto i vettori coordinati con i rispettivi operatori di derivazione parziale
nel punto:
Differenza tra funzioni e campi o forme. È bene osservare
che sebbene a livello introduttivo si siano presentati i campi e le forme
proprio come -ple di funzioni i concetti sottointesi sono molto diversi:
quando con le
-funzioni si intende un campo o una forma differenziale si considera
una diversa legge di cambiamento di questa rapprasentazione quando cambino
in maniera generale le coordinate del dominio.
La situazione è analoga a quella di un -pla di numeri
che rappresenta sia un vettore che un funzionale lineare: la differente denotazione
si caratterizza nel diverso modo in cui cambia la
-pla cambiando semplicemente
in modo lineare le coordinate.
1
- Nel caso in questione, invece di semplici cambiamenti di
coordinate lineari, si
considerano cambiamenti di coordinate : si considera un
aperto di
e una sua ``riparametrizzazione''
una funzione
bigettiva con inversa
, le nuove funzioni coordinate saranno appunto date
.
Questo sistema di coordinate da in ogni punto di una diversa
base di vettori dello ``spazio tangente'' in
che nel caso è
.
Per maggior chiarezza si indichi la
-pla di
composta da zeri tranne che
un
all'
posto con
se si pensa come vettore applicato in un
punto di
e con
se si pensa come vettore applicato in un punto
.
Nelle coordinate rispetto
la nuova base è
,
che corrispondono alle ``velocità '' delle curve immagine mediante
delle direzioni coordinate cartesiane in
parametrizzate linearmente:
.
- Una -pla di funzioni
definite in
se considerata come
funzione si trasforma semplicemente in
.
Quando si considera la
-pla di funzioni come forma differenziale la trasformazione
`` diretta'' per la regola della catena sui differenziali
è
in effetti come funzione lineare che agisce sulle nuove coordinate
si ottine semplicemente:
quindi alla -pla
corrisponde
la
-pla
- Nel caso in cui la forma è il differenziale di una funzione
da
in
si ha in effetti per l a regola della catena
. Quindi il differenziale
rispetto alle nuove variabili è proprio l'esperssione della forma nelle nuove
variabili.
-
Se si considera invece una -pla come
campo di vettori e si vogliono le sue coordinate
rispetto alla base indicata si ottengo le
-funzioni
: ovvero le coordinate
di
rispetto al riferimento cartesiano
di
: se
applicando
si ottiene
.
- La nozione di campo come derivazione giustifica
la richiesta di questa trasformazione:
se si considera la derivazone definita da rispetto
alle variabili
essa espressa come derivazione
rispetto alle variabili
, avendo per la regola della catena
da luogo ad una diversa -pla di funzioni:
- Ancor di più si apprezza questa differenza considerando il caso
in cui è una
-superficie regolare parametrizzata da qualche
e la funzione
dia un vettore
tangente nel punto in cui la si calcola. In questo caso la base dello spazio
tangente in
disponibile è
.
Un cambiamento di coordinate su :
da
una riparametrizzazione di
,
, e quindi
una nuova base del tangente in ogni punto.
- Nel caso in cui il campo sia una gradiente
con
la sua espressione nelle nuove coordinate
non è il gradiente rispetto
ad esse della
.
Rimontato (pull-back)di una forma
Più in generale se
è una mappa
ed
una forma differenziale su
si definisce la forma differenziale rimontata (pull-back)
di
mediante
su
come
. Essa viene denotata
con
.
- Se è una funzione definita su
si indicherà
ancora con
la funzione composta
. Chiaramente per la regola della catena:
- Se è una funzione a valori in
si indicherà
con
la sua immagine
.
- Infine tale trasformazione è esattamente quello che ci aspetta dall' ``azione'' delle funzioni vettoriali sui cammini: il lavoro non deve cambiare cambiando sistema di coordinate
I principali teoremi: caratterizzazione forme esatte e campi conservativi, forme chiuse e forme localmente esatte, Teorema di Poincarè , invarianza per omotopia regolare dell'integrale di una forma chiusa o localmente esatta, esattezza delle forme e integrabilità di campi chiusi su domini semplicemente connessi. Cfr. C.J e F.M.S.
Formula di Gauss-Green mediante integrazione orientata
-forma dell'area