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ESERCIZIO n. 1 Trovare i punti di massimo o di minimo relativo e calcolare
i valori di massimo relativo e minimo relativo,
delle seguenti funzioni sui domini rispettivi:
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 2
a) - Se
e
allora
non ha
punti di massimo locale.
- () Se
,
aperto limitato,
se
allora
.
(Si consideri punto di massimo su
di
,
,
per cui
e quindi
e
. Si applichi il
precedente punto a
.)
- Si deduca che se
allora
non ha punti di massimo
locale stretto.
b) - Si provi che se é un aperto limitato,
,
allora vi é al piú una
funzione
definita su
che risolve:
- () Si provi che per l' eventuale soluzione si ha:
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ESERCIZIO n. 3 Utilizzando l'unicità della soluzione provata nel precedente esercizio si trovino tutte le soluzioni delle equazioni:
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 4
a) Sia
una funzione strettamente convessa, ove
è un aperto convesso.
Si dimostri che
ha al più un estremale interno a
.
Nel caso si tratterebbe di un massimo o di un minimo?
b) Utilizzando il fatto che una funzione convessa a valori reali,
definita su un chiuso limitato convesso è continua si provi che se
, con
aperto convesso, allora il massimo di
è assunto su
.
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ESERCIZIO n. 5 Si disegnino sommariamente e si
descrivano come cammini parametrici
gli insiemi definiti dalle seguenti condizioni:
,
,
,
,
.
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ESERCIZIO n. 6 Si descriva l'immagine dei seguenti cammini:
,
,
.
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ESERCIZIO n.7 Si esprimano come immagini di superficie parametriche i seguenti insiemi
,
,
.
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ESERCIZIO n.8 Si descriva in forma parametrica la superficie di rivoluzione attorno all'asse
delle di una cmmino nel semipiano
.
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ESERCIZIO n.9 a) Trovare il massimo volume di un parallelepipedo rettangolo
inscritto nell'elissoide
.
b) Trovare l'elissoide