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ESERCIZIO n. 1 Si consideri un polinomio omogeneo
di secondo grado nelle variabili ed
. Se ne calcoli il differenziale e il differenziale secondo. Si mostri
in generale che se
è una matrice
la funzione
ha differenziale secondo
eguale a
.
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ESERCIZIO n. 2 Sia
. Dato il cambio di coordinate
, esprimere
in funzione di
e
.
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ESERCIZIO n. 3 Sia
differenziabile ovunque ed
definita da:
Verificare che:
dove e
.
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ESERCIZIO n.4 Determinare i punti critici ()
delle seguenti funzioni:
,
,
,
,
,
.
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ESERCIZIO n. 5
Si dica se è di massimo, di minimo
o di sella per ciascuna delle seguenti funzioni:
,
,
.
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ESERCIZIO n. 6 Sia
differenziabile
ovunque e sia
tale che
. Dimostrare che la direzione
rispetto a cui:
è data da
(ovvero il gradiente di una funzione
differenziabile da la direzione di massima crescita).
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ESERCIZIO n.7 Qual'è la massima distanza del pumto
dai punti dell'insime
? E dall'insieme
?
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ESERCIZIO n. 8 (a) Si trovi il piano tangente alla sfera di centro
e raggio
in
.
(b) Si trovi la retta ortogonale alla regione
in
.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n. 9 Si calcoli l'angolo di incidenza che formano le seguenti coppie di regioni dello spazio incontrandosi nei punti rispettivamente indicati:
,
,
;
,
,
;
,
,
.
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ESERCIZIO n.10 Dato
si definisce la funzione
distanza da
come segue:
Si descrivano, nei
seguenti casi, le regioni del piano ove é differenziabile:
(a) ; (b)
; (c)
; (d)
.
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ESERCIZIO n. 11 (a) La funzione
da
in
se è iniettiva? È surgettiva? Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.
(b) Sia
:
si studi l'immagine di
, si studi al variare di
come sono fatte le fibre
. Si calcoli il suo differenziale e si studi dove è invertibile.
------------------------------------------------------------- ESERCIZIO n.12 Determinare minimo e massimo delle seguenti funzioni nei rispettivi insiemi:
su
,
su