Matematica Discreta (003AA - 9 CFU - Informatica Applicata - A.A 2009/2010)

Orario,
ricevimento,
contatti
Mercoledì 14:00-16:00 Aula A2
Venerdì 11:00-13:00 Aula A2
Venerdì 14:00-16:00 Aula A2
RICEVIMENTO Mercoledì, ore 16:00. Anche su appuntamento. Pregasi confermare presenza con una email.
CONTATTI Responsabile del corso: Dott. Enrico SBARRA sbarra -a-t- dm.unipi.it
Obiettivi
del corso
  • Obiettivo del corso è far acquisire allo studente capacità logica e dimostrativa, attraverso lo studio di concetti di base in logica e in matematica, quali ad esempio quelli di insieme, funzione, relazione, congruenza. Nella seconda parte del corso, inoltre, verranno proposti allo studente alcuni temi centrali dell'algebra lineare e delle sue applicazioni, attraverso lo studio di strutture algebriche fondamentali quali quelle di gruppo, anello, campo e spazio vettoriale. Verranno approfonditi lo studio dei sistemi lineari e il calcolo matriciale.
Modalità
d'esame
  • L'esame consiste di una parte scritta e di una parte orale.
  • Al momento della prova scritta lo studente dovrà rispondere in 3 minuti, per iscritto e in maniera corretta, a 3 domande di matematica di base per poter accedere all'esame scritto vero e proprio, della durata di 2 ore.
  • Per accedere all'esame orale lo studente dovrà conseguire un punteggio di scritto pari o superiore a 16 punti.
  • Sono previsti inoltre un compitino durante il corso e un compitino alla fine del corso. Chi superasse i due compitini con una media maggiore o uguale a 16 punti potrà accedere, limitatamente alle prime due sessioni d'esame, direttamente alla prova orale.
  • Durante lo scritto è consentito solamente l'utilizzo di una calcolatrice ad uso comune e di un foglio A4, scritto a mano e solo fronte.
  • Per iscriversi agli appelli scritti cliccare qui.
  • Le date degli orali invece sono fissate dal docente di volta in volta e vengono comunicate al momento dello scritto.
Studenti
vecchio ordinamento
  • Quando un esame di un ordinamento viene disattivato, gli studenti di quell'ordinamento hanno diritto a sostenere la prova d'esame sullo stesso programma per 3 anni.
  • Chi deve sostenere la sola prova di LMM è pregato di contattare il Prof. Fabio Gadducci
  • Chi deve sostenere entrambe le prove di AL e LMM è fortemente consigliato di seguire il corso di MD.
  • Le prove degli esami scritti e orali AL, AL-LMM e MD si terranno sempre negli stessi orari e negli stessi appelli, fa riferimento l'appello di MD. Le modalità di esame di AL e AL-LMM sono uguali a quelle di MD (vedi punto precedente), ad eccezion fatta dei compitini, che non sono previsti per l'esame di AL, e delle modalità di iscrizione:
  • Per iscriversi all'esame, gli studenti del vecchio ordinamento devono inviarmi 1 settimana prima della data dello scritto una mail, che indica cognome, numero di matricola e tipologia di esame che devono sostenere (AL, AL-LMM).
  • NON farà dunque fede la semplice iscrizione tramite questa pagina.
  • Per ulteriori informazioni siete pregati di cliccare qui o di contattarmi personalmente.
Testi consigliati
  • M. Abate. Algebra Lineare, McGraw-Hill.
  • G. M. Piacentini Cattaneo. Matematica Discreta e applicazioni, Zanichelli.
  • L. Childs. A concrete introduction to higher Algebra, Springer.
  • B. Facchini. Algebra e Matematica Discreta, Zanichelli.
  • A. Berarducci, G. Gaiffi. Appunti del corso di Matematica discreta.
Lezioni
  • Martedì 25 Maggio. II compitino.

  • Venerdì 21 Maggio. Teorema di struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare. Risoluzione di un sistema lineare tramite riduzione a scala. Esercizi riassuntivi e di preparazione al secondo compitino.

  • Venerdì 21 Maggio. Un'applicazione lineare è determinata dalle immagini dei vettori di una base. Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Il teorema della dimensione e applicazioni. La caratteristica di una matrice è il rango dell'immagine dell'applicazione lineare associata.

  • Mercoledì 19 Maggio. Esercizi su sistemi di generatori e vettori linearmente indipendenti. Il teorema del completamento. Le basi sono equipotenti. Definizione di dimensione e suo significato geometrico. Esercizi di calcolo della dimensione di uno spazio vettoriale. Proprietà della dimensione. Definizione di applicazione lineare ed esempi.

  • Mercoledì 19 Maggio. Spazi vettoriali: insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti e basi. Proprietà dei vettori linearmente indipendenti. Risolubilità di un sistema e di un sistema omogeneo in termini di equazioni vettoriali. Esistenza di un sistema di generatori e di una base. Esempi.

  • Venerdì 14 Maggio. Spazi e sottospazi vettoriali: sistemi di generatori, combinazioni lineari e vettori linearmente indipendenti; il concetto di dimensione e grado di libertà; equazioni in forma parametrica e cartesiana.

  • Venerdì 14 Maggio. Spazi e sottospazi vettoriali: esempi ed esercizi; somma ed intersezione di sottospazi vettoriali; lo span di un insieme di vettori; la somma diretta.

  • Mercoledì 12 Maggio. Il teorema di Cramer. La caratteristica di una matrice non cambia per moltiplicazione con matrici elementari. Riduzione a scala di una matrice. La caratteristica di una matrice e i pivot di una matrice ridotta a scala. Spazi vettoriali: definizioni e prime proprietà. Esempi.

  • Venerdì 7 Maggio. Il determinante delle matrici elementari. La caratteristica di una matrice. Definizione di sottomatrice. Relazione tra il concetto di caratteristica e quello di determinante. Calcolo della caratteristica di alcune matrici. Il teorema degli orlati.

  • Venerdì 7 Maggio. Il determinante di una matrice e le sue proprietà. Sviluppi di Laplace per riga e per colonna. Il determinante di una matrice e quello di una sua riduzione per righe. Esempi ed esercizi di calcolo del determinante di matrici quadrate. Il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. Il teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.

  • Mercoledì 5 Maggio. Teorema: Sono fatti equivalenti 1) Una matrice A può essere ridotta all'identità tramite operazioni elementari; 2) A è prodotto di matrici elementari; 3) A è invertibile 4) Il sistema AX=0 ammette una sola soluzione. Calcolo dell'inversa di una matrice. Espressione di una matrice e della sua inversa come prodotto di matrici elementari. Una matrice è invertivile sse ammette inversa sinistra o inversa destra.

  • Venerdì 30 Aprile. Matrici elementari e loro proprietà. Matrici invertibili. Trasformazione di una matrice in forma triangolare superiore tramite moltiplicazione con matrici elementari. Esempi. Teorema "Un sistema lineare quadrato ha soluzione se e solo se tutti i pivot della matrice associata al sistema ridotta per righe sono diversi da zero" e dimostrazione.

  • Venerdì 30 Aprile. Sistemi lineari equivalenti. Operazioni sulle righe di un sistema e algoritmo di eliminazione di Gauss. Esempi di risoluzione di sistemi lineari quadrati tramite riduzione a forma triangolare superiore e sostituzione all'indietro.

  • Mercoledì 28 Aprile. Introduzione allo studio dei sistemi lineari. Sistemi lineari in notazione matriciale. Matrice dei coefficienti e matrice completa. Soluzione di semplici sistemi lineari e interpretazione geometrica dell'insieme delle soluzioni. Applicazioni lineari e sistemi lineari.

  • Venerdì 23 Aprile. Lezione non tenuta causa malattia.

  • Mercoledì 21 Aprile. Lezione non tenuta causa malattia.

  • Venerdì 16 Aprile. Lezione non tenuta causa malattia.

  • Mercoledì 14 Aprile. Correzione I compitino.

  • Lunedì 12 Aprile. I compitino.

  • Mercoledì 31 Marzo. Sospensione della didattica (Elezioni regionali).

  • Venerdì 26 Marzo. Prime proprietà delle relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza. Un esempio importante: la relazione di congruenza modulo n. La struttura di Z_n come anello. La tabella additiva e moltiplicativa di Z_5. Z_n è dominio e campo se e solo se n è primo. Determinazione dell'inverso di un elemento di Z_n. La prova del nove.

  • Venerdì 26 Marzo. Gli elementi irriducibili in Z sono primi. Descrizione dell'insieme delle soluzioni di un'equazione diofantea. Esercizi: risoluzione di equazioni diofanteee. Definizione di relazione, ordinamento parziale e totale, relazioni di equivalenza.

  • Mercoledì 24 Marzo. Altre proprietà dei numeri interi: in Z vale la fattorizzazione unica, esistenza del massimo comun divisore, algoritmo euclideo, identità di Bezout. Applicazioni: calcolo del massimo comun divisore tramite l'algoritmo euclideo, risoluzione di equazioni diofantee.

  • Mercoledì 24 Marzo. Ripasso sul principio di induzione. Le proprietà dell'anello degli interi e le nozioni di dominio di integrità e di anello euclideo. La struttura di anello di A[X], K[X] e Z[X],- ove A anello, K campo. Teorema fondamentale dell'Aritmetica.

  • Mercoledì 17 Marzo. Due insiemi equipotenti: R e le parti di N. Esercitazione guidata su coefficienti binomiali e cardinalità.

  • Mercoledì 17 Marzo. Altri insiemi numerabili: Q, l'unione e il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili. Il secondo processo diagonale di Cantor, ovvero R non è numerabile.

  • Venerdì 12 Marzo. Insiemi infiniti. Insiemi numerabili. L'insieme dei numeri naturali positivi N^+, l'insieme dei numeri interi Z, sottoinsiemi infiniti di N e di insiemi numerabili, il prodotto cartesiano NxN sono insiemi numerabili. Un esempio di insieme non numerabile: l'insieme delle parti di N ovvero come trovare insiemi di cardinalità sempre maggiore.

  • Venerdì 12 Marzo. Esercizi: i coefficienti binomiali e le loro proprietà, le partizioni di un numero, contare con i coefficienti binomiali.

  • Mercoledì 10 Marzo. Definizione di insieme finito, infinito e cardinalità. Lemma dei cassetti e prime proprietà degli insiemi finiti. Cardinalità degli insiemi di funzioni, di funzioni iniettive, dell'insieme delle parti di insiemi finiti.

  • Venerdì 5 Marzo. Matrici invertibili e calcolo matriciale. Esercizi. Definizione ed esempi di semigruppo, gruppo, gruppo abeliano, gruppo non abeliano, anello, anello commutativo e campo.

  • Venerdì 5 Marzo. Matrici: definizioni e prime proprietà. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Moltiplicazione per uno scalare. Matrici diagonali. Elementi idempotenti e nilpotenti. Esercizi.

  • Mercoledì 3 Marzo. Definizione di operazione: binaria, 1-aria, n-aria. Proprietà delle operazioni ed esempi. Esercizi di dimostrazione e confutazione, con accento particolare sull'uso corretto dei quantificatori, sulla negazione logica e sulla dimostrazione per assurdo.

  • Venerdì 26 Febbraio. Funzioni composte. Iniettività e surgettività delle funzioni composte. Dimostrazioni per assurdo e ricerca di controesempi. Funzioni inverse destre e sinistre. Funzioni invertibili. Esempi.

  • Venerdì 26 Febbraio. Funzioni iniettive e funzioni surgettive. Esercizi. Calcolo dell'immagine e della controimmagine. Funzioni iniettive e surgettive a variare del dominio e codominio.

  • Mercoledì 24 Febbraio. Presentazione del corso. Insiemi, notazioni e primi cenni sulla struttura algebrica degli insiemi numerici. Operazioni tra insiemi. Prodotto cartesiano. Definizione di funzione. Formalizzare una definizione ed uso corretto dei quantificatori.

  • Registro delle lezioni su UNIPI


 

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