Orario,
ricevimento,
contatti |
| Lunedì |
11:00-13:00 |
Aula E1 |
| Mercoledì |
11:00-13:00 |
Aula E1 |
| Giovedì |
14:00-16:00 |
Aula E1 |
| CONTATTI |
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Responsabile del corso:
Prof. Giovanni GAIFFI |
gaiffi -a-t- dm.unipi.it |
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Dott. Enrico SBARRA |
sbarra -a-t- dm.unipi.it |
| RICEVIMENTO |
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Prof. Gaiffi: Giovedì, alla fine della lezione, aula E1. |
Dott. Sbarra: Lunedì 16:00-18:00, studio 111. |
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Obiettivi
del corso |
- Progredire nella conoscenza delle principali strutture algebriche, quali quelle di gruppo, anello e campo.
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Modalità
d'esame |
- L'esame consiste di una parte scritta e di una parte orale.
- Per accedere all'esame orale lo studente dovrà conseguire un punteggio di scritto pari o superiore a 16 punti.
- Sono previsti inoltre due compitini. Chi superasse i due compitini con una media maggiore o uguale a 16 punti potrà accedere, limitatamente alle prime due sessioni d'esame, direttamente alla prova orale.
- Durante lo scritto non è consentito l'utilizzo di alcun ausilio, come ad esempio libri, appunti, fogli, calcolatrici, etc.
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| Alcuni testi consigliati |
- I. N. Herstein: Algebra, Editori riuniti.
- P. Di Martino: Algebra, Edizioni Plus.
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| Esercitazioni |
- Mercoledì 16 Dicembre 2009: Costruzione di p-goni ed n-goni regolari. Cenni sulla risolubilità per radicali con particolare riferimento alle equazioni di II e III grado e al grande teorema di Galois. Analisi del gruppo di Galois di una cubica.
- Lunedì 14 Dicembre 2009: Costruzioni con riga e compasso. Definizione di punti costruibili e numeri complessi costruibili. Un punto è costruibile se e solo se lo sono le sue coordinate. L'insieme di tutti i numeri costruibili è un sottocampo dei numeri complessi chiuso rispetto all'estrazione di radici quadrate. Caratterizzazione dei numeri costruibili. Corollario: se un numero z è costruibile allora [Q(z):Q] è una potenza di 2. Risoluzioni dei problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione di un angolo.
- Mercoledì 9 Dicembre 2009: Esercizio (continuato): il grado del campo di spezzamento di un polinomio di grado n divide n!. Esercizio: studio del campo finito di 9 elementi con particolare riferimento alla struttura ciclica del suo gruppo moltiplicativo. Esercizio: studio della struttura del campo di spezzamento del polinomio x^4-2 sui razionali, ovvero studio del gruppo di Galois e determinazione dei campi intermedi.
- Mercoledì 2 Dicembre 2009:
Esercizi su estensioni finite di Q. Esercizio: un'estensione finita di ordine primo è semplice. Esercizio: il grado del campo di spezzamento di un polinomio di grado n è al più n!. Esercizio: Determinare il gruppo degli automorfismi di C su R e dell'estensione di Q con la radice cubica reale di 2 e Q.
- Giovedì 26 Novembre 2009:
Esercizio: trovare tutte le scritture di 2425 come somma di quadrati. Esercizi su anelli del tipo Z[r], ove r è radice quadrata di un intero libero da quadrati. Esistenza del massimo comun divisore e del minimo comune multiplo, ideali propri e principali in anelli di questo tipo. Estensioni quadratiche di Q non isomorfe.
- Mercoledì 25 Novembre 2009: Esercizio: Descrivere gli anelli Z[i]/(i+1) e Z[i]/(3i+1). Esercizio: Dire
se l'anello A=Z[i]/(13) è un campo e se la classe dell'elemento 1+i è invertibile in A. Esercizio: Determinare gli ideali massimali di Q[x] che contengono l'ideale generato da x^5-10x^4+24x^3+9x^2-33x-12.
- Mercoledì 18 Novembre 2009: Esercizi sugli anelli. Un anello non nullo contiene un ideale massimale. Un ideale proprio è contenuto in un ideale massimale. Gli ideali in un anello quoziente. Esercizi su elementi irriducibili e ideali primi. L'anello Q[X] modulo l'ideale (x^2-2x+2). Un anello dove non esistono mcm e MCD.
- Mercoledì 11 Novembre 2009: Anelli, sottoanelli e ideali. Elementi nilpotenti, 0-divisori e invertibili in un anello. Anelli ridotti, domini di integrità, campi e corpi. Ideali radicali, primi e massimali. Esempi. Prodotti cartesiani di anelli. Esempi di omomorfismi di anelli: l'identità, l'immersione, il coniugio nei numeri complessi, la caratteristica di un anello. L'omomorfismo di valutazione e sue applicazioni. Esempi di utilizzo del I e del III teorema di omomorfismo di anelli. Esempio di un anello non integro a ideali principali.
- Mercoledì 4 Novembre 2009: Definizione di serie normale e di serie di composizione. Una serie di composizione è una serie normale con fattori semplici. Un gruppo finito ammette una serie di composizione. Esempio di serie di composizione per G=Z_2xS_3. Enunciato del teorema di Jordan-Hölder. Definizione di gruppo risolubile. Esercizio: ogni p-gruppo è risolubile. Esercizio: G è risolubile sse ha una serie di composizione con fattori ciclici di ordine primo sse ogni serie di composizione ha fattori ciclici di ordine primo. Definizione di commutatore e sottogruppo derivato. Esercizio: sia G un gruppo e G' il suo derivato => G' è un sottogruppo caratteristico, G/G' è abeliano, G' è il più piccolo sottogruppo normale di G con questa proprietà. Esercizio: se un sottogruppo H < G contiene il derivato di G allora è normale in G. Criterio di risolubilità. Esempio: se o(G)=p^2q allora G è risolubile. Esempio: se o(G)=p^nq^m con p^n < q allora G è risolubile. Esercizio: S_n e A_n sono risolubili sse n < 5. Esercizio: il derivato di S_n è A_n. Esercizio: A_n è l'unico sottogruppo di S_n di indice 2.
- Mercoledì 28 Ottobre 2009: Un gruppo di ordine p^2q non è semplice. Il teorema di Cayley generalizzato, il teorema dell'indice. Applicazioni: il teorema di Cayley, studio dei sottogruppi normali in un gruppo di ordine 36. Classificazione dei gruppi di ordine 12. Il teorema N/C. Applicazioni: un gruppo di ordine 255 è ciclico. Calcolo del centralizzatore e del normalizzatore di un 5 ciclo in S_6.
- Mercoledì 21 Ottobre 2009: Il gruppo degli automorfismi del gruppo diedrale D_n. Realizzazione di D_n come prodotto semidiretto. Aut(D_n) come prodotto semidiretto. Gruppi di ordine basso.
- Mercoledì 14 Ottobre 2009: Il gruppo diedrale come gruppo di isometrie di un poligono regolare e sue proprietà. Il gruppo diedrale come gruppo delle permutazioni dei vertici di un poligono regolare. Le involuzioni in D_n. Definizione di D_n come gruppo astratto. Il gruppo D_2 come gruppo di Klein. I sottogruppi, i sottogruppi normali, i sottogruppi caratteristici di D_n.
- Mercoledì 7 Ottobre 2009: Sottogruppi normali e sottogruppi caratteristici. Ogni sottogruppo normale è nucleo di un omomorfismo di gruppi. Un sottogruppo non normale di S_3 per cui il prodotto sui coset non è ben definito. Un sottogruppo caratteristico è normale. Terzo teorema di isomorfismo. Esercizi su omomorfismi e isomorfismi di gruppi. Applicazioni del primo teorema di isomorfismo.
- Mercoledì 30 Settembre 2009: Associatività e commutatività di operazioni binarie. Primi esempi di gruppi. Gruppi di matrici. Studio dei sottogruppi di S_4. A_4 non possiede sottogruppi di ordine 6. Sottogruppi normali: esempi.
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