PROPOSITIO VII.
Circuli peripheria tripla est diametri, et adhuc excedit minori quam septima
parte diametri, maiori autem, quam decem septuagesimis primis.
Esto circulus AG, cuius diameter AG, et centrum E; aio quod peripheria
AG minor quidem est, quam tripla sesquiseptima diametri AG, maior vero
quam tripla superpartiens decem septuagesimas primas.
Agatur ipsi AG ad rectos angulos MGR, quae cadet extra circulum
per 15. 3. ponaturque angulus GER dimidium anguli
trigoni aequilateri, hoc est tertia pars recti, eritque EG perpendicularis
ab angulo trianguli aequilateri ad latus oppositum, dupla ergo erit ER
ipsius RG, et ideo quadratum ER quadruplum quadrati RG, quare per
penultimum 1. quadratum EG triplum quadrati GR; itaque
si ponatur ER partium 306. fiet GR 153. et EG plus quam 265. secetur
angulus GER per 9. 1. bifariam ducta EH, eritque
per 3. 6. sicut ER ad RH, sic EG ad GH; quare
per 13. 5. aggregatum ex GE, ER ad totum
GR erit sicut EG ad GH, itaque ratio EG ad GH maior erit, quam 571.
ad 153. quare ex penultimo 1. ratio EH ad GH maior quam 591 7/50 ad
153.
Rursum secto bifariam angulo GEH ducta ET ijsdem
rationibus adductis fiet ratio EG ad GT maior quam 1162 7/50
ad 153. quare ratio ET ad GT maior 1172 4/25 ad 153. Item secto
bifariam angulo GET ducta EK similiter erit ratio EG ad GK maior
quam 2334 3/10 ad 153. quare EK ad GK maior quam 2339 3/10
ad 153. adhuc secto bifariam angulo GEK ducta EL non aliter erit ratio
EG ad GL maior quam 4673 3/5 ad 153. Quoniam ergo angulus
GER tertia pars recti quater sectus est bifariam, ideo angulus GEL erit
pars 48. recti, ponatur ergo ipsi GEL aequalis GEM eritque totus
LEM 24. pars recti, itaque LM est latus polygonij 96. angulorum circulo
AG circumscripti. Cum ergo ML ipsius GL, et AG ipsius EG dupla
sit, erit sicut AG ad ML, sic EG ad GL, et ideo sicut AG ad
nonagincuplum sexcuplum ipsius ML, hoc est ad perimetrum polygonij dicti,
sic EG ad nonagincuplum sexcuplum ipsius GL: fuit autem maior ratio
EG ad GL, quam 4673 3/5 ad 153. Multiplicentur ergo 153.
nonagies sexies fientque 14688. quare maior erit ratio EG ad nonagincuplum
sexcuplum ipsius GL quam 4673 3/5 ad 14688. Itaque maior ratio
AG diametri ad perimetrum polygonij 96. laterum circulo circumscripti,
quam 4673 3/5 ad 14688. Sed numerus 14688. continet numerum
4673 3/5 ter, et supersunt 667 1/5 qui minus est quam
septima pars ipsius 4673 3/5 quare dicti polygonij perimeter
triplus est diametri, et excedit minori quam septima parte: sed polygonij
perimeter maior est circuli perimetro, a fortiori ergo circuli perimeter
triplus erit diametro, et excedit minori quam septima parte, et haec
est prima pars propositionis.
Ducantur nunc intra circulum AB, BC, sitque BAG angulus tertia pars
recti; itaque sicut superius, si AG ponatur partium 1560. fiet BG
partium 780. quare ratio AB ad BG minor quam 1351. ad 780. secetur bifariam
angulus BAG ducta AH secante ipsam BG apud R, et connectatur HG
eritque angulus BAH aequalis angulo BGH per 20. 3.
sed angulus HAG aequalis angulo BAH, ergo angulus BGH aequalis
angulo HAG, igitur triangula HAG, HGR (angulos
BGH, HAG aequales habentia, et angulum AHG communem) sunt ad
invicem aequiangula. Itaque per 4. 6. sicut AH ad HG, sic GH
ad HR, et AG ad GR, sed AG ad GR per 3. 6. et 13. 5.
sicut aggregatum ex GA, AB ad BG, ergo sicut aggregatum ex GA, AB
ad BG, sic AH ad HG, quare AH ad HG ratio minor quam 2911. ad 780.
et ideo ratio AG ad GH minor quam 3013 3/4 ad 780.
Rursus secetur bifariam angulus HAG ducta TA, et connexa TG, fiet
ijsdem adductis, ratio AT ad TG minor quam 5924 3/4 ad 780. et
ideo ratio AG ad GT minor quam 5976. ad 780. Item secetur TAG angulus
bifariam ducta AK, et connexa KG eritque similiter ratio AK ad KG
minor quam 11900 3/4 ad 780. et ideo minor quam 1007 ad 66. et ratio
AG ad GK minor quam 1009 1/6 ad 66. Adhuc secto bifariam angulo
KAG per lineam AL ductaque LG non aliter fiet ratio AL ad LG
minor quam 2016 1/6 ad 66. et ideo ratio AG ad GL minor
2017 1/4 ad 66. sed angulus LAG est quadragesima octava pars recti,
et ideo est per 19. 3. angulus quem substendit peripheria LG ad
centrum circuli est vigesima quarta pars recti. Quare recta LG est latus
polygonij aequilateri 96. angulorum circulo inscripti, multiplicentur
igitur 66. nonagies sexies fientque 6336. itaque ratio AG ad perimetrum
dicti polygonij minor erit quam 2017 1/4 ad 6336. quare conversim
per 26. 5. perimeter dicti polygonij ad AG diametrum ratio maior
erit quam 6336. ad 2017 1/4 sed ratio 6336. ad 2017 1/4
maior quam tripla super partiens decem septuagesimas primas. Ergo ratio
perimetri poligonij ad diametrum maior est quam tripla superpartiens
10/71 : sed circuli peripheria maior est polygonij perimetro:
igitur a fortiori ratio circuli peripheriae ad diametrum maior est quam
tripla superpartiens 10/71 , quod est propositi residuum.
COROLLARIUM.
Ex quo quidem calculo manifestum est, quod si circuli diameter ponatur
partes 497. peripheria erit maior quidem, quam partes 1561. minor vero
quam partes 1562.
|