Circuli peripheria tripla est diametri, et adhuc excedit minori quam septima parte diametri, maiori autem, quam decem septuagesimis primis.
Esto circulus AG, cuius diameter AG, et centrum E; aio quod peripheria AG minor quidem est, quam tripla sesquiseptima diametri AG, maior vero quam tripla superpartiens decem septuagesimas primas.
Agatur ipsi AG ad rectos angulos MGR, quae cadet extra circulum per 15. 3. ponaturque angulus GER dimidium anguli trigoni aequilateri, hoc est tertia pars recti, eritque EG perpendicularis ab angulo trianguli aequilateri ad latus oppositum, dupla ergo erit ER ipsius RG, et ideo quadratum ER quadruplum quadrati RG, quare per penultimum 1. quadratum EG triplum quadrati GR; itaque si ponatur ER partium 306. fiet GR 153. et EG plus quam 265. secetur angulus GER per 9. 1. bifariam ducta EH, eritque per 3. 6. sicut ER ad RH, sic EG ad GH; quare per 13. 5. aggregatum ex GE, ER ad totum GR erit sicut EG ad GH, itaque ratio EG ad GH maior erit, quam 571. ad 153. quare ex penultimo 1. ratio EH ad GH maior quam 591 7/50 ad 153.
Rursum secto bifariam angulo GEH ducta ET ijsdem rationibus adductis fiet ratio EG ad GT maior quam 1162 7/50 ad 153. quare ratio ET ad GT maior 1172 4/25 ad 153. Item secto bifariam angulo GET ducta EK similiter erit ratio EG ad GK maior quam 2334 3/10 ad 153. quare EK ad GK maior quam 2339 3/10 ad 153. adhuc secto bifariam angulo GEK ducta EL non aliter erit ratio EG ad GL maior quam 4673 3/5 ad 153. Quoniam ergo angulus GER tertia pars recti quater sectus est bifariam, ideo angulus GEL erit pars 48. recti, ponatur ergo ipsi GEL aequalis GEM eritque totus LEM 24. pars recti, itaque LM est latus polygonij 96. angulorum circulo AG circumscripti. Cum ergo ML ipsius GL, et AG ipsius EG dupla sit, erit sicut AG ad ML, sic EG ad GL, et ideo sicut AG ad nonagincuplum sexcuplum ipsius ML, hoc est ad perimetrum polygonij dicti, sic EG ad nonagincuplum sexcuplum ipsius GL: fuit autem maior ratio EG ad GL, quam 4673 3/5 ad 153. Multiplicentur ergo 153. nonagies sexies fientque 14688. quare maior erit ratio EG ad nonagincuplum sexcuplum ipsius GL quam 4673 3/5 ad 14688. Itaque maior ratio AG diametri ad perimetrum polygonij 96. laterum circulo circumscripti, quam 4673 3/5 ad 14688. Sed numerus 14688. continet numerum 4673 3/5 ter, et supersunt 667 1/5 qui minus est quam septima pars ipsius 4673 3/5 quare dicti polygonij perimeter triplus est diametri, et excedit minori quam septima parte: sed polygonij perimeter maior est circuli perimetro, a fortiori ergo circuli perimeter triplus erit diametro, et excedit minori quam septima parte, et haec est prima pars propositionis. Ducantur nunc intra circulum AB, BC, sitque BAG angulus tertia pars recti; itaque sicut superius, si AG ponatur partium 1560. fiet BG partium 780. quare ratio AB ad BG minor quam 1351. ad 780. secetur bifariam angulus BAG ducta AH secante ipsam BG apud R, et connectatur HG eritque angulus BAH aequalis angulo BGH per 20. 3. sed angulus HAG aequalis angulo BAH, ergo angulus BGH aequalis angulo HAG, igitur triangula HAG, HGR (angulos BGH, HAG aequales habentia, et angulum AHG communem) sunt ad invicem aequiangula. Itaque per 4. 6. sicut AH ad HG, sic GH ad HR, et AG ad GR, sed AG ad GR per 3. 6. et 13. 5. sicut aggregatum ex GA, AB ad BG, ergo sicut aggregatum ex GA, AB ad BG, sic AH ad HG, quare AH ad HG ratio minor quam 2911. ad 780. et ideo ratio AG ad GH minor quam 3013 3/4 ad 780.
Rursus secetur bifariam angulus HAG ducta TA, et connexa TG, fiet ijsdem adductis, ratio AT ad TG minor quam 5924 3/4 ad 780. et ideo ratio AG ad GT minor quam 5976. ad 780. Item secetur TAG angulus bifariam ducta AK, et connexa KG eritque similiter ratio AK ad KG minor quam 11900 3/4 ad 780. et ideo minor quam 1007 ad 66. et ratio AG ad GK minor quam 1009 1/6 ad 66. Adhuc secto bifariam angulo KAG per lineam AL ductaque LG non aliter fiet ratio AL ad LG minor quam 2016 1/6 ad 66. et ideo ratio AG ad GL minor 2017 1/4 ad 66. sed angulus LAG est quadragesima octava pars recti, et ideo est per 19. 3. angulus quem substendit peripheria LG ad centrum circuli est vigesima quarta pars recti. Quare recta LG est latus polygonij aequilateri 96. angulorum circulo inscripti, multiplicentur igitur 66. nonagies sexies fientque 6336. itaque ratio AG ad perimetrum dicti polygonij minor erit quam 2017 1/4 ad 6336. quare conversim per 26. 5. perimeter dicti polygonij ad AG diametrum ratio maior erit quam 6336. ad 2017 1/4 sed ratio 6336. ad 2017 1/4 maior quam tripla super partiens decem septuagesimas primas. Ergo ratio perimetri poligonij ad diametrum maior est quam tripla superpartiens 10/71 : sed circuli peripheria maior est polygonij perimetro: igitur a fortiori ratio circuli peripheriae ad diametrum maior est quam tripla superpartiens 10/71 , quod est propositi residuum.
Ex quo quidem calculo manifestum est, quod si circuli diameter ponatur partes 497. peripheria erit maior quidem, quam partes 1561. minor vero quam partes 1562.