• Varietà lisce. Partizioni dell'unità. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalità. Teoremi di immersione e embedding di Whitney.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualità di Poincaré. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
• Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci.
• Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' fortemente consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Lezioni:

Le lezioni si svolgono interamente in presenza, con questi orari:

• Marteedi' 9-11 in Aula N
• Mercoledi' 14-16 in Aula N
• Giovedi' 11-13 in Aula N

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.

Bibliografia:

• Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. Le note sono nella versione finale. Per favore segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• O' Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to Relativity.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Esercizi a casa:

La/o studente puo' decidere di svolgere degli esercizi a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il giovedì sera di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il giovedì di ogni settimana).

Alcune regole e osservazioni:

A. Gli esercizi a casa servono per due scopi: 1) Allenarsi continuamente e quindi seguire meglio il corso, che contiene tanta teoria. 2) Imparare a comunicare la matematica. Verra' valutata molto la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili. Considerate che il docente e i suoi collaboratori correggeranno circa 60 * 12 * 3 > 2000 esercizi e non possono perdere tempo a decifrare geroglifici. Si prega di tenere questo punto in seria considerazione.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire seguire le lezioni e studiare con regolarità. I compitini andranno consegnati a mano al docente durante la lezione. Possono essere scritti sia a mano che in LateX. Gli esercizi mandati via mail sono accettati solo in casi eccezionali e ben motivati.

C. E' lecito e perfino consigliato svolgere gli esercizi in gruppo, consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete però scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver pensato autonomamente al problema, aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue: la risoluzione puo' essere collettiva, ma la scrittura deve essere individuale.

D. I compitini corretti vengono riconsegnati dal docente a lezione. Verra' scritto anche un voto (O = Ottimo, MB = Molto Buono, B = Buono, D = Discreto, S = Sufficiente, I = Insufficiente). Chi prende insufficiente perde il diritto a questo canale. Gli altri voti non avranno nessuna conseguenza sul voto dell'esame finale: servono solo per permettere alla/o studente di migliorarsi.

E. Questo canale può essere usato una volta sola, quindi chi ha consegnato i compitini fino in fondo negli anni passati non può partecipare.

F. Chi ha fatto i compitini (senza mai prendere una insufficienza) può fare l'orale in una delle sessioni estive e autunnali, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

G. Chi non passa l'orale o rifiuta il voto poi deve fare lo scritto (piu' in generale, perde qualsiasi privilegio dovuto al fatto di aver fatto i compitini).

Le consegne sono le seguenti:

• Entro giovedì 28 marzo andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle prime 3 settimane, che finiscono il 2, 9 e 16 marzo
• Entro martedì 30 aprile andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle seconde 3 settimane, che finiscono il 23 marzo, 30 marzo e 13 aprile
• Entro martedì 21 maggio andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle terze 3 settimane, che finiscono il 20 aprile, 27 aprile e 4 maggio
• Entro mercoledì 19 giugno andranno consegnati 3+3+3+3=12 esercizi delle ultime 4 settimane, che finiscono l' 11, 18, 25 maggio e 1 giugno. Potete lasciare gli esercizi nella mia casella postale. Se li consegnate a gruppi è meglio così non intasiamo troppo il lavoro della portineria.

Esami:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti. Le date per i prossimi scritti sono queste:

TBD

Le date per gli orali sono queste:

TBD

Chi fa lo scritto si deve iscrivere solo allo scritto, non all'orale.

Fate attenzione alla scadenza per le iscrizioni, che puo' essere 4/5 giorni prima dell'esame.

Chi ha fatto gli esercizi a casa puo' fare l'orale in una delle sessioni descritte, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

L'iscrizione ad uno scritto annulla automaticamente i compitini. Se vi siete iscritti per sbaglio scrivetemi.

Chi fa il compito deve fare l'orale nello stesso appello del compito.

Avvisi:

La lezione di mercoledi 10 aprile è annullata. Le lezioni di martedi 9 e giovedi 11 aprile sono confermate e tenute da un altro docente. Il giorno 11 aprile compariranno dei nuovi esercizi come nelle altre settimane.