• Varietà lisce. Partizioni dell'unità. Spazio tangente. Differenziale. Immersioni, embedding e sottovarietà. Fibrati vettoriali. Fibrato tangente e cotangente. Fibrati tensoriali. Sezioni di fibrati e campi vettoriali. Parentesi di Lie. Orientabilità. Foliazioni. Intorno tubolare. Omotopia e isotopia. Trasversalità. Teoremi di immersione e embedding di Whitney.
• Forme differenziali. Differenziale esterno. Integrazione. Teorema di Stokes. Coomologia di de Rham. Successione di Mayer-Vietoris. Dualità di Poincaré. Teorema di Kunneth (senza dimostrazione).
• Varietà pseudo-Riemanniane. Connessioni su fibrati. Derivata covariante lungo una curva. Trasporto parallelo. Connessione di Levi-Civita. Geodetiche. Mappa esponenziale. Intorni normali. Lunghezza di una curva. Le geodetiche sono le curve localmente minimizzanti. Lemma di Gauss. Teorema di Hopf-Rinow. Curvature Riemanniana, sezionale e di Ricci.
• Gruppi di Lie. Algebre di Lie.

Prerequisiti:

I corsi obbligatori della laurea triennale. Saranno fondamentali in particolare l'analisi in piu' variabili e la topologia. E' fortemente consigliato, ma non necessario, aver gia' seguito il corso di Geometria e Topologia Differenziale.

Lezioni:

Le lezioni si svolgono interamente in presenza, con questi orari:

• Mercoledi' 14-15.45 in Aula P1
• Giovedi' 16-17.45 in Aula P1
• Venerdi' 14-15.45 in Aula P1

Bibliografia:

• Note sul corso che prima o poi si trasformeranno in un libro. Le note sono nella versione finale. PER FAVORE segnalatemi via email gli errori che sono sicuramente presenti, che siano di matematica o semplici errori ortografici. Grazie.

• R. Bott, L. W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
• M. Do Carmo, Riemannian Geometry.
• O' Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to Relativity.

Esame:

L'esame prevede uno scritto e un orale. L'orale e' approfondito e su tutto il programma.

Esercizi a casa:

La/o studente puo' decidere di svolgere degli esercizi a casa al posto dello scritto, nel modo seguente. Il sabato di ogni settimana vengono messi in questa pagina degli esercizi.

• Esercizi settimanali (questo file viene aggiornato il sabato di ogni settimana).

Alcune regole e osservazioni:

A. Gli esercizi a casa servono per due scopi: 1) Allenarsi continuamente e quindi seguire meglio il corso, che contiene tanta teoria. 2) Imparare a comunicare la matematica. Verra' valutata molto la chiarezza di esposizione. In particolare non verranno corretti esercizi poco o faticosamente leggibili. Considerate che il docente correggerà circa 60 * 11 * 3 = 2000 esercizi e non puo' perdere tempo a decifrare geroglifici. Si prega di tenere questo punto in seria considerazione.

B. Questo canale è riservato a chi segue il corso. Non voglio essere troppo formale su cosa voglia dire "seguire il corso": vuol dire seguire le lezioni e studiare con regolarità. I compitini andranno consegnati a mano al docente durante la lezione. Possono essere scritti sia a mano che in LateX. Gli esercizi via mail sono accettati solo in casi eccezionali e ben motivati.

C. E' lecito e perfino consigliato svolgere gli esercizi in gruppo, consultare libri e appunti trovati in rete. In questo caso dovete però scrivere chi vi ha aiutato e quali fonti avete utilzzato. In ogni caso lo/a studente deve aver pensato autonomamente al problema, aver ben assimilato la soluzione e scriverla con parole sue.

D. I compitini corretti vengono riconsegnati dal docente a lezione. Verra' scritto anche un voto (O = Ottimo, MB = Molto Buono, B = Buono, D = Discreto, S = Sufficiente, I = Insufficiente) che pero' non avra' nessuna conseguenza sul voto dell'esame finale: serve solo per permettere alla/o studente di migliorarsi.

E. Questo canale può essere usato una volta sola, quindi chi ha consegnato i compitini fino in fondo negli anni passati non può partecipare. Eccezionalmente, solo per questo anno, considerate le difficolta' dei due anni appena trascorsi, questo canale e' aperto anche a chi abbia gia' consegnato i compitini negli anni precedenti, ma solo a queste condizioni: 1) Entro le prime due settimane del corso la/o studente a lezione mi cerca e dichiara che vuole seguire il corso da capo, e lo fa veramente; 2) La/o studente non mi spedisce gli stessi esercizi gia' svolti (poche eccezioni sono tollerate, non voglio essere fiscale, quello che conta e' la reale volonta' di seguire il corso da capo).

F. Chi ha fatto i compitini e non ha mai preso una insufficienza in questi può fare l'orale in una delle sessioni estive e autunnali, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

G. Chi non passa l'orale o rifiuta il voto poi deve fare lo scritto (piu' in generale, perde qualsiasi privilegio dovuto al fatto di aver fatto i compitini).

Le consegne sono le seguenti:

• Entro mercoleedi 6 aprile andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle prime 3 settimane.
• Entro mercoledì 4 maggio andranno consegnati 3+3+3=9 esercizi delle seconde 3 settimane.
• Entro mercoledì 8 giugno andranno consegnati 3+3+3+3=12 esercizi delle ultime 4 settimane. Potete lasciare gli esercizi nella mia casella postale. Se li consegnate a gruppi è meglio così non intasiamo troppo il lavoro della portineria.

Esami:

Durante il compito scritto la/o studente non puo' consultare libri ne' appunti. Le date per i prossimi scritti sono queste:

• venerdi 10 giugno, ore 9.00, aula P1,
• venerdi 8 luglio, ore 10.00, aula N (attenzione: inizio posticipato alle 10)
• venerdi 9 settembre, ore 9.00, aula N. Gli orali saranno il 9 settembre pomeriggio.

Chi ha fatto i compitini si deve iscrivere solo all'orale. Le date possibili sono queste:

• giovedi 9 giugno, ore 9.00, aula N; chi vuole fare l'esame in questa data deve consegnare l'ultima mandata di compitini entro martedi 7 giugno.
• mercoledi 29 giugno, ore 9.00, aula N,
• mercoledi 13 luglio, ore 9,00, aula N,
• giovedi 8 settembre, ore 9.00, aula P1.

Chi ha fatto i compitini puo' fare l'orale in una delle sessioni descritte, fino a settembre incluso. Dovra' iscriversi all'orale (non allo scritto) sulla pagina web di iscrizione agli esami.

L'iscrizione ad uno scritto annulla automaticamente i compitini. Se vi siete iscritti per sbaglio scrivetemi.
Chi fa il compito deve fare l'orale nella stessa sessione del compito.

Compiti passati:

• Compito 1 anno 2017
• Compito 2 anno 2017
• Compito 3 anno 2017
• Compito 4 anno 2017 (la data e' sbagliata)
• Compito 5 anno 2017
• Compito 1 anno 2018
• Compito 2 anno 2018

Il registro delle lezioni e' consultabile qui.

Avvisi:

A causa di un imprevisto, l'esame di istituzioni di geometria del giorno 8 luglio è posticipato alle 10, sempre in aula N.