- Proprieta' delle 4-varieta': omologia, forma di interezione, superfici embedded e immerse. Classi caratteristiche, varieta' spin.
- Costruzioni di 4-varieta': decomposizioni in manici, piombaggi. Varieta' simplettiche, complesse, Kaehleriane.
- Teoremi sulle 4-varieta': Whitehead, Rohlin, Wall, Freedman, Donaldson. Classificazione delle forme di intersezione.
Prerequisiti:
- Istituzioni di geometria (obbligatorio), Elementi di topologia algebrica (consigliato).
- Alexandru Scorpan, "The Wild World of 4-Manifolds"
- Gompf - Stipsicz, "4-Manifolds and Kirby calculus"
- Delle note molto incomplete che ho scritto tempo fa
- Altre note piu' curate e recenti scritte da Danny Calegari e Benson Farb
- Kirby, "The topology of 4-manifolds"
Lezioni:
- Mercoledi' 14-16 Aula M1
- Giovedi' 14-16 Aula N
Il registro delle lezioni e' consultabile qui
Esame:
La/lo studente puo' scegliere di sostenere l'esame in uno dei due modi seguenti:
- Puo' sostenere solo l'orale, che sara' un orale classico su tutto il programma del corso.
- Ogni due settimane verranno pubblicati su questa pagina degli esercizi. Lo/la studente puo' scegliere 3 tra gli esercizi proposti ogni settimana e consegnarli, entro la data indicata sotto (compariranno entro breve). Alla fine del corso, se il giudizio sui compitini e' almeno sufficiente, lo/la studente potra' scegliere di fare un seminario su un argomento.
La seconda ed ultima consegna deve essere fatta entro il 16 gennaio. Potete
lasciare gli esercizi nella mia buca delle lettere.
Risultati dei compitini.
In entrambe le soluzioni 1 e 2, e' possibile sostenere l'orale in qualsiasi momento. La data precisa verra' concordata con il docente via email.
Argomenti proposti per il seminario:
Quasi tutti gli argomenti sono corposi e possono essere preparati da due/tre persone che si dividono il seminario. Altri contengono delle dimostrazioni difficili che nei libri non sono neppure presenti e che lo/a studente può/deve ovviamente omettere.
- Teorema di Milnor - Whitehead. Due 4-varietà semplicemente connesse (compatte e senza bordo) sono omotopicamente equivalenti se e solo se hanno la stessa forma di intersezione. Teorema 1.2.25 su Gompf-Stipsicz (solo traccia) e Sezione 4.1 di Scorpan.
- Teoremi di Wall. Scorpan, Sezione 4.2
- Teorema dell'h-cobordismo. Gompf - Stipsicz, Sezione 9.2 e Scorpan, Capitolo 1. Il teorema implica la Congettura di Poincaré in dimensione alta (una varietà omotopa alla sfera è omeomorfa alla sfera), dimostrata da Smale.
- Costruzione rigorosa delle classi di Stiefel - Whitney. Dal libro 'characteristic classes' di Milnor - Stasheff.
- 4-varietà topologiche. Capitolo 2 di Scorpan.
- Invarianti di Donaldson (i primi invarianti che distinguono 4-varietà omeomorfe non diffeomorfe). Capitolo 9 di Scorpan.
- Teorema della segnatura di Novikov. Se attacchiamo due 4-varietà per il bordo, la segnatura è additiva. Kirby, Teorema 5.3. Scorpan, pagina 225.
- Come studiare le strutture spin con un diagramma di Kirby. Gompf-Stipsicz, Capitolo 5.7
- Costruzione di Thom-Pontryagin. Scorpan, pag. 230. Milnor, 'topology from the differentable viewpoint', Capitolo 7. Questo argomento è collegato al teorema di Milnor - Whitehead.
