- Richiami di geometria differenziale
- Modelli dello spazio iperbolico: disco e semispazio, iperboloide. Isometrie dello spazio iperbolico. Geodetiche, angoli. Curvatura.
- Varieta' a curvatura costante. Varieta' iperboliche. Azioni di gruppi e rivestimenti.
- Superfici iperboliche. Spazio di Teichmuller.
- Teorema di rigidita' di Mostow
- Lemma di Margulis
- 3-varieta' iperboliche. Volume. Dehn filling iperbolico. Geometrizzazione di Thurston.
Prerequisiti:
- Nozioni che lo studente deve conoscere bene per seguire il corso: Gruppo fondamentale, rivestimenti, geometria (proiettiva o complessa) della sfera di Riemann (corsi del secondo anno), varieta' differenziabile (istituzioni di geometria)
- Nozioni che useremo poco, e che lo studente volenteroso puo' imparare durante il corso: omologia (topologia algebrica),
- Benedetti, Petronio, "Lectures on hyperbolic geometry"
Sto scrivendo delle note sul corso. Metto qui le ultime versioni. Se trovate errori, refusi di qualsiasi genere per favore avvertitemi.
Lezioni:
- Martedi' 14-16 in aula M1,
- Mercoledi' 14-16 in aula M1.
Il registro delle lezioni e' consultabile qui.
Esercizi: Ogni due settimane daro' un foglio di esercizi da fare a casa. Quando li avete fatti potete consegnarmeli: per tenere un buon ritmo vi suggerisco di consegnarli entro una settimana, ma potete farlo in qualsiasi momento. Gli esercizi sono per voi uno stimolo a capire l'argomento: non siete obbligati a risolverli tutti.
Esame: Verranno proposti ogni due settimane degli esercizi da fare a casa. L'esame sara' quindi orale e lo studente potra' scegliere se fare un esame classico sul programma o un seminario. Il seminario consistera' nella lettura ed esposizione di un articolo di ricerca. Vi propongo gli argomenti seguenti:
- Decomposizione di Epstein-Penner: ogni varieta' con cuspidi di volume finito si ottiene come unione di alcuni poliedri ideali canonicamente determinati. Articolo: Epstein, D. B. A., Penner, R. C., Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds, J. Differential Geom. 27 (1988), no. 1, 67-80.
- Lemma di Margulis, dal libro di Benedetti-Petronio (e altre sorgenti che si trovano facilmente in rete)
- Vari argomenti dal libro "A primer on mapping class groups" di Farb
e Margalit. Ad esempio:
- Informazioni sulle presentazioni del Mapping Class Group (capitoli 3/4/5)
- Il teorema di Dehn-Nielsen: Il MCG di una superficie e' isomorfo al gruppo degli automorfismi esterni del suo gruppo fondamentale (pag. 221)
- Metrica sullo spazio di Teichmuller: capitolo 11
- Spazio dei moduli: capitolo 12
- Teorema di Thurston sul Dehn filling: Capitoli E5 e E6 del Benedetti-Petronio
- Il volume del complementare di un link alternante, di Marc Lackenby, qui
- Teorema del poliedro di Poincare', D. Epstein - C. Petronio, An exposition of Poincare's polyhedron theorem, Enseign. Math. (2), 40 (1994), 113-170.
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(opera di Carlo Rocchini in licenza CC-BY-SA)