Esercitazioni di Geometria Analitica e Algebra Lineare
2007/2008
Programma:
-
Spazi vettoriali,
sottospazi,
operazioni con i sottospazi.
-
Applicazioni
lineari,
nucleo e
immagine.
Lo spazio vettoriale Hom(V,W),
duale di uno
spazio vettoriale, l'annullatore di un sottospazio.
-
Indipendenza
lineare,
spazi finitamente
generati,
basi,
dimensione.
Operazioni con i sottospazi,
formula di
Grassmann.
Rango
di una applicazione lineare e
formule
per la dimensione dell'immagine e del nucleo di una applicazione lineare.
Dimensione di Hom(V,W), dello spazio duale e dell'annullatore
di un sottospazio.
- L'algebra delle
matrici.
Passaggio alle
coordinate,
matrici associate
alle applicazioni lineari,
cambiamenti
di base, composizione di applicazioni lineari e
prodotto di
matrici.
Rango di
una matrice.
Sistemi
lineari,
algoritmo di
Gauss,
teorema
di Rouché-Capelli
- Teoria del
determinante
e applicazioni: caratterizzazione assiomatica del determinante,
formule esplicite,
formula di
Binet,
formula di
Cramer, formula dell'inversa di una
matrice
invertibile, determinante della
trasposta.
Determinazione del rango di una matrice per mezzo del determinante.
-
Spazi affini,
sottospazi,
sistemi di riferimento affini, equazioni parametriche e cartesiane
di un sottospazio affine,
affinità.
-
Endomorfismi
di uno spazio vettoriale. Endomorfismi coniugati e
matrici
simili.
Autovalori e
autospazi. Sottospazi invarianti.
Caratterizzazione
degli
endomorfismi
diagonalizzabili e di quelli triangolabili.
Teorema
di Hamilton-Cayley. Ideale di un endomorfismo.
Polinomio
minimo di un endomorfismo.
Decomposizione in somma diretta di sottospazi invarianti associata ad una decomposizione di un polinomio
nell'ideale in fattori coprimi.
Forma
canonica di Jordan.
-
Forme
bilineari e
forme
quadratiche.
Forme isometriche e
matrici
congruenti. Rango di una forma, forme non degeneri. Ortogonalità,
esistenza di basi
ortogonali.
Procedimenti di ortogonalizzazione.
Classificazione delle forme bilineari simmetriche sul campo reale e
complesso.
Teorema
spettrale.
Prodotti
hermitiani.
Spazi
euclidei, riferimenti cartesiani, angoli e distanza, isometrie.
Classificazione affine e metrica delle coniche e delle quadriche reali e
complesse.
Biografia:
- M. Abate, "Geometria", McGraw-Hill
- E. Sernesi, "Geometria 1", Bollati Boringhieri
Lezioni:
-
Lunedì ore 12-13
-
Giovedì ore 11-13
Il registro delle mie lezioni è consultabile qui.
Il registro delle lezioni della Prof. Pardini è qui.
Esercizi:
- 10/12/07: Alcuni esercizi in formato
pdf e
ps. Attenzione:
nell'esercizio 6 si deve aggiungere l'ipotesi che p1, p2 e p3 si
intersechino soltanto nell'origine.
- 7/3/08: Altri esercizi in formato pdf.
- 24/3/08: Altri esercizi in formato pdf.
- 9/5/08: Altri esercizi in formato pdf.
Altro materiale:
-
Alcune note sul polinomio minimo. C'era
un errore nella versione presente fino al 10/4 a proposito della
dipendenza dal campo. Nella nuova versione del 11/4 ho messo del materiale
nuovo...
probabilmente con nuovi errori: grazie a chi me li segnalera'. :-)
Compiti passati:
Prossimi scritti:
- 16 gennaio 2009, ore 10, aula E1
- 6 febbraio 2009, ore 10, aula E1
Ricevimento: Si veda la pagina del corso di quest'anno.
Torna alla Pagina principale