- Geometria e algebra lineare, 441 pagine e 109 figure (versione 3, agosto 2023).
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Indice:
- Nozioni preliminari
- Spazi vettoriali
- Sistemi lineari
- Applicazioni lineari
- Autovettori e autovalori
- Forma di Jordan
- Prodotti scalari
- Prodotti scalari definiti positivi
- Lo spazio euclideo
- Poligoni e poliedri
- Teorema spettrale
- Geometria proiettiva
- Quadriche
Introduzione:
Il presente libro contiene una introduzione agli argomenti trattati abitualmente negli insegnamenti di geometria e algebra lineare dei corsi di studio universitari di tipo scientifico.
La matematica contemporanea può essere suddivisa sommariamente in tre settori: l'algebra concerne i numeri, i simboli e le loro manipolazioni tramite le quattro operazioni; la geometria riguarda lo studio delle figure nel piano e nello spazio; l'analisi si basa sul calcolo infinitesimale e si occupa di quegli ambiti (successioni, funzioni, derivate, integrali) collegati al concetto di limite.
Nella storia del pensiero scientifico degli ultimi secoli, i progressi più rilevanti sono stati fatti nel momento in cui si è scoperto che fenomeni apparentemente scollegati sono in realtà descrivibili pienamente nel quadro di un unico formalismo matematico: la gravitazione di Newton descrive sia il moto di caduta di un grave che quello di rotazione dei pianeti; le equazioni di Maxwell fondono ellettricità e magnetismo in un'unica teoria; la meccanica quantistica spiega alcuni fenomeni fisici bizzarri e fornisce un quadro solido alla chimica ed in particolare alla tabella periodica degli elementi, eccetera. Ciascun processo di fusione di due ambiti scientifici differenti ha portato ad una migliore comprensione dei fenomeni di entrambi.
In matematica si è sviluppato un processo unificante di questo tipo con la costruzione del piano cartesiano. Interpretando un punto del piano come una coppia (x, y) di numeri reali, abbiamo implicitamente iniziato a fondere la geometria euclidea con una parte dell'algebra chiamata algebra lineare. La geometria si occupa di figure quali punti, rette, piani, coniche, poligoni, poliedri. L'algebra lineare tratta invece sistemi di equazioni in più variabili di primo grado (cioè lineari), equazioni di secondo grado (riducendole quanto possibile ad uno studio di tipo lineare), ed oggetti algebrici più complessi come le matrici ed i vettori.
La geometria e l'algebra lineare sono oggi così unite che si fa fatica ormai a decidere quale argomento sia "algebra lineare" e quale sia "geometria". Il punto di contatto fra i due ambiti è la nozione di vettore, a cui si può dare contemporaneamente una valenza geometrica (un punto nel piano o una freccia) ed algebrica (una sequenza di numeri). I vettori giocano un ruolo centrale in questo testo.
La suddivisione in capitoli del libro rispecchia la struttura di un insegnamento standard di geometria e algebra lineare. Iniziamo revisionando alcuni preliminari algebrici (insiemi, polinomi, funzioni, eccetera) e quindi passiamo a definire la nozione di spazio vettoriale che è fondamentale in tutta la trattazione. Impariamo come risolvere i sistemi di equazioni lineari e introduciamo alcune funzioni particolari dette applicazioni lineari. Questo ci porta naturalmente allo studio di autovalori e autovettori. Il Capitolo 6 sulla forma di Jordan è opzionale e può essere saltato (come del resto tutti gli argomenti presentati come complementi alla fine dei capitoli).
Passiamo quindi a studiare i prodotti scalari ed infine applichiamo tutti gli strumenti costruiti nei capitoli precedenti per studiare più approfonditamente la geometria euclidea con i suoi protagonisti: punti, rette, piani, poligoni, poliedri, coniche e quadriche. Un ruolo a parte è giocato dal teorema spettrale, un risultato profondo di algebra lineare che ha applicazioni in vari ambiti della matematica e della scienza. Nell'ultima parte del libro introduciamo una geometria non euclidea, detta geometria proiettiva, ottenuta aggiungendo i punti all'infinito allo spazio euclideo. Il Capitolo 10 è dedicato a poligoni e poliedri e contiene numerosi teoremi di geometria piana e solida. I Capitoli 12 e 13 riguardanti geometria proiettiva e quadriche sono entrambi opzionali e in buona parte indipendenti l'uno dall'altro.
Il libro contiene vari esercizi, alcuni posizionati lungo la trattazione ed altri alla fine dei capitoli. Teoria ed esercizi sono entrambi essenziali per una piena comprensione del testo. Nella scrittura mi sono posto due obiettivi, a volte non semplici da conciliare: descrivere in modo trasparente e rigoroso i passaggi logici che formano il corpo di ogni tipo di ragionamento astratto, con un particolare accento sulle motivazioni che hanno portato i matematici a seguire una strada invece che un'altra, e fornire una notevole quantità di esempi e di strumenti utili ad applicare proficuamente queste nozioni per affrontare problemi concreti in vari ambiti della scienza.
