Omotopia

Come già detto tratteremo questioni di omotopia solo per spazi topologici elementari; in particolare spazi ogni cui punto x abbia un intorno U tale che (U, x) sia omeomorfo al cono su uno spazio compatto puntato nel suo vertice. Con questa restrizione, le considerazioni che faremo avranno carattere prevalentemente ”geometrico” mentre in sua assenza, analoghe considerazioni dovrebbero essere riformulate spesso in forma ”funtoriale”. Questa restrizione non è da poco perché lasciamo fuori almeno due tipi di casi importanti: spazi costruiti come ”limite induttivo” di spazi elementari come la maggior parte degli spazi classificanti (di cui daremo un cenno più avanti) e spazi di applicazioni continue, come lo spazio Ω dei lacci di uno spazio X, che permette di interpretare π_{n}(X) come π_{n−1}(Ω). Nel libro dello Spanier si può trovare non solo una trattazione più generale della nostra, ma anche le ragioni del perché essa sia importante per uno studio approfondito delle propietà omotopiche anche di spazi ”elementari” come ad esempio per lo studio dei gruppi di omotopia delle sfere.

Teorema di van Kampen Dimostriamo l’analogo per il π_{1} continuo di un teorema dimostrato nel caso simpliciale.

Teorema 1 Sia (X, ∗) uno spazio topologico con punto base e sia (X_{λ})_{λ∈Λ} una famiglia di sottospazi di X contenenti ∗ e tali che

1. per ogni λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ Λ , lo spazio X_{λ_{1}} ∩ X_{λ_{2}} ∩ X_{λ_{3}} è connesso per archi

2. ⋃_{λ∈Λ} X_{λ} = X

Siano σ_{λμ} : π_{1}(X_{λ} ∩ X_{μ}, ∗) → π_{1}(X_{μ}, ∗) e τ_{μ} : π_{1}(X_{μ}, ∗) → π_{1}(X, ∗) per λ, μ ∈ Λ , gli omomorfismi associati alle inclusioni. Allora,comunque siano assegnati un gruppo G ed omomorfismi β_{μ} : π_{1}(X_{μ}, ∗) → G per ogni μ ∈ Λ , verificanti per λ, μ ∈ Λ : β_{μ}∘σ_{λμ} = β_{λ}∘σ_{μλ} , esiste uno ed un solo omomorfismo β : π_{1}(X, ∗) → G tale che β_{μ} = β ∘ τ_{μ} per ogni μ ∈ Λ.

Dim. Sia data γ : [0, 1] → X continua e tale che γ(0) = γ(1) = ∗; per uniforme continuità esistono 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 tali che per ogni h = 1, ..., n esista ν(h) ∈ Λ con γ([t_{h−1}, t_{h}]) ⊂ X_{ν(h)}. Per h = 1, ..., n − 1 scegliamo un arco α_{h} in X_{ν(h)} ∩ X_{ν(h+1)} che congiunge ∗ a γ(t_{h}) e siano poi α_{0}, α_{1} gli archi costanti in ∗. Per h = 1, ..., n consideriamo il laccio chiuso γ_{h} fatto da α_{h−1} seguito da γ ”ristretta” a [t_{h−1}, t_{h}] ed infine dall’arco inverso ad α_{h}; esso definisce un elemento in π_{1}(X_{ν(h)}, ∗) la cui immagine in G tramite β_{ν(h)} indicheremo con b_{h}. Associamo a tutte le scelte fatte (cioè γ, poi i t_{r} , quindi ν ed infine le α_{s}) il prodotto b_{1} ·...·b_{n} in G. Mostreremo ora che tale b dipende solo da γ e non dalle scelte fatte successivamente. Infatti proviamo a cambiare α_{h} in un ᾱ_{h} lasciando gli altri invariati; ciò determina un cambiamento dei laccetti γ_{h−1} e γ_{h} in γ̄_{h−1} e γ̄_{h}. Ora α = ᾱ_{h}α_{h}^{−1} è un laccetto in X_{ν(h−1)} ∩ X_{ν(h)} e si ha γ̄_{h−1} ≈ γ_{h−1}α in X_{ν(h−1)} e γ̄_{h} ≈ α^{−1}γ_{h} in X_{ν(H)}. Per le ipotesi fatte si ha allora che in G è b̄_{h−1}b̄_{h} = b_{h−1}b_{h} e quindi il prodotto finale b non cambia. Siamo così liberi di scegliere gli α_{h} come ci pare. Supponiamo ora di cambiare ν nel solo indice h scegliendo diciamo λ′ invece di λ. Nelle due situazioni possiamo scegliere tutti gli α_{r} uguali salvo che per r = h − 1, h che saranno scelti rispettivamente in X_{ν(h−1)} ∩X_{λ} ∩X_{λ′} ed in X_{ν(h+1)} ∩X_{λ} ∩X_{λ′}. Allora i γ_{r} sono gli stessi nelle due situazioni, salvo che γ_{h} è considerato rispettivamente come un laccetto in X_{λ} od in X_{λ′}; ancora per le ipotesi di commutatività fatte il risultato b finale non cambia. Per mostrare ora la indipendenza dalla scelta dei t_{r} se ne introduca uno t tra t_{h−1} e t_{h}. Si può scegliere allora lo stesso X_{λ} come ambiente per γ([t_{h−1}, t]) e per γ([t, t_{h}]) ed è allora evidente che si ottiene lo stesso b ∈ G. Quindi abbiamo definito una applicazione dai laccetti chiusi in X nel gruppo G; per controllare che essa ha lo stesso valore su cammini omotopi, basta osservare che per ogni omotopia con parametro s ∈ [0, 1], l’applicazione s ↦ b(s) è localmente costante e ciò è ovvio perche fissata una scelta dei t_{r} e di ν per t = t_{0} essa va bene anche per i t abbastanza vicini a t_{0}; quanto alla scelta degli α_{r} essi possono essere modificati per i t vicini a t_{0} utilizzando l’omotopia in modo tale che i γ_{r} relativi a t siano omotopi in X_{ν(r)} a quelli relativi a t_{0}.

Isomorfismo tra π_{1} continuo con quello simpliciale Siano X uno spazio topologico connesso e U = (U_{i})_{i∈I} un suo ricoprimento di aperti non vuoti; lo schema simpliciale (I, K) associato ad U è allora connesso. Supponiamo che per i, j, k ∈ I l’aperto U_{ijk} = U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k} sia o vuoto o connesso e che ogni U_{i} sia semplicemente connesso. Scegliamo per ogni i ∈ I un punto x_{i} ∈ U_{i} e, se U_{ij} = U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅, un arco γ_{ij} in esso da x_{i} ad x_{j}. Associamo ad ogni cammino c = (i_{o}, i_{1}, ..., i_{n}) in K l’arco γ = γ_{i_{0}i_{1}} · ... · γ_{i_{n−1}i_{n}}; se c è chiuso anche γ lo è. Fissato un i_{0} ∈ I, mostreremo che tale associazione stabilisce un isomorfismo tra π_{1}(K, i_{0}) e π_{1}(X, x_{i_{0}}) e che esso non dipende dalla scelta degli x_{i} nè da quella dei γ_{ij}. Infatti intanto ogni U_{ij} o U_{ijk} è o vuoto o semplicemente connesso (si usi il teorema di van Kampen); ne sugue che l’arco γ non cambia classe di omotopia cambiando c per espansione elementare, cosicché si ha una applicazione indotta dal π_{1} simpliciale a quello continuo ed esso è chiaramente un omomorfismo e non dipende dalla scelta degli x_{i} né da quella dei γ_{ij}. Per uniforme continuità, ogni cammino continuo chiuso in (X, x_{i_{0}}) è di tale tipo (modulo riparametrizzazione) per una opportuna scelta dei punti x_{i} e degli archi γ_{ij} e quindi ν è surgettivo. La iniettività di ν può essere dimostrata costruendo la sua inversa nel seguente modo: dato γ : [0, 1] → X continua con γ(0) = γ(1) = x_{i_{0}}, si scelgano 0 = t_{0} < t_{1} < ... < t_{n} = 1 e U_{i_{0}}, ..., U_{i_{n}} tali che per h = 1, ..., n si abbia γ([t_{h−1}, t_{h}]) ⊂ U_{i_{h}}. Allora c = (i_{0}, ..., i_{n}, i_{0}) è un cammino chiuso in K che è ben definito a meno di espansioni e contrazioni elementari, indipendentemente dalla scelta dei t_{i} e dei particolari U_{j}; è evidente che se c è costruito a partire da un cammino γ_{s_{0}} che varia con continuità con un parametro reale s, esso è anche associabile ai γ_{s} per s sufficientemente vicino ad s_{0} e si ottiene quindi una applicazione del π_{1} continuo in quello simpliciale; inoltre essa composta con ν dà l’identità su π_{1}(X, x_{i_{0}}) ed è quindi la sua inversa.

Corollario 2 Se (I, K) è uno schema simpliciale connesso scelto un suo punto base i_{0} ∈ I si ha un isomorfismo naturale ν : π_{1}(K, i_{0}) → π_{1}(|K|, i_{0})

Dim. Gli intorni standard (lo star meno il link) dei vertici formano un ricoprimento di |K| che soddisfa le ipotesi del precedente teorema (anzi esso è un ricoprimento semplice ossia ogni intersezione finita di suoi elementi è vuota o contrattile)

Omeomorfismi locali e teorema di monodromia Sia ϕ : X → Y una applicazione continua tra spazi topologici; diremo che:

- è un omeomorfismo locale od anche localmente invertibile se ogni x ∈ X possiede un intorno aperto U tale che V = ϕ(U) sia aperto in Y e ϕ sia un omeomorfismo tra U e V: diremo allora che U è piccolo per ϕ

- ha il rilevamento delle omotopie rispetto ad uno spazio Z se ogni omotopia della composizione con ϕ di una applicazione α di Z in X è ”sollevabile” ad una omotopia di α. Precisamente se per ogni g : Z → e per ogni F : Z × [0, 1] → Y continue e tali che per z ∈ Z sia ϕ(g(z)) = F (z, 0 , esiste G : Z × [0, 1] → X continua e tale che per (z, t) ∈ Z ×[0, 1] sia ϕ(G(z, t)) = F (z, t) e G(z, 0) = g(z). Può essere utile esprimere ciò nel seguente modo equivalente: diremo che ϕ è completa rispetto ad uno spazio Z se ogni omotopia F : Z × [0, 1] → Y, ogni sollevamento della sua faccia iniziale F_{|Z×{0}} si prolunga ad un sollevamento di F; se Z è costituito da un solo punto, diremo che ϕ ha il rilevamento dei cammini.

Lemma 3 (unicità dei sollevamenti) Se ϕ è localmente invertibile e Z è connesso (per archi), due sollevamenti che coincidano in un punto coincidono dappertutto

Dim. L’insieme di coincidenza di due applicazioni è un chiuso perchè lavoriamo con spazi di Hausdorff; se ϕ è localmente invertibile esso è anche aperto.

Teorema 4 (di monodromia) Un omeomorfismo locale ϕ : X → Y ha il rilevamento delle omotopie rispetto ad ogni spazio Z se e solo se ha il rilevamento dei cammini

Dim. Siano F : Z → Y continua e g : Z → X un sollevamento della sua faccia iniziale. Sollevando le restrizioni di F ristretta a {z}×[0, 1] a partire da g(z) per ogni z ∈ Z si ottiene una applicazione G×[0, 1] → X che è continua, a priori, solo nella seconda variabile; per concludere la dimostrazione sarà sufficiente mostare che essa è continua, perché le altre condizioni sono evidentemente verificate. Mostreremo che ogni z_{0} ∈ Z ha un intorno U tale che G è continua su U ×[0, 1]. Infatti siccome [0, 1] è compatto e l’arco G_{z_{0}} : t ↦ G(z_{0}, t) è continuo, esistono 0 = t_{0} < ... < t_{n} = 1 tali che ogni G([t_{r−1}, t_{r}]) è contenuto in un aperto piccolo per U per ogni r = 1, ..., n. Per continuità di F, esiste un intorno U di z_{0} in Z tale che F applica ogni U × [t_{r−1}, t_{r}] entro V_{r} = ϕ(U_{r}). E’ allora chiaro che la restrizione diF ad U × [0, 1] ha un sollevamento continuo di faccia iniziale g_{|U}: per unicità dei sollevamenti (dei cammini) esso deve coincidere con la restrizione di G ad U × [0, 1].

Gruppi di omotopia successivi Una coppia di spazi è una coppia (X, A) ove X è uno spazio topologico ed A ⊂ X è un sottoisieme. Un morfismo tra coppie (X, A) e (Y, B) è una applicazione continua f : X → Y tale che f(A) ⊂ B. Si ha così la categoria delle coppie di spazi. Due morfismi f_{0}, f_{1} : (X, A) → (Y, B) sono detti omotopi se esiste una omotopia F tra f_{0} e f_{1} tale che per a ∈ A e t ∈ [0, 1] sia F (a, t) ∈ B. Indicheremo con [(X, A), (Y, B)] l’insieme delle classi di omotopia di applicazioni di (X, A) in (Y, B)]. Uno spazio con punto base è una coppia (X, x) ove X è uno spazio topologico e x è un suo punto (se si vuole è un tipo particolare di coppia di spazi). Si definiscono in modo analogo le terne di spazi , le coppie di spazi con punto base etc. con le relative nozioni di omotopia. Fissiamo un punto base ∗ in ogni sfera S^{n} (ad esempio ∗ = (1, 0, …, 0) ∈ S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} : ||x|| = 1}). Per uno spazio con punto base (X, x) poniamo π_{n}(X, x) = [(S^{n}, ∗), (X, x)]. Per una coppia con punto base (X, A, x) poniamo π_{n}(X, A, x) = [(D^{n}, S^{n−1}, ∗), (X, A, x)] (si noti che quest’ultimo non è definito per n = 0 perchè S^{−1} = ∅ non possiede un punto base). Si introducono strutture di gruppo su π_{n}(X, x) per n ≥ 1 (gruppi di omotopia) e sui π_{n}(X, A, x) per n ≥ 2 (gruppi di omotopia relativa) in modo analogo a quanto fatto per il gruppo fondamentale di uno spazio. Tali gruppi risultano essere commutativi per n ≥ 3 nel caso relativo e per n ≥ 2 nel caso assoluto. Si ha una successione esatta :

⋯ → π_{n}(A, x) → π_{n}(X, x) → π(X, A, x) → π_{n−1}(a, x) → ⋯

Si ha inoltre una azione di π_{1}(A, x) sui termini della precedente successione esatta che commuta con tutti gli omomorfismi di tale successione; tale azione, nel caso di π_{n}(X, A, x) può essere descritta nel modo seguente: usando coordinate polari S^{n−1} × [0, 1] → D^{n} si applica (s, t) in modo indipendente da s per 0 ≤ t ≤ 1/2 e al variare di t secondo come prescritto dal dato laccetto in A; su S^{n−1} × [1/2, 0] invece come prescritto dall’elemento dato in π_{n}(X, A, x). Tale azione, nel caso che π_{1}(A, x) sia commutativo, è banale su π_{1}(A, x) stesso; lo è su π_{1}(X, x) se e solo se π_{1}(A, x) è nel centro di π_{1}(X, x). Ma anche in tal caso può essere non banale sui π_{n} con n ≥ 2 come accade ad esempio per A = X = S^{1} ∨ S^{n} con n > 1. I gruppi di omotopia, relativi o no, sono evidentemente funtori covarianti rispettivamente sulle coppie di spazi topologici e sugli spazi topologici con applicazioni continue.

Omomorfismo di Hurewicz Se (K, ∗) è uno schema simpliciale con punto base, abbiamo definito un omomorfismo ν : π_{1}(K, ∗) → H_{1}(K, ℤ) e dimostrato che se K è connesso esso è l’abelianizzazione. Analogamente, nel caso continuo, definiamo omomorfismi h_{n} : π_{n}(X, ∗) → H_{n}(X, ℤ) che sono detti di Hurewicz. Essi possono essere definiti rappresentando una classe in π_{n}(X, ∗) con una applicazione continua α : S^{n} → X (punto base scelto comunque) ed associando a tale classe l’immagine per α_{∗} : H_{n}(S^{n}, ℤ) → H_{n}(X, ℤ) della classe fondamentale di S^{n}. Il teorema di Hopf può essere parafrasato con l’asserzione che per X = S^{n} l’omomorfismo h_{n} è un isomorfismo. Questo è un caso particolare del teorema di Hurwicz il quale assicura che se (X, ∗) è (n − 1)−connesso allora h_{n} è un isomorfismo.

Rivestimenti Def. Diremo che ϕ : X → Y è un rivestimento ed se essa è localmente invertibile, ha il rilevamento dei cammini ed X, Y sono connessi (per archi)

Teorema 5 Sia ϕ : X → Y una applicazione tra spazi connessi. Sono fatti equivalenti:

1. ϕ è un rivestimento

2. ogni y ∈ Y ha un intorno aperto U tale che ϕ^{−1}(U) è unione disgiunta di aperti su ognuno dei quali ϕ è un omeomorfismo con U

Dim. 2. ⇒ 1. ϕ è evidentemente localmente invertibile ed è facile verificare che ha il sollevamento dei cammini.

1. ⇒ 2. Sia y_{0} ∈ Y; per ipotesi esso ha un intorno aperto U contrattile. Sia V una componente connessa di ϕ^{−1}(U); essa è un aperto perché X è localmente connesso pre archi e ϕ^{−1}(U) è aperto. Per mostrare che ϕ : V → U è un omeomorfismo basta mostrare che essa è biunivoca, perchè essa è localmente invertibile, quindi continua ed aperta. Surgettività: siano x_{1} ∈ V ed y_{1} = ϕ(x_{1}). Se y ∈ V, si scelga un arco in U da y_{1} ad y; il suo sollevamento ad un arco in X a partire da x_{1} stà in ϕ^{−1}(U) ed avendo un punto nella componente connessa V sarà tutto contenuto in essa. Il punto finale di tale sollevamento è quindi un ounto di V che ha immagine y. iniettività: per x_{1}, x_{2} ∈ V con ϕ(x_{1}) = ϕ(x_{2}) = y si scelga un arco γ in V che li congiunge. Allora ϕ_{∗}(γ) è un laccio chiuso in U che è semplicemente connesso e quindi è deformabile nel laccio costante in y con una omotopia F; il sollevamento G di F avente faccia iniziale γ, avrà una faccia iniziale che ha immagine in ϕ^{−1}(y) che è discreto perchè ϕ è localmente invertibile. Quindi tale faccia finale è costante e quindi x_{1} = x_{2}.

Nota. Si dimostrano per i rivestimenti teoremi analoghi a quelli visti nel caso simpliciale; la teoria è solo un pò più lunga a descriversi, specialmente per la costruzione del rivestimento universale, ma non vi sono sostanziali differenze. Riguardo la nomenclatura usata, precisiamo che uno spazio X viene detto n−connesso se per ogni p ≤ n, ogni applicazione continua di S^{p−1} in X è restrizione di una (continua) definita su tutto D^{p}; in particolare X deve essere non vuoto (n = −1) e connesso (n = 0); inoltre tutti i π_{p}(X, ∗) sono nulli per 𝔭 ≤ n. Lo spazio vuoto non ha quindi nessun grado di connessione ed in particolare non è considerato né connesso né semplicemente connesso.

Teorema 6 Se ϕ : (X, ∗) → (Y, ∗) è un rivestimento tra spazi con punto base, ϕ_{∗} : π_{n}(X, ∗) → π_{n}(Y, ∗) è surgettiva per n = 1 ed un isomorfismo per n > 1

Fibrati Siano ϕ : X → Y una applicazione continua tra spazi topologici. Diremo che ϕ è un prodotto se esistono uno spazio topologico F ed una applicazione r : X → F tali che l’applicazione X ∋ x ↦ (ϕ(x), r(x)) ∈ Y × F sia un omeomorfismo. Se x ∈ X ed y = ϕ(x) diremo che:

- ϕ è localmente un prodotto in x se esiste un intorno aperto U di x in X tale che V = ϕ(U) sia aperto in Y e ϕ : U → V sia un prodotto

- ϕ è localmente un prodotto in y se esiste un intorno aperto V di y in Y tale che ϕ : ϕ^{−1}(V) → V sia un prodotto; in tal caso la fibra X_{y} = ϕ^{−1}(y) è omeomorfa ad X_{y′} se y′ è sufficientemente vicino ad y

- ϕ è un fibrato topologico a fibra F se essa è localmente un prodotto su Y e le sue fibre sono tutte omeomorfe allo spazio topologico F. Siano ϕ : X → S ed f : T → S applicazioni continue. Consideriamo nel prodotto X × T l’insieme Y delle coppie (x, t) tali che ϕ(x) = f(t) e sia ψ : Y → T la restrizione della proiezione canonica. Se ϕ è un fibrato su S di fibra F, allora ψ è un fibrato su T con la stessa fibra (infatti una struttura di prodotto per ϕ su un aperto U di S induce una struttura di prodotto per ψ su V = f^{−1}(U)). Diremo che il fibrato ψ è ottenuto da ϕ con il cambiamento di parametri f. Così i fibrati a fibra F divengono un funtore sulla categoria degli spazi topologici a valori in quella degli insiemi con punto base (corrispondente al fibrato ”banale” F × S).

Esempio. Sia ϕ : X → Y una applicazione (infinitamente) differenziabile tra varietà differenziabili; per un teorema di ”funzioni implicite” essa è localmente un prodotto (differenziabile) in ogni punto x ∈ X in cui non è critica (ossia in cui il differenziale di ϕ sia surgettivo). Con un pò di fatica in più si dimostra che se è propria ed y ∈ Y non è un valore critico (ossia non è immagine di alcun punto critico) allora ϕ è localmente un prodotto (differenziabile) in y (teorema di fibrazione); in particolare se ϕ è propria, priva di punti critici ed Y è connessa, si ha un fibrato (differenziabile).

Fibrati con gruppo strutturale. Sia ϕ : X → Y un fibrato a fibra F e sia V_{i} un aperto in Y tale che ϕ : ϕ^{−1}(V_{i}) → V_{i} sia un prodotto; per ogni y ∈ Y si ha quindi una identificazione (omoeomorfismo) tra F e la fibra X_{y} = ϕ^{−1}(y). Se V_{j} è un altro tale aperto, per y ∈ V_{i} ∩ V_{j} si ha un’altra tale identificazione e quindi un omeomorfismo di F in se stesso; si ha quindi una applicazione f_{ij} di V_{i} ∩ V_{j} nel gruppo O(F) degli omeomorfismi di F in se. Tale gruppo può essere topologizzato (topologia compact-open) in modo da divenire un gruppo topologico (ossia le operazioni di moltiplicazione ed inversione sono continue) e di modo che l’azione O(F) × F → F sia continua. L’applicazione sopra descritta di V_{i} ∩ V_{j} in F risulta allora continua. La nozione di fibrato può essere ristretta in due modi: restringendo Il gruppo O(F) ad un gruppo topologico G che agisca in modo continuo (ed effettivo) su F ed eventualmente restringendo anche la classe di ”regolarità” delle applicazioni f_{ij} sopra descritte. Precisamente, in modo analogo a quello seguito per definire le varietà di una qualche classe di differenziabilità, due strutture di prodotto come sopra su aperti V_{i}, V_{j} di Y saranno dette compatibili per il gruppo G se l’applicazione f_{ij} è a valori in G ed è ”regolare” di una classe fissata; ad esempio è continua ed allora si ha la nozione di fibrato con gruppo strutturale G. Se poi X, Y, F sono varietà differenziabili, ϕ è differenziabile, e G è un gruppo di Lie che agisce (differenziabilmente) su F, chiedendo che le f_{ij} siano differenziabili si ha la nozione di fibrato differenziabile. Ad esempio nel caso F = ℝ^{n} fissando per G il gruppo Gl(ℝ, n) degli automorfismi lineari si ottengono i fibrati vettoriali reali di rango n e se invece si sceglie Gl^{+}(ℝ, n), costituito dagli automorfismi lineari a determinante positivo, si ottengono i fibrati vettoriali orientati; analogamente si definiscono i fibrati vettoriali complessi. Restingendo al gruppo ortogonale (o a quello ortogonale per una data forma quadratica su ℝ^{n}) si ottengono ancora altre nozioni di fibrato. Si noti che se V_{k} è un altro aperto in Y ed è fissata su ϕ^{−1}(V_{k}) una struttura di prodotto compatibile con quelle definite sopra V_{i} e V_{j}, allora su V_{i} ∩ V_{j} ∩ V_{k} si ha l’eguaglianza f_{ij} · f_{jk} = f_{ik} (è qui che utilizziamo il fatto che l’azione del gruppo è effettiva). Daremo adesso una veste ”coomologica” a quanto discusso.

Coomologia a coefficienti in un gruppo topologico Sia G un gruppo topologico. Se U = (U_{i})_{i∈I} è un ricoprimento aperto di uno spazio topologico X, diremo 1−cociclo su U a coefficienti in G il dato f di applicazioni continue f_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → G per ogn i, j ∈ I (in realtà basta considerare i casi in cui U_{i} ∩ U_{j} ≠ ∅) di modo che per ogni i, j, k ∈ I si abbia f_{ij} · f_{jk} = f_{ik} su U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}. Due tali cocicli f e g sono detti equivalenti se esistono applicazioni continue h_{i} : U_{i} → G per ogni i ∈ I tali che f_{ij} = h_{i} · g_{ij} · h_{j}^{−1}. Lo spazio quoziente dell’insieme dei cocicli modulo questa relazione di equivalenza sarà indicato con H^{1}(U, G). Si noti che se G è abeliano, tale coomologia ha una struttura naturale i gruppo; ma in generale essa sarà solo un insieme con fissato un punto ”speciale”: quello definito dal cociclo in cui ogni f_{ij} è l’applicazione costantemente id ∈ G. Si verifica facilmente che tale coomologia è un sistema diretto sui possibili ricoprimenti di X e passando al limite si definisce un insieme puntato H^{1}(X, G); con un pò di lavoro standard di verifica si dimostra:

Teorema 7 Sia G un gruppo topologico che agisca in modo effettivo su uno spazio topologico F. Per ogni spazio topologico X si ha una corrispondenza biunivoca naturale tra H^{1}(X, G) e l’insieme delle classi di isomorfismo di fibrati su X a fibra F e gruppo strutturale G

Nota. Si rifletta sul fatto che nel teorema precedente in uno dei termini comparati non interviene affatto F. Se poi si considerano fibrati di una certa classe regolarità (ad esempio differenziabili), tale teorema rimane valido se si costruisce la coomologia partendo da cocicli soggetti alla stessa condizione di regolarità. Si noti poi, che H^{1}(X, G) può essere pensato, in analogia a quanto fatto per i fibrati topologici, un funtore contravariante sulla categoria degli spazi topologici.

Fibrati vettoriali Diamo un’altra definizione di fibrati vettoriali con la quale è più facile lavorare. Questa coincide con la precedente per spazi ”buoni” di dimensione finita e stà ad essa come stanno le varietà immerse negli spazi euclidei rispetto alle varietà astratte. Notazione: sia E ⊂ X × Y una inclusione tra insiemi; per x ∈ X poniamo E_{x} = {y ∈ Y : (x, y) ∈ E}. Diremo che E è la famiglia dei sottoisiemi (E_{x})_{x∈X} e che X è lo spazio dei ”parametri” di tale famiglia. Sia X uno spazio topologico; un sottoinsieme E ⊂ X × ℝ^{N} è una famiglia continua di spazi vettoriali se:

- per ogni x ∈ X E_{x} è un sottospazio vettoriale di ℝ^{N}

- E è chiuso in X × ℝ^{N} Sostanzialmente E è il dato di un sottospazio vettoriale di ℝ^{N} che dipende con ”continuità” da un parametro in X. Ad esempio se A(x) è una matrice N × N i cui coefficienti sono funzioni continue su X, gli E_{x} = {v ∈ ℝ^{N} : A(x)[v] = 0} formano una tale famiglia. Se tutti gli E_{x} per x ∈ X hanno dimensione n, diremo che tale famiglia è un fibrato vettoriale di rango n su X. Dato una tale oggetto e fissato un x_{0} ∈ X, la proiezione ortogonale r di ℝ^{N} su E_{x_{0}} induce una struttura di prodotto locale in x_{0} per la proiezione naturale ϕ : E → X e due tali strutture sono compatibili per il gruppo Gl(ℝ, n); ne segue che esso è un fibrato (continuo) con gruppo strutturale Gl(ℝ, n). Tra le famiglie continue di spazi vettoriali su uno stesso spazio X si introducono in modo ovvio nozioni quali ad esempio morfismo, somma diretta, nucleo; vi sono invece delle difficoltà a definirne altre come ad esempio l’immagine di un morfismo. Questo potrebbe essere definito come soluzione di un problema universale ma in generale questa definizione non corrisponderebbe alla analoga insiemistica: ad esempio per X = ℝ ed E = ℝ × ℝ, sia σ : E → E definita da σ(x, λ) = (x, x · λ); la sua immagine insiemistica non è una famiglia continua ma σ è ”surgettiva” dal punto di vista funtoriale. Queste difficoltà spariscono restringendosi alle famiglie continue in cui la dimensione della fibra è localmente costante, in particolare per i fibrati vettoriali; quel che rimane interdetto anche in tal caso è la possibilità di utilizzare la nozione di base: non sarà possibile per un fibrato E di scegliere una base in E_{x} che vari con continuità a meno che E sia isomorfo al fibrato banale X × ℝ^{n} che verrà indicato con ϵ^{n}. Sezioni e decomposizioni di un fibrato vettoriale. Sia E ⊂ X ×ℝ^{N} un fibrato vettoriale di rango n su X; fissato su ℝ^{N} un prodotto scalare definito positivo (ad esempio quello standard) la famiglia dgli F_{x} = E_{x}^{⊥} formano un fibrato vettoriale F su X di rango N − n e si ha E ⊕ F ≃ ϵ^{N}. Analogamente se E ⊂ G è una inclusione di fibrati vettoriali su X esiste un sottofibrato F ⊂ G tale che E ⊕ F ≃ G (ossia E possiede supplementari in G). Sia ϕ : E → X un fibrato vettoriale; una sezione di E su un A ⊂ X è una applicazione continua s : A → E tale che ϕ(s(x)) = x per ogni x ∈ X. L’insieme Γ(A, E) di tali sezioni ha una struttura naturale di spazio vettoriale su X. Ad esempio se E è il fibrato tangente ad una varietà differenziabile X, Γ(X, E) = Γ(E) è lo spazio dei campi di vettori tangenti di X e Γ(E^{∗}) (ossia del duale di E) quello delle 1− forme differenziabili. Se s è una sezione di E su X, consideriamo il morfismo σ : ϵ^{1} → E definito da σ(x, λ) = λs(x). Se s non ha zeri su X, la sua immagine è un sottofibrato di rango uno di E che per quanto visto sopra ha un supplementare E′; evidentemente si ha E ≃ ϵ^{1} ⊕ E′; viceversa ogni tale isomorfismo induce una sezione s priva di zeri di E: quella che ha 1 come componente in ϵ^{1} e zero l’altra. Analogamente se (s_{1}, ..., s_{p}) è una p−upla di sezioni di E che siano linearmente indipendenti (che cioè lo siano ”sopra” ogni punto di X) il morfismo σ : ϵ^{p} → E definito da σ(x, (λ_{1}, ..., λ_{p})) = (x, ∑_{1}^{p} λ_{i}s_{i}(x)) è un isomorfismo con un sottofibrato di E; se E′ è un supplementare di quest’ultimo si ha quindi E ≃ ϵ^{p} ⊕ E′. Si ha così :

Teorema 8 Un fibrato vettoriale E su X è isomorfo ad una somma diretta ϵ^{p} ⊕ E′ se e solo se possiede p sezioni che siano (in ogni punto) linearmente indipendenti

Siano ora (s_{1}, ..., s_{N}) sezioni di E tali che (s_{1}(x), ..., s_{N}(x)) sia un sistema di generatori di E_{x} per ogni x ∈ X. Esse inducono un morfismo σ : ϵ^{N} → E surgettivo il cui nucleo F è un fibrato ed il supplementare E′ di F in ϵ^{N} è isomorfo ad E (via σ); si ha quindi che ϵ^{N} ≃ E ⊕ F. Nota. Utilizzando una partizione dell’unità si verifica che la condizione precedente sulle s_{1}, ..., s_{N} equivale al fatto che esse siano un sistema di generatori di Γ(E) sull’anello E(X) delle funzioni continue a valori reali su X. Quindi intanto Γ(E) è finitamente generato (come modulo su E(X)); inoltre esso è un fattore diretto del modulo libero Γ(ϵ^{N}) = E(X)^{N}: ciò dimostra che lo spazio delle sezioni di un fibrato vettoriale è un modulo proiettivo finito. Viceversa si può dimostrare che ogni modulo proiettivo finito su E(X) è isomorfo allo spazio delle sezioni di un fibrato vettoriale su X. In questo modo si ottiene una equivalenza tra fibrati vettoriali e moduli proiettivi finiti che è in effetti una equivalenza di categorie; ciò permette di algebrizzare completamente la teoria dei fibrati vettoriali il che è utilizzato vantaggiosamente in alcune formalizzazioni della geometria differenziale.

Il fibrato tautologico sulla grassmaniana Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita N e 0 ≤ p ≤ N un intero naturale indichiamo con G_{p}(V) l’insieme di tutti i sottospazi vettoriali di V aventi dimensione p. Esso ha una topologia naturale che ne fa una varietà di dimensione p(N − p) (per ogni decomposizione V = A ⊕ B con A di dimensione p si prendendo i grafici di applicazioni lineari di A in B si ha una carta). Chiameremo fibrato tautologico della grassmaniana il fibrato τ_{p}(V) che ha sopra il punto A lo spazio vettoriale A: precisamente τ_{p}(V) = {(A, v) ∈ G_{p}(V) × V : v ∈ A}. Sia ϕ : E → X un fibrato vettoriale di rango p; per ogni applicazione continua σ : T → X consideriamo il fibrato ψ : σ^{∗}(E) → T di rango p definito prendendo sopra il punto t ∈ T lo spazio vettoriale E_{σ(t)}: precisamente si pone:

σ^{∗}(E) = {(t, v) ∈ T × E : σ(t) = ϕ(v)}

Diremo che σ^{∗}(E) è ottenuto da E per il cambiamento di parametri σ. Si dimostra che se ϕ_{1}, ϕ_{2} : T → X sono omotope, allora ϕ_{1}^{∗}(E) e ϕ_{2}^{∗}(E) sono isomorfi. La dimostrazione è molto semplice se supponiamo che T sia compatto: supposto che sia E ⊂ X × ℝ^{N}), si consideri per ogni t ∈ T la proiezione ortogonale di E_{ϕ_{1}(t)} in E_{ϕ_{2}(t)}; se ϕ_{1} e ϕ_{2} sono abbastanza vicine si ottiene l’isomorfismo cercato. Il teorema si dimostra poi nel caso T qualsiasi, utilizzando una successione di sottospazi compatti K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ ... di T che sia esaustiva. Il cambiamento di parametri si può realizzare anche per fibrati più generali (con gruppo strutturale o no) e vale lo stesso principio che applicazioni omotope inducono fibrati isomorfi. La dimostrazione nel caso compatto si fa decomponendo l’omotopia come prodotto di omotopie ognuna a supporto locale (una che si muove solo su valori in un aperto su cui E è un prodotto); si estende poi al caso T non compatto come nel caso vettoriale. In particolare, ogni applicazione continua ϕ : T → G_{p}(V) induce un fibrato vettoriale ϕ^{∗}(τ_{p}(V)) di rango p su T che dipende solo dalla classe di omotopia di ϕ. Si dimostra che se V ha dimensione abbastanza alta rispetto alla dimensione n di T ed a p, ogni fibrato di rango p su T è ottenibile in tale modo; se poi la dimensione di V è un pò più alta, si dimostra che due tali applicazioni che inducano lo stesso fibrato sono necessariamente omotope. Per un V cosiffatto quindi, per ogni spazio T di dimensione al più n l’insieme [T, G_{p}(V)] delle classi di omotopia corrisponde biunivocamente con (”classifica”) i fibrati vettoriali di rango p su T. Se si vuole uno spazio che classifichi per tutti i T indipendentemente dalla dimensione, bisogna fare un ”limite diretto” delle G_{p}(V) su una successione di V le dimensioni dei quali vadano all’infinito: la topologia in tale limite sarà definita in modo analogo a quello fatto per schemi non localmente finiti ed avrà la propietà che ogni applicazione continua da uno spazio compatto in essa è contenuta in una grassmaniana finita.

Classi caratteristiche come ostruzione Sia ϕ : E → X un fibrato vettoriale di rango p. Supponiamo che X sia triangolato da uno schema K di cui indicheremo con K_{n} il suo n−scheletro. Cercheremo di costruire una sezione s mai nulla di E definendola prima su |K_{0}|, cercandone quindi una estenzione a |K_{1}| e cisì via sinché è possibile. Se p > 0 non vi sono difficoltà a definire una tale s su |K_{0}|. Supponiamo di aver esteso s a |K_{r}|; per estenderla a |K_{r}| basta esaminare il problema su ogni r−simplesso A in modo indipendente dagli altri. Siccome E è banale su A, perché esso è contrattile, il problema è il seguente: abbiamo una applicazione σ (indotta da s una volta che le fibre su A sono tutte identificate ad ℝ^{p}) del bordo di A, che è identificabile ad S^{r−1}, in ℝ^{p} − {0} e vogliamo estenderla ad A che è identificabile a D^{r}; ciò è possibile se e solo se la classe in π_{r−1}(ℝ^{p} − {0} definita da σ è nulla. Per ogni r−simplesso A si ha quindi una ”ostruzione” che appartiene ad un gruppo (veramente solo se r > 1) che è non nullo se e solo se r = p ; quindi possiamo estendere s sino ad arrivare a |K_{p−1}|. Nel passo successivo il gruppo ove vive l’ostruzione è ciclico infinito, ma la sua identificazione con ℤ dipende dalla scelta dell’orientazione sulle fibre di E su A. Se il fibrato era orientato (ossia avevamo per gruppo strutturale G^{+}(p, ℝ)) associando ad ogni p−siplesso tale ostruzione si ha una cocatena c ∈ S^{p}(K, ℤ); ma se il fibrato non ha orientazione fissata (anche perché in generale ciò non può essere fatto) allora le ostruzioni stanno in un sistema di coefficienti locali; per semplificare le cose, possiamo ridurre tale sistema di coefficienti in modo che esso divenga costante e si possa usare la normale coomologia simpliciale: basta ridurre (mod 2) e si trova una c ∈ S^{p}(K, ℤ/2ℤ). In entrambi i casi si dimostra che c ha cobordo nullo; inoltre partendo da un’altra costruzione della sezione su |K_{p−1}| si trova un’altra cocatena c′ ma si può verificare che essa differisce da c per un cobordo. Ne segue che se E è orientato, abbiamo costruito una classe di coomologia in H^{p}(K, ℤ), che viene detta classe di Eulero di E ed è indicata con e(E); se invece E non è orientato si è costruita una classe in H^{p}(K, ℤ/2ℤ) che viene detta p−esima classe di Stiefel-Whitney e viene indicata con w_{p}(E). In entrambi i casi l’annullarsi di tale classe è condizione necessaria all’esistenza di una sezione non nulla di E o equivalentemente alla esistenza di una decomposizione E ≃ ϵ^{1} ⊕E′. Altre classi caratteristiche si trovano in modo analogo cercando di costruire simultaneamente r sezioni di E che siano linearmente indipendenti in ogni punto; questa volta le ostruzioni locali saranno nei gruppi di omotopia dello spazio delle matrici r × p aventi rango r (vedi un cenno di calcolo più avanti). Nota. Si può pensare ad altri tipi di costruzioni con le quali costruire altre classi caratteristiche. Si noti comunque che quelle interessanti saranno quelle che sono funtoriali, ossia tali che se σ : X′ → X è un ”cambiamento di parametri”, la classe di σ ∗ (E) sia la σ^{∗} della classe di E: quelle descritte sopra ad esempio, soddisfano tale condizione. Ma ogni tale classe deve essere definita anche per il fibrato tautologico; quindi ”costruire una classe caratteristica” deve corrispondere semplicemente alla scelta di una classe di coomologia per la grassamaniana. Questo è un modo alternativo di introdurre tali classi ed ha il pregiop di mostrare che esse non dipendono dalla particolare triangolazione utilizzata, cosa cui noi non abbiamo neppure accennato.

Successione esatta di omotopia di un fibrato Sia ϕ : E → X un fibrato (con o senza gruppo di struttura) in cui la fibra F e lo spazio base X siano connessi per archi (quindi anche lo spazio totale lo sarà). Siano fissati punti base x ∈ X e ∗ in F_{x} = fibra sopra x, che farà da punto base anche per E . Si hanno omomorfismi i_{∗} : π_{n}(F_{x}, ∗) → π_{n}(E, ∗) e ϕ : π_{n}(E, ∗) → π_{n}(X, x) associati all’inclusione i : F_{x} → E e alla proiezione ϕ : E → X. Definiamo per n > 1, omomorfismi ∂ : π_{n}(X, x) → π_{n−1}(F_{x}, ∗) nel modo seguente: una classe α in π_{n}(X, x) è rappresentabile con una applicazione continua a : (D^{n}, S^{n−1}) → (X, x). Il fibrato a^{∗}(E) su D^{n} è banale perchè D^{n} è contrattile; d’altra parte a^{∗}(E) ha una sezione s su S^{n−1}, perchè tutte le fibre sui punti di S^{n−1} sono identificate alla fibra di ϕ su x. Si ottiene così una applicazione continua σ : S^{n−1} → F che dà la classe ∂α ∈ π_{n−1}(F, ∗) che volevamo definire.

Teorema 9 Se ϕ : E → X è un fibrato con fibra F e base X connessi per archi, si ha una successione esatta lunga :

⋯ → π_{n}(F, ∗) → π_{n}(E, ∗) → π_{n}(X, x) → π_{n−1}(F, ∗) → ⋯

che termina con :

⋯ π_{1}(F, ∗) → π_{1}(E, ∗) → π_{1}(X, x) → 0

Nota. Nelle ipotesi del precedente teorema, se il fibrato possiede una sezione globale s : X → E , le ϕ_{∗} : π_{n}(E, ∗) → π_{n}(X, x) hanno inverse destre s_{∗}, per cui non solo gli omomorfismi ∂ sono tutti nulli e la successione esatta lunga di omotopia del fibrato si decompone in tante successioni esatte corte una per ogni n, ma in più queste spezzano di modo che si ottengono isomorfismi π_{n}(E, ∗) ≃ π_{n}(X, x) ⊕ π_{n}(F, ∗) per n ≥ 2; per n = 1 essendo i gruppi non commutativi, si avrà in generale una azione del gruppo fondamentale della base su quello della fibra, che esibisce π_{1}(E, ∗) come loro prodotto semidiretto. Per n intero positivo, diremo che (X, x) è n−semplice se l’azione di π_{1}(X, x) su π_{n}(X, x) è banale. Per n = 1 ciò accade precisamente quando π_{1}(X, x) è commutativo. La relazione di equivalenza indotta da tale azione, coincide, per X connesso per archi con quella indotta dalla mappa π_{n}(X, x) → [S^{n}, X] ottenuta trascurando il punto base. Quindi uno spazio (X, x) connesso per archi è n−semplice se e solo se non c’è differenza tra le classi di omotopia di applicazioni continue di S^{n} in X con punto base e quelle senza punto base.

Calcolo di alcuni gruppi di omotopia

Indichiamo con F_{r}(n) l’isieme delle r−uple di vettori ortonormali in ℝ^{n}. Si ha F_{1}(n) = S^{n−1} e F_{n−1}(n) = SO(n). Per 0 < r < n e 0 ≤ p ≤ n − r − 1, trascurando in una r−upla gli ultimi p vettori, si ottiene una applicazione continua F_{r+p}(n) → F_{r}(n) che è un fibrato a fibra F_{p}(n − r). Le successioni esatte di omotopia di tali fibrati permettono di calcolare alcuni gruppi di omotopia. Vediamo ad esempio i gruppi fondamentali degli SO(n).

– SO(2) è S^{1} per cui π_{1}(SO(2)) ≃ ℤ.

– Per SO(3) utilizziamo il fibrato SO(3) → S^{2} a fibra SO(2) ≃ S^{1}. Essendo π_{1}(S^{2}) = 0 e π_{2}(S^{1}) = 0 tale fibrato dà una successione esatta:

1 → π_{2}(SO(3)) → π_{2}(S^{2}) → π_{1}(S^{1}) → π_{1}(SO(3)) → 1

Ciò identifica π_{1}(SO(3)) e π_{2}(SO(3)) col nucleo e conucleo di un certo omomorfismo h : ℤ ≃ π_{2}(s^{2}) → π_{1}(S^{1}) ≃ ℤ. Tale h è precisamente l’omomorfismo ∂ utilizzato per la costruzione della successione esatta di omotopia del fibrato; si può vedere applicando direttamente la definizione che h è la moltiplicazione per due cosicchè π_{2}(SO(3)) ≃ 0 e π_{1}(SO(3)) ≃ ℤ/2ℤ. Oppure si può mostrare che due volte il generatore di π_{1}(SO(2)) va a zero in π_{1}(SO(3)). Ne segue che h è o l’identità o la moltiplicazione per due; in ogni caso è iniettiva e quindi π_{2}(SO(3)) = 0. Per mostrare che h è effettivamente la moltiplicazione per due e che conseguentemente π_{1}(SO(3) ≃ ℤ/2ℤ sarà sufficiente mostrare che SO(3) non è semplicemente connesso. Trattandosi di una varietà di dimensione tre, toglierle un punto non altera il gruppo fondamentale, quindi è sufficiente esaminare SO(3) − {1}. Ogni suo elemento g è una rotazione attorno ad una retta r(g) ∈ ℙ^{2} ; considerando l’ambiguità con cui è definito l’angolo θ(g) ∈]0, 2π[ di rotazione di g attorno alla retta r(g) (che è precisabile solo se si fissa una orientazione di r(g)) si verifica che SO(3) non può essere semplicemente connesso. Per calcolare π_{1}(SO(n) con n ≥ 4 , utilizzando la successione esatta di omotopia del fibrato SO(n) ≃ F_{n−1}(n) → F_{1}(n) ≃ S^{n−1} a fibra F_{n−2}(n−1) ≃ SO(n−1) si trova π_{1}(SO(3)) ≃ π_{1}(SO(n). In conclusione il gruppo fondamentale di SO(n) è ℤ/2ℤ tranne che per n = 2 nel qual caso è ℤ.

Questo modo di ragionare si applica più in generale nel modo seguente: sia 1 < p < n ; si hanno fibrati F_{p}(n) → F_{p−1} a fibra S^{n−p} e F_{p}(n) → F_{1}(n) ≃ S^{n−1} a fibra F_{p−1}(n − 1).

Se ne deducono successioni esatte :

⋯ → π_{i}(S^{n−p}) → π_{i}(F_{p}(n)) → π_{i}(F_{p−1}(n)) → π_{i−1}(S^{n−p}) → ⋯

e

⋯ → π_{i+1}(S^{n−1}) → π_{i}(F_{p−1}(n − 1)) → π_{i}(F_{p}(n)) → π_{i}(S^{n−1}) → ⋯

Dalle quali si ottiene :

π_{i}(F_{p}(n)) ≃ π_{i}(F_{p−1}(n))  se  i < n − p

e

π_{i}(F_{p}(n)) ≃ π_{i}(F_{p−1}(n − 1))  se  i < n − 2

Abbiamo calcolato i gruppi π_{1}(F_{p}(n)) per p = n − 1 . Utilizzando la prima delle precedenti successioni si verifica che per p < n − 1 essi sono tutti nulli. Esaminiamo il secondo gruppo di omotopia. Per n − p > 0 si ottiene

π_{2}(F_{p}(n) ≃ π_{2}(F_{1}(n − p + 1)) ≃ π_{2}(S^{n−p}) ≃ 0

e per n = p + 2 siha

π_{2}(F_{p}(p + 2)) ≃ π_{2}(F_{2}(4))

Analogamente per p < n−h si ha che F_{p}(n) ha nulli i primi h gruppi di omotopia e per n = p + h si ha :

π_{h}(F_{p}(p + h)) ≃ π_{h}(F_{2}(2 + h))

I gruppi π_{h}(F_{2}(2 + h)) per h ≥ 2 possono essere determinati utilizzando il teorema di Hurewicz per il quale essi sono isomorfi ai corrispondenti gruppi di omologia intera; questi ultimi sono poi calcolabili utilizzando tecniche di trasversalità con i seguenti argomenti: sia n = h + 2 e sia Σ ⊂ ℝ^{2n} l’insieme delle coppie di vettori di ℝ^{n} che sono linearmente dipendenti; F_{2}(n) è retratto forte di deformazione di ℝ^{2n} −Σ. La successione esatta di omologia della coppia (ℝ^{2n}, ℝ^{2n} − Σ) riduce il problema del calcolo di H_{n−2}(ℝ^{2n} − Σ, ℤ) a quello del gruppo di omologia relativa H_{n−1}(ℝ^{2n}modℝ^{2n} −Σ, ℤ). Ora Σ è sostanzialmente una sottovarietà liscia in ℝ^{2n} di codimensione n − 1 (ha una sola singolarità σ_{0}) ed il suo complementare ha nulli tutti i gruppi di omotopia di ordine basso. In tali condizioni il gruppo che vogliamo determinare è la somma diretta di tanti fattori ℤ quante sono le componenti connesse di Σ che hanno un fibrato normale orientabile e di tanti fattori ℤ/2ℤ quante sono le rimanenti componenti connesse. Nel nostro caso si ha una sola componente connessa ed essendo ℝ^{2n} orientabile, l’orientabilità del suo fibrato normale equivale alla sua orientabilità. Per determinare se è orientabile o no, consideriamo l’applicazione ϕ : S^{n−1}×ℝ^{2}− {0} → Σ − {σ_{0}} definita da (x, (a, b)) → (ax, bx) ; si tratta di un rivestimento doppio determinato dall’involuzione (x, a, b) → (−x, −a, −b) . Tale involuzione conserva l’orientazione di S^{n−1} × ℝ^{2} − {0} se e solo se n è pari cosicchè si trova infine che π_{h}(F_{p}(p + h) è isomorfo a ℤ se h è pari o h = 1 e a ℤ/2ℤ se h è dispari.

Un metodo di calcolo per il π_{1} Sia P (w, z) = w^{n} + a_{1}(z)W^{n−1} + ... + a_{n}(z) un polinomio in w a coefficienti polinomi a_{1}(z), ..., a_{n}z) ∈ ℂ[z_{1}, ..., z_{n}] e sia Δ il suo luogo di zeri in ℂ^{n+1}. Descriviamo un metodo per calcolare una presentazione del gruppo fondamentale di ℂ^{n+1} − Δ. Eliminando w tra p e ∂p/∂w si ottiene un polinomio R(z) ∈ ℂ[z_{1}, ..., z_{n}], detto il discriminante dell’equazione P in w, il cui insieme di zeri Γ in ℂ^{n} consiste dei punti \underline{z} ∈ ℂ^{n} tali che l’equazione P (w, \underline{z}) = 0 non ha n radici didtinte. Si ha Γ = ℂ^{n}, ossia R è identicamente nullo, se e solo se P, come polinomio in W a coefficienti nell’anello dei polinomi nelle z ha qualche fattore primo multiplo. Siccome eliminando tali eventuali molteplicità il luogo di zeri di P non cambia, possiamo supporre che R non sia identicamente nullo. Allora ℂ^{n} − Γ è un aperto connesso. Infatti:

Lemma 10 Il luogo di zeri di un polinomio non identicamente nullo non sconnette ℂ^{n}

Dim. Basta dimostrare che due punti in cui P non si annulla, sono contenuti in un connesso su cui P non ha zeri: se r è una retta affine (complessa) in C^{n} sulla quale P non è identicamente nullo, essa possiede solo un numero finito di zeri di P e quindi non viene da essi sconnessa.

In particolare anche ℂ^{n+1} − Δ è connesso. Sia Γ̃ = ℂ × Γ ⊂ ℂ^{n+1}; la proiezione sullo spazio delle z dà una applicazione ϕ : ℂ^{n+1} − (Δ ∪ Γ̃) le cui fibre sono tutte del tipo ℂ − {n punti}. In effetti si può dimostrare che ϕ è un fibrato (topologico); esso ha inoltre una sezione: infatti se σ : ℂ^{n} → ℂ ha modulo abbastanza alto che cresce abbastanza rapidamente per z ↦ ∞, il suo grafico non incontra Δ. Scegliamo un punto base per ℂ^{n} − Γ ed uno per la fibra L − Δ sopra di esso si ha un diagramma:

0 ⟶ π_{1}(L − Δ) ⟶^{j} π_{1}(ℂ^{n+1} − (Δ ∪ Γ̃)) ⟶^{ϕ} π_{1}(ℂ^{n} − Γ) ⟶ 0
↓^{α}
π_{1}(ℂ^{n+1} − Δ)

ove la riga orizzontale esatta è quella del fibrato che ha la sezione σ; questa determina una inversa destra di ϕ che indichiamo ancora con σ. Tale diagramma soddisfa le seguenti propietà:

1. la linea orizzontale è esatta

2. σ è una inversa destra di ϕ

3. α è surgettiva (perchè Γ̃non sconnette localmente)

4. α ∘ ϕ è l’omomorfismo nullo (perchè la sezione non tocca Δ)

Consideriamo tutto ciò da un punto di vista puramente gruppale; sia:

0 ⟶ H ⟶^{j} W ⟶^{ϕ} S ⟶ 0
↓^{α}
G

un diagramma di omomofismi tra gruppi con le propietà come sopra ove σ è un omomorfismo di S in W. Allora G ha una presentazione come gruppo generato da (generatori di) H e relazioni h^{−1}s(h) per h elemento (di un sistema di generatori) di H ed s elemento (di un sistema di generatori) di S, ove l’azione di S su H è quella determinata dallo spezzamento σ della riga esatta (ossia il coniugio per σ(s) sull’immagine di H in W). Analogo diagramma e relativa presentazione si ha per il gruppo fondamentale di un nodo (o link) che sia stato ”pettinato”, ossia rappresentato come ”chiusura di una treccia”; oppure per il complementare in ℙ^{n}(C) di una ipersuperficie algebrica.