Omologia simpliciale

Nel seguito ogni anello R sarà supposto commutativo con identità moltiplicativa distinta da 0 ed ogni R−modulo sarà unitario. In particolare la nozione di gruppo abeliano coinciderà con quella di ℤ−modulo.

Un p−simplesso orientato di uno schema simpliciale (I, K) è una (p + 1)−upla (i_{0}, …, i_{p}) ∈ I^{p+1} tale che {i_{0}, ..., i_{p}} ∈ K. Se R è un anello fissato chiameremo p−esimo modulo delle catene di K l’R−modulo libero sui p−simplessi di K che sarà indicato S_{p}(K, R) = S_{p}(K) = S_{p}. Un omomorfismo d : S_{p} → S_{p−1} è quindi individuabile dalla conoscenza dei suoi valori sui p−simplessi orientati (perché essi ne costituiscono una base). Introduciamo l’operatore di bordo d : S_{p} → S_{p−1} ponendo:

d(i_{0}, …, i_{p}) = ∑_{h=0}^{p}(−1)^{h}(i_{0}, …, î_{h}, …, i_{p})

ove l’accento ˆ indica l’eliminazione dell’elemento su cui è posto. Un elemento x ∈ S_{p} per cui d(x) = 0 è detto un p−ciclo ed è invece un p−bordo se esiste y ∈ S_{p+1} per cui d(y) = x. L’insieme Z_{p}(K) = Z_{p} dei p−cicli e l’insieme B_{p}(K) = B_{p} dei p−bordi costituiscono dei sottomoduli di S_{p} . Si verifica facilmente che B_{p} ⊂ Z_{p} (basta verificare che il bordo di un p−simplesso ha bordo nullo); il modulo quoziente Z_{p}/B_{p} viene detto p−esimo modulo di omologia di K (a coefficienti in R).

Ad un morfismo ϕ : (I_{1}, K_{1}) → (I_{2}, K_{2}) di schemi simpliciali associamo l’omomorfismo ϕ_{∗} : S_{p}(K_{1}) → S_{p}(K_{2}) che applica il p−simplesso orientato (i_{0}, ..., i_{p}) di K_{1} nel p−simplesso orientato (ϕ(i_{0}), ..., ϕ(i_{p})) di K_{2}. E’ ovvio che ϕ_{∗} e d commutano tra loro: ossia per ogni p−catena x ∈ S_{p}(K_{1}) l’immagine per ϕ_{∗} del suo bordo (in K_{1}) coincide col bordo (in K_{2}) della sua immagine per ϕ_{∗}. Ne segue che ϕ_{∗} applica cicli in cicli e bordi in bordi e risulta quindi ben definito un omomorfismo di H(K_{1}) in H(K_{2}) che verrà indicato ancora con ϕ_{∗}. Abbiamo così costruito per ogni intero p un funtore H_{p} dalla categoria degli schemi in quella degli R−moduli. Indichiamo con S^{p}(K, R) = S^{p}(K) = S^{p} l’ R−modulo Hom(S_{p}, R); i suoi elementi saranno detti cocatene. Chiameremo operatore di cobordo la trasposta d^{∗} : S^{p} → S^{p+1} di d : S_{p+1} → S_{p} ; siccome d ∘ d = 0 si ha anche d^{∗} ∘ d^{∗} = 0 e quindi i sottomoduli di S^{p} dei cobordi B^{p} e dei cocicli Z^{p} sono uno contenuto nell’altro: il loro quoziente H^{p} = Z^{p}/B^{p} è detto modulo di coomologia di K a coefficienti in R . Se ϕ : K_{1} → K_{2} è un morfismo di schemi simpliciali, la trasposta ϕ^{∗} : S^{p}(K_{2}) → S^{p}(K_{1}) di ϕ_{∗} : S_{p}(K_{1}) → S_{p}(K_{2}) è un omomorfismo che commuta con l’operatore di cobordo δ ed induce quindi una ϕ^{∗} : H^{p}(K_{2}) → H^{p}(K_{1}); si vede così che H^{p} ”è” un funtore contravariante dalla categoria degli schemi in quella degli R−moduli (vedi dettagli nel paragrafo sulle nozioni algebriche).

Catene simpliciali non degeneri. Anche se K è finito (ma non vuoto) i moduli S_{p}(K) sono non nulli per ogni p : ad esempio per ogni vertice i ∈ I, si ottiene un p−simplesso orientato ripetendo i per p + 1 volte. Ciò limita l’utilizzo di metodi combinatori. Per superare questa difficoltà possiamo provare ad annullare tutti i p−simplessi degeneri, ossia quelli in cui vi è qualche indice ripetuto. Per ottenere alla fine dei moduli di omologia isomorfi a quelli precedentemente definiti, occorrerà anche identificare un p−simplesso (i_{0}, …, i_{p}) con quello ottenuto applicando una permutazione pari e con l’opposto di quello ottenuto applicando una permutazione dispari. Si ottengono così degli R−moduli S′_{p}(K) quozienti degli S_{p}(K). Si verifica che l’operatore di bordo sugli S_{p}(K) è compatibile con tali quozienti e si ottiene quindi un operatore (di bordo) d : S′_{p} → S′_{p−1} che verifica anch’esso la condizione d ∘ d = 0 ; come prima si introducono allora i moduli Z′_{p} = ker(d) dei p−cicli non degeneri e B′_{p} = Im(d) dei p−bordi non degeneri e moduli di ”omologia non degenere” H′_{p} = Z′_{p}/B′_{p} ; mostreremo più avanti che questi sono isomorfi ai precedenti, per un isomorfismo ”canonicamente” definito. La dimostrazione di ciò verrà fatta tramite risultati di algebra che saranno necessari anche in svariate altre occasioni e dei quali ora discuteremo. Nota. Sulle varietà differenziabili vengono introdotte le forme differenziali dei vari gradi p ≥ 0. Se ϕ : D → X è una applicazione (differenziabile) da una varietà orientata compatta a bordo di dimensione p in una varietà differenziabile qualsiasi X, viene definito ∫_{(D,ϕ)} ω. Chiamiamo una tale (D, ϕ) una p−catena; la (p − 1)−catena (∂D, ϕ_{|∂D}) = ∂(D, ϕ) verrà detta il suo bordo. Si definisce allora un operatore lineare (differenziazione esterna) d che trasforma forme di grado p in forme di grado (p + 1), come l’unico per il quale vale la formula (di Stokes): se ω è una p−forma e C una (p + 1)−catena allora ∫_{C} d(ω) = ∫_{∂C} ω; (casi particolari di essa sono i teoremi di Torricelli, della divergenza e del rotore). E’ evidente l’analogia di ciò con quanto definito sugli schemi simpliciali, almeno se l’anello dei coefficienti è ℤ: ad X sostituiamo uno schema simpliciale K (che è pensato triangolare X); le p−catene che sono le combinazioni lineari intere di p−simplessi orientati, possono essere reinterpretate come gli oggetti ϕ : D → K ove D è una p−pseudo varietà (ossia uno schema simpliciale in cui ogni simplesso è faccia di qualche p−simplesso e precisamente di uno o di due se ha dimensione p − 1) orientata e ϕ è un morfismo simpliciale. Le p−forme sono gli oggetti ”integrabili” sulle p−catene e sono quindi ottenuti attribuendo ad ogni p−simplesso orientato uno scalare (intero), ossia sono le p−cocatene di K; introdurre l’operatore δ come trasposta dell’operatore di bordo d equivale allora ad imporre la validità della formula di Stokes. Per questa ragione nel seguito, anche nel caso di un anello dei coefficienti diverso da ℤ , indicheremo spesso con ∫_{c} ω il valore della cocatena ω ∈ S^{p}(K, R) sulla catena c ∈ S_{p}(K, R).

Nozioni algebriche di base che utilizzeremo. Sia R un anello fissato. Un complesso (su R ) è una coppia (X, d) ove X è un R−modulo e d : X → X è un endomorfismo tale che d ∘ d = 0 che verrà detto operatore di bordo. I cicli di X sono gli elementi del nucleo Z(X) di d ; i bordi di X sono gli elementi dell’immagine B(X) di d e l’ℝ−modulo H(X) = Z(X)/B(X) viene detto l’omologia del complesso.

Spesso X sarà graduato: ossia è fissata una decomposizione X = ⨁_{p∈ℤ} X_{p}. In tal caso d sarà detto omogeneo di grado r se d(X_{p}) ⊂ X_{p+r}; se r = −1 diremo che X è un complesso di catene, se r = 1 parleremo di complesso di cocatene. In tali casi si hanno graduazioni indotte in modo ovvio sugli Z , B ed H i cui fattori verranno indicati con indici in basso nel caso di complessi di catene e con indici in alto per i complessi di cocatene.

Diremo complesso duale di un complesso (X, d) il complesso (X^{∗}, d^{∗}) ove X^{∗} =Hom(X, R) e d^{∗} è definito da d^{∗}(h) = h ∘ d (ossia d^{∗} è la trasposta di d).

L’omologia H(X^{∗}) di X^{∗} verrà detta coomologia di X e verrà indicata anche con la notazione H^{∗}(X). Nota. Se, come quasi sempre, X = ⨁_{p∈ℤ} X_{p} è graduato, come complesso duale considereremo la somma diretta X^{∗} = ⨁_{p∈ℤ}Hom(X_{p}, R); essa coincide con Hom(X, R) solo in alcuni casi: ad esempio se è X_{p} = (0) salvo al più per un numero finito di p ∈ ℤ (ciò è dovuto alla differenza tra somme dirette e prodotti diretti: il duale di una somma è un prodotto).

L’applicazione bilineare X^{∗} × X ∋ (h, x) → h(x) = ∫_{x} h ∈ R induce una applicazione bilineare:

∫ : H^{∗}(X) × H(X) → R

Nel caso X sia un complesso di catene, l’applicazione precedente induce per ogni p ∈ ℤ una applicazione bilineare:

∫ : H^{p}(X^{∗}) × H_{p}(X) → R

Un morfismo tra complessi ϕ : (X, d) → (X′, d′) è un omomorfismo di R−moduli ϕ : X → X′ che commuta con gli operatori di bordo: ossia tale che ϕ ∘ d = d ∘ ϕ. Ogni tale morfismo induce un omomorfismo H(X) → H(X′) che verrà indicato con H(ϕ) o più spesso con ϕ_{∗}.

Si verifica facilmente che H diviene in tal modo un funtore covariante dalla categoria dei complessi su R nella categoria degli R−moduli. Ciò significa che se ϕ : X → X′ e ψ : X′ → X′′ sono morfismi di complessi, allora H(ψ ∘ ϕ) = H(ψ) ∘ H(ϕ) e che se id è l’identità su X, allora H(id) è l’identità su H(X). Dualmente la coomologia rappresenta invece un funtore contravariante, ossia H^{∗}(ψ ∘ ϕ) = H^{∗}(ϕ) ∘ H^{∗}(ψ).

Commento sulle forme bilineari e dualità. Si può pensare che l’omologia e la coomologia siano una il duale dell’altra. Ciò non è sempre vero, come verrà mostrato con esempi espliciti nel seguito; in ogni caso bisogna prima precisare cosa si intenda per ”essere il duale”. Il duale di un R−modulo X è l’R−modulo X^{∗} = Hom(X, R) ; valutando gli elementi α ∈ X^{∗} sugli elementi x ∈ X si otiene una applicazione bilineare

X^{∗} × X ∋ (α, x) ↦ α(x) ∈ R

che è detta la dualità naturale. Più in generale dati R−moduli X, Y , una applicazione bilineare b : Y ×X → R sarà detta una dualità se esiste un isomorfismo ϕ : Y → X^{∗} che ”trasforma” b nella dualità naturale; ossia tale che per y ∈ Y ed x ∈ X si abbia b(y, x) = ϕ(y)(x). Cerchiamo di capire quando ciò accade. Alla applicazione bilineare b si associa in modo naturale un omomorfismo σ : Y → X^{∗} ottenuto associando ad y ∈ Y il ”funzionale” X ∋ x ↦ b(y, x) ∈ R ed in modo analogo un omomorfismo τ : X → Y^{∗}. Se R è un corpo (commutativo, come sempre in queste note) ed X, Y hanno dimensione finita, allora σ è un isomorfismo se e solo se τ lo è. In dimensione infinita ciò non accade più; anzi in tal caso se uno di essi è un isomorfismo, l’altro sicuramente non lo è: ciò dipende dal fatto che per uno spazio vettoriale di dimensione infinita, l’inclusione X → (X^{∗})^{∗} non è surgettiva (il biduale non coincide con lo spazio di partenza. Tale ”riflessività” si riottiene in alcuni casi introducendo una topologia e considerando solo i funzionali continui, ma ciò non funziona anche per molti spazi di Banach). Le cose si complicano ancora di più se poi R non è un corpo. In ogni caso b sarà una dualità se e solo se σ è un isomorfismo, nel qual caso diremo anche che b identifica Y col duale di X (o che ”è ” il duale di X). Se X, Y sono moduli liberi finitamente generati su R, ciò accade se e solo se essi hanno la stessa ”dimensione” (in tali ipotesi essa può essere definita) e che scelte basi (e_{i})_{i∈I} per X ed (f_{i})_{i∈I} per Y, il determinante della matrice di componenti b(e_{i}, f_{j}) è un elemento invertibile di R; in tal caso allora anche τ è un isomorfismo, per cui Y è il duale di X se e solo se X è il duale di Y. Vediamo ora cosa si può dire per la forma bilineare ∫ : H^{p} × H_{p} → R , ossia per l’omomorfismo associato σ : H^{p} → H_{p}^{∗}, nel caso che R sia un corpo: surgettività di σ. Sia α : H_{p} → R lineare, ossia α ∈ H_{p}^{∗}. Componendo con la surgezione Z_{p} → H_{p} si ottiene una α_{1} : Z_{p} → R che è nulla su B_{p}. Essendo R un corpo, ogni funzionale su un sottospazio vettoriale, si estende ad un funzionale su tutto lo spazio; esiste così una estenzione α_{2} di α, che è quindi una p−cocatena. Siccome α_{2} è nulla su B_{p}, essa è un cociclo ed è ovvio che per ogni p−ciclo x , si ha ∫_{x} α_{2} = α_{1}(x); ciò significa appunto che α è l’immagine della classe di α_{2} per l’omomorfismo σ. iniettività di σ. Consideriamo ora una classe di coomologia di grado p che sia annullata da σ; essa sarà rapresentata da una p−cocatena α : S_{p} → R che essendo un cobordo deve essere nulla su B_{p}. Di più, siccome tale classe va a zero in H_{p}^{∗}, si ha che α si annulla su Z_{p}; quindi ker(α) ⊃ ker(d) e risulta univocamente determinato un omomorfismo β : B_{p−1} → R tale che β ∘ d = α. Sia ω una estenzione lineare di β a tutto S_{p−1}; tale ω è una (p − 1)−cocatena e per x ∈ S_{p} si ha:

∫_{x} δ(ω) = ∫_{dx} ω = β(dx) = ∫_{x} α

il che significa che α = δ(ω); ossia α è un cobordo e la classe di coomologia da cui si era partiti era la classe nulla. Si può dimostrare che l’argomentazione che dà la surgettività di σ funziona anche nel caso che R sia ℤ (o un altro anello ad ideali principali) e gli X_{p} sono moduli liberi (come accade ad esempio per il complesso delle catene simpliciali). Infatti in tal caso si ha che se n·x ∈ Z_{p} con n ∈ R−{0} ed x ∈ X_{p} allora x deve essere in Z_{p} ; un teorema di algebra (essenzialmente il teorema dei ”divisori elementari”) assicura che allora Z_{p} ha un supplementare in X_{p} e quindi ogni funzionale su Z_{p} è estendibile ad uno su tutto X_{p}.

Per quanto riguarda la iniettività invece, essa non si verifica in generale anche nel caso ”buono” dei coefficienti interi (ad esempio, come vedremo, per p = 2 ed X = ℙ^{2} il piano proiettivo reale). Comunque se H_{p−1}(K; ℤ) è privo di torsione, si ha che se n·x ∈ B_{p−1} con n ≠ 0 ed x ∈ Z_{p−1}, allora x ∈ B_{p−1}; allora esso ha un supplementare (in Z_{p} e quindi anche in S_{p}) e l’argomento usato per coefficienti in un corpo può ancora essere applicato. Si ha quindi il:

Teorema 1 Se l’anello dei coefficienti è un corpo, la coomologia è il duale dell’omologia; in tal caso se uno di essi (e quindi anche l’altro) ha dimensione finita, allora l’omologia è il duale della coomologia. Se R è ad ideali principali ed il complesso è libero, l’omomorfismo naturale H^{p} → (H_{p})^{∗} è surgettivo; esso è anche iniettivo se H_{p−1} è senza torsione

Si noti che la iniettività di σ può essere espressa anche così : una p−forma chiusa ha primitiva, ossia una (p − 1)−forma di cui è il differenziale (ossia il cobordo), se ha tutti i periodi (i suoi integrali sui p−cicli) nulli. Per il teorema precedente ciò accade se R è un corpo; può essere falso se R = ℤ.

Successione esatta lunga e lemma dei cinque Una costruzione fondamentale della teoria è la seguente; siano α : X′ → X e β : X → X′′ morfismi di complessi tali che:

0 → X′ → X → X′′ → 0

sia una successione esatta (detta successione esatta corta). Allora la successione:

H(X′) → H(X) → H(X′′)

è esatta ma in generale non lo è la :

0 → H(X′) → H(X) → H(X′′) → 0

Si costruisce comunque in modo ”naturale” un omomorfismo

δ : H(X′′) → H(X′) tale che la successione:

... → H(X′′) → H(X′) → H(X) → H(X′′) → H(X′) → ...

sia esatta; tale δ viene detto operatore di congiunzione e la successione ottenuta è detta successione esatta lunga di omologia. L’affermazione che δ è ”naturale” può essere precisata considerando la categoria delle successioni esatte corte di complessi: δ è un ”omomorfismo” (ossia quello che nel linguaggio delle categorie viene detto una trasformazione naturale) del funtore che ad ogni tale successione associa H(X′′) in quello che ad essa associa H(X′) e ciò è esprimibile in termini di commutatività dei diagrammi che si ottengono in tale situazione.

La costruzione di δ procede così : Sia x′′ ∈ X′′ un rappresentante di una classe h′′ ∈ H(X′′); quindi d(x′′) = 0. Essendo β surgettiva esiste x ∈ X con β(x) = x′′. Consideriamo y = dx; allora β(y) = βd(x) = dβ(x) = d(x′′) = 0 ed essendo ker(β) = Im(α) esiste y′ ∈ X′ con α(y′) = y. Si verifica che d(y′) = 0 e si definisce come δ(h) la classe determinata da y′ in H(X′).

Che tale δ(h) non dipende dalle scelte fatte e che quindi dipende solo da h, che δ è un omomorfismo di H(X′′) in H(X′) e che la successione esatta lunga è effettivamente esatta, è dimostrabile con tediose ma banali argomentazioni di tipo lineare.

Se X′, X, X′′ sono graduati, α e β sono omogenei di grado zero e d ha grado −1 (risp. grado +1) si avrà:

δ : H_{p}(X′′) → H_{p−1}(X′) (risp. δ : H^{p}(X′′) → H^{p+1}(X′))

Ciò si deduce dalla costruzione sopra descritta la quale utilizza solo operatori di grado zero salvo una volta in cui interviene l’operatore di bordo. Si ottiene allora la seguente successione esatta lunga:

... → H_{p+1}(X′′) →^{δ} H_{p}(X′) →^{α_{∗}} H_{p}(X) →^{β_{∗}} H_{p}(X′′) →^{δ} H_{p−1}(X′) →^{α_{∗}} ...

Un altro risultato che utilizzeremo in varie occasioni è il seguente, che potrebbe essere detto ”teorema del doppio carabiniere” (in analogia ad un classico teorema sui limiti di funzioni) ma che invece viene detto ”lemma dei cinque”.

Teorema 2 Se in un diagramma di ℝ−moduli

⋯ ⟶ A_{1} ⟶^{α_{1}} A_{2} ⟶^{α_{2}} A_{3} ⟶^{α_{3}} A_{4} ⟶^{α_{4}} A_{5} ⟶ ⋯
↓^{f_{1}}  ↓^{f_{2}}  ↓^{f_{3}}  ↓^{f_{4}}  ↓^{f_{5}}
⋯ ⟶ B_{1} ⟶_{β_{1}} B_{2} ⟶_{β_{2}} B_{3} ⟶_{β_{3}} B_{4} ⟶_{β_{4}} B_{5} ⟶ ⋯

che sia commutativo ed a righe esatte, gli omomorfismi f_{1} , f_{2} , f_{4} , f_{5} sono isomorfismi, allora anche f_{3} è un isomorfismo

Dim. La dimostrazione si fa mostrando quanto asserito nell’unico modo, ovvio ma un pò noioso, in cui ciò può essere fatto.

Successione di Mayer-Vietoris per omologia e coomologia Siano K_{1} , K_{2} due sottoschemi simpliciali di K tali che K_{1} ∪ K_{2} = K e sia K_{0} = K_{1} ∩ K_{2}. Indichiamo con σ_{i} : S(K_{0}) → S(K_{i}) e τ_{i} : S(K_{i}) → S(K) per i = 1, 2 gli omomorfismi indotti dalle inclusioni. Si ha una successione esatta:

(†) 0 → S(K_{0}) ⟶^{σ} S(K_{1}) ⊕ S(K_{2}) ⟶^{τ} S(K) → 0

ove σ(c) = (σ_{1}(c), σ_{2}(c)) e τ(c_{1}, c_{2}) = τ_{1}(c_{1}) − τ_{2}(c_{2}). La successione esatta lunga associata a tale successione esatta corta è detta successione di Mayer-Vietoris per l’omologia:

... → H_{p}(K_{0}) → H_{p}(K_{1}) ⊕ H_{p}(K_{2}) → H_{p}(K) →^{δ} H_{p−1}(K_{0}) → ...

Dualizzando la † si ottiene la successione:

(‡) 0 → S^{∗}(K) ⟶^{τ^{∗}} S^{∗}(K_{1}) ⊕ S^{∗}(K_{2}) ⟶^{σ} S^{∗}(K_{0}) → 0

Che essa sia esatta, segue dal fatto che S(K) è libero. Spieghiamo perché: se 0 → X_{1} →^{α} X →^{β} X_{2} → 0 una successione esatta di R−moduli ed Y è un altro R−modulo (ad esempio R), la successione;

0 → Hom(X_{1}, Y) →^{β^{∗}} Hom(X, Y) →^{α^{∗}} Hom(X_{2}, Y)

è esatta, ma in generale α^{∗} non è surgettiva (come ad esempio capita per la successione 0 → ℤ → ℤ → ℤ/2ℤ → 0 ove α è la moltiplicazione per 2). Si ha invece che α^{∗} è surgettiva se β ha una inversa destra, ossia se esiste un omomorfismo σ : X_{2} → X tale che β ∘ σ = id_{|X_{2}} (in tal caso si dice che la successione data spezza). Infatti in tal caso, come si verifica facilmente, X è somma diretta delle immagini di α e di σ ed ogni omomorfismo X_{1} → Y proviene da uno da X in Y (ossia, pensando X_{1} identificato ad un sottomodulo di X, un omomorfismo X_{1} → Y può essere esteso a tutto X, ponendolo per esempio uguale a zero sugli elementi del supplementare Im(σ)). Ora la successione esatta corta considerata spezza se X_{2} è un modulo libero: infatti una inversa destra è costruibile associando ad ogni elemento di una sua base fissata un qualsiasi suo antecedente in X. Ciò si applica in particolare alla successione † perché S_{p}(K) è per definizione un R−modulo libero.

Dalla esattezza di (‡) si ottiene la succesioni di Mayer-Vietoris per la coomologia simpliciale:

... → H^{p}(K) → H^{p}(K_{1}) ⊕ H^{p}(K_{2}) → H^{p}(K_{0}) →^{δ} H^{p+1}(K) → ...

Isomorfismo tra omologia ed omologia non degenere. Il morfismo di proiezione S(K) → S′(K) del complesso delle catene simpliciali in quelle non degeneri è un morfismo di complessi; induce quindi una trasformazione (naturale tra funtori) H(K) → H′(K).

Teorema 3 L’omomorfismo H(K) → H′(K) è un isomorfismo per ogni schema simpliciale K

La dimostrazione sarà fatta in più passi:

passo 1: esaminiamo il caso di uno schema simpliciale di tipo cono, ossia uno schema (I′, K′) ottenuto da uno schema simpliciale (I, K) prendendo I′ = I ∪ {i_{0}} con i_{0} ∉ I , e K′ = K ∪ {s ∪ {i_{0}} : s ∈ K}. Mostreremo ora che per entrambi le teorie l’omologia di un tale K è nulla ed in particolare quindi che il teorema è in tal caso verificato. Sia infatti Σ : S_{p}(K) → S_{p+1}(K) l’omomorfismo definito da:

Σ(i_{1}, …, i_{p}) = (i_{0}, …, i_{p})

si verifica facilmente che per ogni c ∈ S(K) si ha:

Σ ∘ d (c) + d ∘ Σ (c) = c

Ne segue che per c ∈ S(K) con d(c) = 0, si ha c = d ∘ Σ(c) e quindi H(K) = 0.

Notiamo poi che Σ è compatibile con le relazioni di equivalenza definenti le catene non degeneri (ovviamente se il simplesso di partenza contiene già il vertice i_{0}, allora Σ di esso vale zero). Ne segue che tale Σ e d verificano la stessa relazione di prima e quindi che è anche H′(K) = 0.

passo 2: si scriva la successione di Mayer-Vietoris del’omologia simpliciale per una decomposizione di K come unione di sottoschemi K_{1}, K_{2} ove K_{0} = K_{1} ∩ K_{2}. Una analoga successione, costruita nello stesso modo, esiste anche per l’omologia non degenere; gli omomorfismi che portano l’omologia simpliciale in quella non degenere collegano tali successioni esatte in un (lungo) diagramma commutativo. Applicando il lemma dei 5 si ottiene che se l’enunciato del teorema è verificato da K_{o}, K_{1} e K_{2} allora è verificato anche da K.

passo 3: il teorema è vero per ogni schema finito: infatti supponiamo che il teorema sia valido per tutti gli schemi aventi meno di N simplessi e sia K uno schema avente N simplessi. Scelto un simplesso s ∈ K che non sia nel bordo proprio di alcun altro simplesso (ad esempio di dimensione massima tra quelli di K), siano K_{1} lo schema K − {s} e K_{2} lo schema formato da tutte le facce di s. Allora il teorema è verificato da K_{1} e da K_{0} = K_{1} ∩ K_{2} perché hanno meno di N simplessi. E’ verificato da K_{2} perché esso è di tipo cono (è il cono su un ”simplesso” di dimensione inferiore di uno); quindi è verificato per K.

passo 4: Caso K qualsiasi. Il passaggio da K finito a K qualsiasi è fatto con un ragionamento di tipo induttivo, o meglio di tipo ”passaggio al limite”. Basterà osservare che S(K) è l’unione degli S(K′) per K′ sottoschema finito di K e che la stessa cosa vale per S′. Ad esempio per l’iniettività si ragiona così : se x è un ciclo in S(K) la cui immagine x′ in S′(K) è bordo di un certo y′ ∈ S′(K), esiste un sottoschema finito K′ di K tale che y′ (ed x′) appartengono ad S′(K′). Quindi x rappresenta una classe in H(K′) che va a zero in H′(K′) ed essendo H(K′) → H′(K′) un isomorfismo perché K′ è finito, x rappresenta la classe nulla in H(K′) e quindi esso da la classe nulla anche in H(K).

Corollario 4 Se K è uno schema di dimensione n (ossia non ha simplessi di dimensione maggiore di n , allora H_{p}(K, R) = (0) per p > n

Dim. Infatti la coomologia può essere calcolata col complesso delle catene non degeneri e per questa i moduli S_{p} sono nulli per p > n.

Sia K uno schema simpliciale finito. Indichando con v_{p} il numero dei suoi p−simplessi, si definisce la caratteristica di Eulero-Poincaré di K come la somma alternata χ(K) = v_{0} − v_{1} + v_{2} − .... Siccome v_{−1} = 1 si avrà anche χ(K) = 1 + ∑_{p∈ℤ}(−1)^{p}v_{p}.

Ad esempio, per K = Δ_{n} l’n−simplesso standard, si ha χ(Δ_{−1}) = 0 e χ(Δ_{n}) = 1 se n ≥ 0 (si usi la formula 0 = (1 − 1)^{n+1} = ∑_{0}^{n+1}(−1)^{h}\binom{n+1}{h})

Sia R un corpo, cosicché gli S′(K, R) sono spazi vettoriali su R di dimensione v_{p}. Indichiamo con B_{p} e Z_{p} i sottospazi vettoriali dei bordi e dei cicli di dimensione p le cui dimensioni indicheremo con b_{p} e z_{p}; indichiamo poi con h_{p} la dimensione di H_{p}(K, R). Dalle successioni esatte :

0 → B_{p} → Z_{p} → H_{p} → 0
0 → Z_{p} → S′_{p} → B_{p−1} → 0

si ottengono le uguaglianze h_{p} = z_{p}−b_{p} , v_{p} = z_{p}+b_{p−1} e da queste le eguaglianze χ(K) = 1 + ∑_{p∈ℤ}(−1)^{p}v_{p} = 1 + ∑_{p∈ℤ}(−1)^{p}h_{p}. Si è così dimostrato il seguente:

Teorema 5 La caratteristica di Eulero-Poincaré di uno schema finito vale 1 più la somma alternata −h_{−1} + h_{0} − h_{1} + h_{2} − ... delle dimensioni degli spazi di omologia qualunque sia il corpo dei coefficienti utilizzato

Osservazioni. I numeri v_{p} dipendono solo dallo schema considerato. Al contrario le dimensioni h_{p} degli spazi H_{p}(K, R) possono dipendere dal corpo R. Ad esempio se K è il piano proiettivo, vedremo che h_{2} = 0 se R = ℚ mentre h_{2} = 1 se R = ℤ/2ℤ. Il teorema precedente assicura solo che tali variazioni si compensano nella somma alternata. Infatti ad esempio per il piano proiettivo si ha h_{1} = 0 per R = ℚ e h_{1} = 1 per R = ℤ/2ℤ. La caratteristica di Eulero-Poincarè può essere calcolata anche con i moduli di omologia a coefficienti interi. E’ necessario però introdurre l’analogo della dimensione di uno spazio vettoriale che è il rango di uno ℤ−modulo finitamente generato M. Esso può essere introdotto come la dimensione dello spazio vettoriale M ⊗_{ℤ} ℚ. Oppure si può dividere M per il sottogruppo costituito dagli elementi a torsione (gli x ∈ M per i quali esiste un intero n ≠ 0 tale che nx = 0) ed ottenere un modulo M′ finitamente generato e senza torsione. Un teorema di struttura (che utilizza il fatto che ℤ è ad ideali principali) assicura che un tale M′ è uno ℤ−modulo libero finito e si definisce il rango di M come il numero di elementi di una base di M′ su ℤ. Il fatto che i moduli H_{p} sono finitamente generati, può essere dedotto dal fatto che ℤ è noetheriano. Riporteremo una discussione su ciò nella appendice sul teorema dei divisori elementari. E’ comunque facile verificare direttamente dalle definizioni che se H_{p}(K, ℚ) ha dimensione h allora H_{p}(K, ℤ) deve contenere un sottogruppo isomorfo a ℤ^{h} (si dimostri per esercizio che l’immagine di H_{p}(K, ℤ) in H_{p}(K, ℚ) contiene un sistema di generatori). Ciò ci permetterà di dimostrare più avanti che se K è una 3−varietà non orientabile allora H_{1}(K, ℤ) e quindi anche π_{1}(K, ∗) è infinito.

Coomologia con cocatene alternati La coomologia simpliciale di uno schema K è stata definita come l’omologia del complesso di cocatene costituito dagli S^{p}(K) =Hom(S_{p}(K), R). Dualizzando su R il complesso delle catene non degeneri S′(K), si ottiene un altro complesso S̃(K) che è di cocatene avente componenti S̃^{p}(K) =Hom(S′_{p}(K), R); la surgezione S(K) → S′(K) → 0 induce allora una inclusione 0 → S̃(K) → S(K). E’ facile riconoscere che gli elementi c ∈ S̃^{p}(K) sono le cocatene alternanti, ossia quelle il cui valore c(i_{0}, …, i_{p}), per (i_{o}, …, i_{p}) ∈ I^{p+1} con {i_{0}, …, i_{p}} ∈ K, cambia nell’opposto per ogni trasposizione di (i_{0}, …, i_{p}).

Teorema 6 L’inclusione S̃ ⊂ S^{∗} induce un isomorfismo tra la coomologia delle forme alternanti con la coomologia simpliciale

Dim. Se l’anello dei coefficienti è un corpo le due coomologie coincidono perché entrambi sono le duali delle due omologie che abbiamo già dimostrato essere isomorfe. Nel caso di coefficienti qualsiasi, potremmo cercare di rifare la ”stessa” dimostrazione fatta per l’omologia. Per il primo passo non vi sono problemi: se K è un cono, la relazione Σ ∘ d + d ∘ Σ = id dà, per passaggio alle trasposte la relazione δ ∘ Σ^{∗} + Σ^{∗} ∘ δ = id e ciò implica l’annullamento della coomologia simpliciale; stessa cosa per quella non degenere (delle cocatene alternanti). Anche il secondo passo può essere ripetuto parola per parola, perché la successione di Mayer-Vietoris è valida anche in coomologia. Se ne conclude l’eguaglianza delle due teorie per ogni schema finito. Ma il passaggio ”al limite” sembra più problematico (si provi ad esempio a dimostrare che se un elemento di H^{p}(K) induce l’elemento nullo di H^{p}(H) per ogni sottoschema finito H ⊂ K, allora è nullo in H^{p}(K)). Per il momento lasciamo la questione in sospeso: nel prossimo paragrafo daremo un’altra dimostrazione dell’isomorfismo tra omologia simpliciale ed omologia non degenere che non solo si estende immediatamente ad una analoga per la coomologia, ma anche per ”qualsiasi costruzione funtoriale” possibile.

Omotopia tra applicazioni. Ricordiamo che due morfismi ϕ, ψ : K_{1} → K_{2} tra schemi simpliciali sono contigui se per ogni s ∈ K_{1} si ha ϕ(s) ∪ ψ(s) ∈ K_{2}. Si noti che allora, le applicazioni continue |ϕ|, |ψ| tra i supporti geometrici |K_{1}| , |K_{2}| sono gli estremi della omotopia ”elementare” :

|K_{1}| × [0, 1] ∋ (x, t) ↦ t(|ϕ|(x)) + (1 − t)(|ψ|(x)) ∈ |K_{2}|

I due morfismi ϕ , ψ sono poi omotopi se si può passare dall’uno all’altro con un numero finito di passaggi tra morfismi contigui. Supponiamo che ϕ , ψ : K_{1} → K_{2} siano morfismi contigui. Costruiamo un omomorfismo Σ : S(K_{1}) → S(K_{2}) omogeneo di grado +1 associando ad un p−simplesso s = (i_{0}, ..., i_{p}) ∈ S_{p}(K_{1}) la (p + 1)−catena in S_{p+1}(K_{2}) :

Σ(s) = ∑_{0}^{p}(−1)^{h}(ϕ(i_{0}), .., ϕ(i_{h}), ψ(i_{h}), .., ψ(i_{p}))

Si verifica con un semplice calcolo diretto che l’omomorfismo Σ è legato agli omomorfismi ϕ_{∗} , ψ_{∗} : S(K_{1}) → S(K_{2}) dalla relazione: d ∘ Σ + Σ ∘ d = ψ_{∗} − ϕ_{∗}. In generale chiameremo omotopia (algebrica) tra due morfismi f, g : X → Y di complessi, ogni omomorfismo Σ : X → Y tale che d ∘ Σ + Σ ∘ d = g − f; se una tale Σ esiste diremo che f e g sono (algebricamente) omotopi. E’ chiaro che se i complessi sono graduati ed f , g sono omogenei di grado zero, allora Σ deve avere grado opposto a quello di d, quindi +1 per complessi di catene e −1 per quelli di cocatene. Sono immediati i seguenti fatti:

- due morfismi tra complessi che siano omotopi, inducono lo stesso omomorfismo in omologia

- i duali di morfismi omotopi sono omotopi; in particolare quindi morfismi omotopi tra complessi, inducono lo stesso omomorfismo anche in coomologia

- due morfismi tra schemi simpliciali che siano omotopi, inducono stessi omomorfismi sia in omologia che in coomologia (essi inducono infatti morfismi a livello dei complessi di catene simpliciali, che sono (algebricamente) omotopi: si faccia la somma delle omotopie associate ad una catena di contigue)

Un morfismo f : X → Y (sia a livello di schemi che di complessi) è detto una equivalenza di omotopia se esiste un morfismo g : Y → X tale che f ∘ g e g ∘ f siano omotope rispettivamente alle identità su Y ed X. In tal caso quindi, gli omomorfismi indotti sia in omologia che in coomologia sono degli isomorfismi. Consideriamo ora il morfismo naturale ϕ : S(K) → S′(K) tra il complesso delle catene simpliciali in quelle non degeneri di uno schema K. Fissiamo una inversa destra ψ : S′(K) → S(K) scegliendo per ogni p− simplesso s = {i_{o}, ..., i_{p}} ∈ K un ordinamento dei suoi vertici (ad esempio quello indotto da un prefissato ordinamento dell’insieme I dei vertici di K). Mostreremo ora che esiste una omotopia Σ tra ψ∘ϕ e l’identità di S(K) in se stesso e quindi che ϕ , ψ sono equivalenze di omotopia, una l’inversa dell’altra. Ne seguirà non solo l’eguaglianza tra l’omologia di S e quella di S′ ma anche delle coomologie associate. Si potrebbe esibire direttamente una tale omotopia Σ, anche se credo che le formule che troveremmo sarebbero abbastanza complicate. Mostreremo invece che essa deve esistere, utilizzando il seguente metodo che è interessante di per se, perché applicabile in diverse altre circostanze: Operazioni simpliciali Per p, q interi siano Δ_{p} lo schema simpliciale p−simplesso standard (costituito cioè da tutti i sottoinsiemi di I_{p} = {0, ..., p}) e σ ∈ S_{q}(Δ_{p}) una fissata catena. Per ogni schema simpliciale K costruiamo un omomorfismo Σ(K) di S_{p}(K) in S_{q}(K) nel modo seguente: se s = (i_{0}, ..., i_{p}) è un p−simplesso ordinato di K si consideri il morfismo simpliciale ν : Δ_{p} → K definito per h = 0, ..., p da ν(h) = i_{h}; allora Σ(K) invia s nell’immagine di σ per ν_{∗} : S_{q}(Δ_{p}) → S_{q}(K).

La famiglia di tali Σ(K) è ”naturale” nel senso che se τ : K_{1} → K_{2} è un morfismo di schemi, il diagramma:

S_{p}(K_{1}) ⟶^{τ_{∗}} S_{p}(K_{2})
Σ(K_{1})↓  ↓^{Σ(K_{2})}
S_{q}(K_{1}) ⟶^{τ_{∗}} S_{q}(K_{2})

è commutativo. Viceversa ogni famiglia che abbia tale propietà è necessariamente costruita come sopra a partire dalla scelta di una σ ∈ S_{q}(Δ_{p}) e sarà detta una operazione simpliciale. Ad esempio la scelta di σ = ∑_{0}^{p}(−1)^{h}(0, .., ĥ, ..., p) determina l’operatore di bordo (sulle p−catene) per ogni schema K. In pratica una operazione simpliciale è una ”fatta” sul p−simplesso astratto guardato come ”modello” e poi ripetuta in modo ”analogo” su ogni altro schema. Una formula tra omomorfismi costruiti così che vale per il ”modello” (ossia sul p−simplesso standard) vale allora su tutti gli schemi; così ad esempio d ∘ d = 0 su Δ_{p} e quindi anche su ogni altro schema simpliciale.

Anche gli omomorfismi ϕ , ψ di confronto tra omologia ed omologia non singolare sono di questo tipo; mostreremo ora per induzione, che esiste una famiglia di operazioni simpliciali Σ_{p} : S_{p} → S_{p+1} che verificano le condizioni d ∘ Σ_{p} + Σ_{p−1} ∘ d = ψ ∘ ϕ − id per ogni p . Precisazione: affinché le inverse ψ siano determinate, lavoreremo non sulla categoria degli schemi simpliciali ma in una di schemi simpliciali in cui ogni simplesso abbia un ordinamento fissato dei vertici; per esempio quella degli schemi simpliciali con un ordinamento totale fissato dei vertici. Per p << 0 il modulo S_{p+1}(Δ_{p}) è nullo e quindi non possiamo che scegliere σ_{p} = 0 (quindi Σ_{p} è l’omomorfismo nullo). Supponiamo di aver costruito i Σ_{i} per i ≤ p − 1 di modo che siano verificate le relazioni d ∘ Σ_{h} + Σ_{h−1} ∘ d = ψ ∘ ϕ − id per ogni h ≤ p − 1. Cerchiamo un σ_{p} ∈ S_{p+1}(Δ_{p}) tale che detto s il p−simplesso (0, ..., p) in S_{p}(Δ_{p}) si abbia:

d(σ_{p}) + Σ_{p−1}d(s) = ψ ∘ ϕ(s) − s

ossia d(σ_{p}) = ψ ∘ ϕ(s) − s − Σ_{p−1}(d(s)). Supponiamo p ≥ 0; siccome Δ_{p} è aciclico (ossia ha omologia nulla), tale σ_{p} esiste se e solo se il secondo membro è un ciclo, ossia è annullato da d. Siccome ϕ, ψ commutano con d e d ∘ d = 0 si ha:

d(ψ ∘ ϕ(s) − s − Σ_{p−1}(d(s)) = (ψ ∘ ϕ − id − (d ∘ Σ_{p−1} + Σ_{p−2} ∘ d))(d(s))

che è nullo perché per ipotesi le Σ con indice basso verificano già le relazioni richieste. Resta da verificare il caso p = −1; siccome Σ_{−1} deve essere costruito scegliendo un σ ∈ S_{0}(Δ_{−1}) ed essendo tale modulo nullo siamo costretti a scegliere per Σ_{−1} l’omomorfismo nullo e non resta che sperare che esso verifichi la formula richiesta: essa è d∘Σ_{−1} +Σ_{−2} ∘d = ψ ∘ϕ−id; la sua validità equivale al fatto che ψ ∘ ϕ è l’identità su S_{−1}(Δ_{−1}).

Osservazione. La scelta indicata di σ_{p} non è univoca. Può però essere standardizzata pensando Δ_{p} come il cono da p su Δ_{p−1} ed utilizzando l’operatore Σ introdotto per mostrare che l’omologia di un cono è nulla: esso fornisce infatti per ogni p−ciclo una ben precisa (p + 1)−catena di cui esso è il bordo.

Rappresentazioni geometriche di cicli Una n−pseudovarietà è uno schema simpliciale finito in cui ogni p−simplesso non vuoto è contenuto in qualche n−simplesso e precisamente in due quando p = n − 1. Due n−simplessi di uno schema sono contigui se la loro intersezione è un (n − 1)−simplesso. Una n−pseudovarietà è irriducibile se con passaggi tra n−simplessi contigui si possono congiungere due qualsiasi n−simplessi. (si noti che una n−pseudovarietà connessa può non essere irriducibile). Ricordiamo che l’orientazione di un n−simplesso è la scelta di una classe di parità per gli ordinamenti dell’insieme dei suoi vertici. Se un n−simplesso {i_{0}, ..., i_{n}} è orientato da (i_{0}, ..., i_{n}), allora (−1)^{h}(i_{0}, ..., î_{h}, ..., i_{n}) viene detta l’ orientazione indotta sulla faccia opposta al vertice i_{h}. Le orientazioni di due distinti n−simplessi di una n−pseudovarietà sono dette compatibili se o i due simplessi non sono contigui oppure lo sono ed allora inducono orientazioni opposte sulla loro faccia comune. E’ chiaro cosa si intende per n−pseudovarietà orientabile o orientata. Diremo classe fondamentale (mod 2) di una n−pseudovarietà P la classe di omologia c(P) ∈ H_{n}(P, ℤ/2·ℤ) rappresentata dal ciclo somma di tutti i suoi n−simplessi. Se P è orientata, la sua classe fondamentale (intera) è la classe c(P) ∈ H_{n}(P, ℤ) rappresentata dal ciclo somma di tutti i suoi n−simplessi orientati. Il seguente risultato è praticamente ovvio:

Teorema 7 Se P è una n−pseudovarietà irriducibile H_{n}(P, ℤ/2 · ℤ) ha dimensione uno, generato dalla classe fondamentale (mod 2). Se P è orientata H_{n}(P, ℤ) ≃ ℤ è generata dalla classe fondamentale intera; H_{n}(P, ℤ) è nullo se P non è orientabile

Sia ora x ∈ H_{n}(K, ℤ) una classe di omologia intera di uno schema simpliciale K; come abbiamo visto esso può essere rappresentato da un ciclo non degenere c = s_{1} + ... + s_{r}. Possiamo anche supporre che tale espressione sia ridotta nel senso che nessun s_{i} sia l’opposto di un s_{j}. Siccome c è un ciclo, si possono accoppiare a due a due le facce di tali s_{i} in coppie di elementi opposti in K: identificando nell’unione disgiunta di r copie dell n−simplesso standard le facce (n−1)−dimensionali secondo tali accoppiamenti, si ottiene una n−pseudovarietà orientata P ed un morfismo ϕ : P → K tale che x è l’immagine per ϕ_{∗} della classe fondamentale di P. Si noti che tale P è una pseudovarietà di tipo particolare: ogni p−simplesso con p < n − 1 ha una sezione trasversa che è una (n − p − 1)−pseudovarietà connessa; diremo normale ogni pseudovarietà che abbia tale propietà. Ad esempio se n = 2 tale P è una varietà di dimensione due ossia una superficie; se n = 3 essa verifica le condizioni per essere una varietà di dimensione tre su tutti i simplessi di dimensione positiva; per essere una 3−varietà gli manca solo la condizione che ciò accada anche nei vertici. Supponiamo che il link di un vertice i non sia una 2−sfera; siccome ogni superficie orientabile è il bordo di una 3−varietà a bordo, si può eliminare i col suo intorno in P e sostituirlo con una tale 3−varietà; la P̃ ottenuta facendo tale operazione, può essere applicata in K inviando in ϕ(i) tutti i nuovi vertici. Dopo aver fatto tale operazione su tutti i vertici (o almeno su quelli il cui link non è una 2−sfera), si ottiene una 3−varietà P̄ ed una applicazione ϕ̄ : P̄ → K che rappresenta l’elemento di H_{3}(K, ℤ) da cui si era partiti. Abbiamo così che ogni classe di omologia intera di dimensione minore o eguale a tre, è rappresentabile dalla classe fondamentale di una varietà.

Relazione tra π_{1} ed H_{1}. Sia K uno schema simpliciale connesso con punto base ∗ fissato. Associando ad ogni passo (i_{0}, i_{1}) l’1−simplesso (i_{0}, i_{1}) si costruisce un omomorfismo ν : π_{1}(K, ∗) → H_{1}(K, ℤ). Tale ν può essere anche definito così: ogni elemento in π_{1} è rappresentabile con un morfismo σ : P_{n} → K ove P_{n} è il poligono chiuso di n lati (e σ conserva i punti base); allora ν applica la classe di σ in π_{1} nell’immagine per σ_{∗} della classe fondamentale di P_{n}. E’ facile riconoscere che ν è surgettiva; mostreremo ora che il suo nucleo è il sottogruppo generato dai commutatori [a, b] = aba^{−1}b^{−1} di elementi a, b ∈ π_{1}. In altre parole l’omomorfismo ν risolve il seguente problema universale per π_{1}: per ogni omomorfismo ν′ : π_{1} → H con H un gruppo abeliano, esiste uno ed un solo omomorfismo μ : H_{1} → H tale che ν′ = μ ∘ ν.

Sia infatti σ ∈ E ; quindi esiste una 2−catena c il cui bordo è la 1−catena rappresentata da σ. Con una costruzione analoga a quella fatta per rappresentare geometricamente le classi di omologia intera, si costruisce una 2−varietà orientata a bordo P , il cui bordo ∂P è un poligono di n lati ed una ϕ : P → K la cui restrizione a ∂P è propio σ. Attaccando a P un disco chiuso poligonale di n lati lungo ∂P si ottiene una superficie orientabile che avrà un certo genere g (ricordiamo che il genere è definito dalla relazione: 2 − 2g uguale alla caratteristica). Sia g(σ) il minimo genere possibile delle superficie che ”bordano” σ in tal modo. Evidentemente g(σ) = 0 se e solo se σ è nullo in π_{1}. Supponiamo che sia g(σ) > 0; allora esiste su P una curva chiusa Γ che non sconnette P. Prendiamo due vertici di P non in Γ ma adiacenti ad uno stesso vertice i di Γ ma da ”parti opposte”; congiungendoli in P − Γ con una curva semplice e chiudendo questa con i lati che uniscono i due vertici ad i si ottiene una curva semplice Γ′ che ”traversa” Γ nel solo punto i. Togliendo a P l’intorno di Γ ∪ Γ′ (ossia tutti i simplessi che toccano Γ ∪ Γ′) si ha una superficie orientata con due componenti di bordo: quello vecchio ed il nuovo (ciò è sicuramente ottenibile se si passa alla seconda suddivisione baricentrica; dovrebbe però essere ottenibile anche senza suddividere, cambiando eventualmente Γ con una curva più semplice ”parte” di essa...). Tagliamo ora la superficie lungo una curva semplice che connette tali bordi: si ottiene una superficie P_{1} a bordo connesso con una ϕ : P_{1} → K la cui restrizione a ∂P_{1} è un cammino del tipo σ · [a_{1}, b_{1}]; inoltre il genere di P_{1} è g(σ) − 1. Ripetendo varie volte tale costruzione si arriva infine ad una superficie di genere zero: ne segue che moltiplicando la classe di σ in π_{1} per un certo numero di commutatori (precisamente g(σ)) si arriva all’elemento nullo di π_{1}, ossia σ è omotopa ad un prodotto di commutatori. Con analoghi argomenti si può dimostare (lo lasciamo come esercizio) che se K è 1−connessa (ossia connessa e semplicemente connessa) ogni classe in H_{2}(K, ℤ) può essere rappresentata geometricamente da una ϕ : P → K con P una 2−sfera.

Calcolo di H_{−1} e di H_{0}. Ogni schema simpliciale K ha come unico (−1)−simplesso l’insieme vuoto. Quindi S_{−1}(K, R) è identificabile canonocamente ad R. Se K è vuoto tutti gli altri S_{p} sono nulli e quindi H_{−1}(∅, R) è isomorfo (canonicamente) ad R ed H_{p}(∅, R) = (0) per p ≠ −1. Se K non è vuoto, l’omomorfismo d : S_{0} → S_{−1} è surgettivo (ogni 0−simplesso ha per bordo il generatore di S_{−1}) e quindi H_{−1} = (0). Per calcolare H_{0} si osservi intanto che d : S_{0} → S_{−1} = R associa alla zero catena r_{1}i_{1} + ... + r_{N}i_{N} lo scalare r_{1} + ... + r_{N}. Se (i_{0}, i_{1}) è un 1−simplesso di K, si ha d((i_{0}, i_{1})) = i_{1} − i_{0} ; quindi se σ è un cammino da un vertice i ad un vertice j sui ha d(σ) = j − i. Sia K connesso e ∗ un suo vertice fissato; ogni 0−ciclo r_{1}i_{1} + ... + r_{N}s_{N} può essere scritto anche r_{1}(i_{1} − ∗) + ... + r_{N}(i_{N} − ∗) e quindi H_{0} = (0). Se K non è connesso, e C è un insieme di vertici uno per ogni altra componente connessa, H_{0} è l’R-modulo libero sulle classi dei cicli c−∗ per c ∈ C.

Teorema 8 Sia K una varietà connessa non orientabile di dimensione tre non vuota. Allora H_{1}(K, ℤ) è infinito. Conseguentemente anche il gruppo fondamentale di K è un gruppo infinito

Dim Sappiamo che la caratteristica di una 3−varietà è nulla, quindi 1 − h_{−1} + h_{0} − h_{1} + h_{2} − h_{3} = 0 qualunque sia il corpo dei coefficienti. Con coefficienti R = ℚ si ha h_{−1} = 0 perché non vuota, h_{0} = 0 perché connessa e h_{3} = 0 perché non orientabile (stesso argomento che per il caso R = ℤ). Quindi h_{1} = 1 + h_{2} ≥ 1. Per una osservazione (esercizio) fatta in precedenza H_{1}(K, ℤ) deve avere un sottogruppo isomorfo a ℤ^{h_{1}} ed è quindi infinito. A maggior ragione π_{1}(K) sarà infinito perché H_{1}(K, ℤ) è un suo quoziente. Si noti che tale teorema vale solo in dimensione tre (si consideri il piano proiettivo ed i prodotti di esso con sfere di varie dimensioni).

Omologia e coomologia relativa. Siano K uno schema simpliciale ed H un suo sottoschema; allora S_{p}(H) si inietta in S_{p}(K) e l’R−modulo quoziente di essi sarà detto modulo delle p−catene relative di K modulo H e verrà indicato con S_{p}(K/H). Introduciamo su S(K/H) = ⊕_{p}S_{p}(K/H) un operatore di bordo nell’unico modo possibile per il quale la proiezione S(K) → S(K/H) diviene un morfismo di complessi. L’omologia di S(K/H) è detta omologia relativa di K modulo H ed è indicata con H(K/H). E’ chiaro che il modulo H_{p}(K/H) è un funtore covariante a valori negli R−moduli definito sulla categoria delle coppie di schemi simpliciali, quella i cui oggetti sono le coppie (K, H) in cui H è un sottoschema di K ed i morfismi ϕ : (K_{1}, H_{1}) → (K_{2}, H_{2}) sono le applicazioni simpliciali di K_{1} in K_{2} che mandano H_{1} entro H_{2}. Dalla successione esatta 0 → S(H) → S(K) → S(K/H) → 0 si deduce la successione esatta lunga di omologia della coppia:

... → H_{p}(H) → H_{p}(K) → H_{p}(K/H) → H_{p−1}(H) → ...

Dualizzando l’inclusione 0 → S(H) → S(K) si ottiene una surgezione S^{∗}(K) → S^{∗}(H) → 0 (si noti che ciò è vero perché S(H) è un fattore diretto di S(K), ossia possiede un supplementare; in generale il duale di un omomorfismo iniettivo può non essere surgettivo: si consideri ad esempio la moltiplicazione per 2 di ℤ in se). Il nucleo di tale surgezione è un sottocomplesso che sarà detto delle cocatene relative di K modulo H e sarà indicato con S^{∗}(K/H). La sua coomologia H^{∗}(K/H) è la coomologia relativa di K modulo H. Dalla successione esatta 0 → S^{∗}(K/H) → S^{∗}(K) → S^{∗}(H) → 0 si ottiene la successione esatta di coomologia della coppia :

... → H^{p}(K/H) → H^{p}(K) → H^{p}(H) → H^{p+1}(K/H) → ...

Queste successioni lunghe di omologia e coomologia relativa divengono utilizzabili per studiare i morfismi H_{p}(H) → H_{p}(K) e H^{P} (K) → H^{p}(H) se si hanno informazioni sui moduli di omologia e coomologia relativa. Discuteremo ora un principio che è in molti casi risolutivo per il calcolo di tali moduli.

Excisione. Sia H un sottoinsieme dello schema simpliciale K. Per ogni sottoschema K′ di K poniamo H′ = K′ ∩ H e consideriamo l’inclusione di coppie e : (K′, H′) → (K, H). Gli associati omomorfismi e_{∗} : H(K′/H′) → H(K/H) e e^{∗} : H^{∗}(K/H) → H^{∗}(K′/H′) saranno detti di excisione. Un simplesso s ∈ K è detto interno ad H se ogni simplesso che lo contiene appartiene ad H; l’insieme dei simplessi interni ad H verrà indicato con Ḣ; il suo complementare è il minimo sottoschema di K che contiene K − H. Osservazione. Uno schema simpliciale K può essere considerato come uno spazio topologico prendendo come famiglia dei chiusi quella dei suoi sottoschemi. In tale topologia Ḣ è proprio la parte interna di H, mentre il suo complementare è la chiusura di K − H.

Teorema 9 Se K′ contiene tutti i simplessi non interni ad H, ossia se K′∪Ḣ = K, gli omomorfismi di excisione sono isomorfismi

Dim. Per verificare che ogni ciclo di S(K/H) proviene da uno di S(K′/H′) dobbiamo mostrare che ogni suo ciclo può essere rappresentato da una catena a in S(K′) con d(a) ∈ S(H′). Infatti esso sarà rappresentato da una catena c in S(K) ; scriviamo c come somma a + b con a ∈ S(K′) e b combinazione di simplessi non in K′; siccome questi sono interni ad H, si ha che b e d(b) stanno in S(H). Mostriamo che d(a) ∈ S(H′) ossia in S(H) ed in S(K′). Siccome c rappresenta un ciclo di S(K/H), si ha d(c) ∈ S(H) e quindi da d(c) = d(a)+d(b) si ottiene d(a) ∈ S(H); siccome a ∈ S(K′) e questo è stabile per d, si ha quindi anche d(a) ∈ S(K′). Quindi e_{∗} è surgettiva. Mostriamo che e_{∗} è iniettiva. Rappresentiamo un ciclo di S(K′/H′) con una catena x ∈ S(K′) e supponiamo che essa rappresenti un bordo in S(K/H); esiste quindi una catena c in S(K) con d(c) = x + y con y ∈ S(H). Scriviamo come sopra c = a + b con a ∈ S(K′) e b combinazione di simplessi non in K′. Allora x + y = d(a) + d(b) ossia x = d(a) + (d(b) − y) e basterà mostrare che d(b) − y stà in S(H′) ossia in S(H) ed in S(K′). Stà in S(H) perché sia d(b) che y vi appartengono; stà in S(K′) perché d(b) − y = x − d(a) ed il secondo membro vi appartiene. Consideriamo ora l’excisione in coomologia. Un elemento di S^{p}(K′/H′) è un omomorfismo σ : S_{p}(K′) → R che si annulla su S(H′). Esso è un cociclo se si annulla su d(S_{p+1}(K′)). Estendiamo tale σ ad un σ̃ : S_{p}(K) → R ponendolo uguale a zero sui simplessi di K che non appartengono a K′. Mostriamo che tale σ̃ è un cociclo; sia s un (p + 1)−simplesso di K: se esso appartiene a K′ per ipotesi si ha σ̃(d(s)) = σ(s) = 0 perchè σ è un cociclo. Se s non appartiene a K′, allora è interno ad H, quindi d(s) ∈ S_{p}(H) ed ancora σ̃(d(s)) = 0 per come è stata definita σ̃. Ciò mostra che e^{∗} è surgettiva. Mostriamo che è anche iniettiva; sia σ : S_{p}(K) → R nullo su S_{p}(H) e supponiamo che la sua restrizione a S_{p}(K′) sia il cobordo di una τ : S_{p−1}(K′) → R nulla su S_{p−1}(H′). Estendiamo tale τ ad una τ̃ : S_{p−1}(K) → R ponendola uguale a zero sui (p−1)−simplessi che non stanno in K′. Essa appartiene a S^{p−1}(K/H), ossia è nulla su S_{p−1}(H): infatti se il (p − 1)−simplesso s stà in H, o appartiene a K′, quindi stà in H′ e τ̃(s) = τ(s) = 0 perché τ ∈ S(K′/H′); oppure s ∉ K′ ed allora τ̃(s) = 0 per costruzione. Mostriamo che σ è il cobordo di τ̃: se s è un p−simpleso di K allora o stà in K′ ed allora τ̃(d(s)) = τ(d(s)) = σ(s); altrimenti s è interno ad H , quindi d(s) ∈ S_{p−1}(H) ed allora τ̃(d(s)) = 0 ed anche σ(s) = 0 perché σ si annulla sui simplessi di H.

Isomorfismo con gli invarianti della suddivisione baricentrica

Siano K uno schema simpliciale e K^{(}1) la sua suddivisione baricentrica. Costruiremo ora un morfismo naturale ϕ : S(K, ℝ) → S(K^{(1)}, R) e mostreremo che esso induce isomorfismi tra i moduli di omologia. Anzi, mostreremo che esiste un morfismo ψ : S(K^{(1)}, R) → S(K, R) tale che ψ ∘ ϕ è l’identità e ϕ ∘ ψ è omotopo all’identità; quindi che ϕ è una equivalenza omotopica (algebrica) tra tali complessi. E’ invece falso in generale che K e K^{(I)} siano omotopicamente equivalenti, come si vede ad esempio esaminando il caso che K sia il poligono chiuso P_{n} di n lati (si dimostri che ogni morfismo simpliciale di P_{n} nella sua suddivisione baricentrica è omotopo ad una applicazione costante). Per fare ciò useremo i moduli delle catene non degeneri e per rendere la costruzione delle ψ naturali, lavoreremo nella categoria dgli schemi simpliciali in cui è fissato un ordinamento totale sull’insieme dei vertici (in realtà quel che serve è che gli schemi su cui lavoriamo siano schemi ordinati). Il morfismo ϕ è quello costruito simplicialmente associando al modello Δ_{p} la catena c_{p} ∈ S_{p}(Δ_{p}^{(1)}, R) definita così : per ogni permutazione σ di {0, ..., p} indichiamo con s_{σ} il simplesso della sua suddivisione baricentrica associato alla successione {σ_{0}} ⊂ {σ_{0}, σ_{1}} ⊂ ... ⊂ {σ_{0}, ..., σ_{p}}; allora c_{p} = ∑_{0}^{p}(−1)^{σ}s_{σ}. La ψ proviene invece da un morfismo simpliciale di K^{(I)} in K : quello che ad ogni vertice di K^{(I)} , che è un simplesso di K , gli associa il suo ultimo vertice, nell’ordinamento esistente su K. Sul modello Δ_{p}^{(1)} , se σ non è la permutazione identica, ψ(s_{σ}) è degenere, quindi nullo nel complesso delle catene non degeneri; se σ è l’identità invece ψ(s_{σ}) è il simplesso (0, ..., p). Ciò dimostra che ψ ∘ ϕ è l’identità su S_{p}(Δ_{p}) e quindi anche su ogni altro schema K.

Per verificare che f = ϕ ∘ ψ è omotopo all’identità, osserviamo che esso è una costruzione simpliciale sulla categoria delle suddivisioni simpliciali di schemi ordinati, fatta sui ”modelli” Δ_{p}^{(1)} ; osserviamo anche che per p ≥ 0 lo schema Δ_{p}^{(1)} è un cono (è il cono sulla suddivisione baricentrica del suo bordo) e che quindi S(Δ_{p}^{(1)}) è aciclico (ossia ha omologia nulla). Infine che f_{0} ed f_{1} sono le applicazioni identiche.

Dobbiamo mostrare che esistono omomorfismi Σ_{p} : S_{p} → S_{p+1} tali che per ogni p si abbia d ∘ Σ_{p} + Σ_{p} ∘ d = f_{p} − id_{p}. Scegliamo per Σ_{−1} e Σ_{0} gli omomorfismi nulli. La condizione richiesta è allora verificata per p = −1, 0. Supponiamo di aver definito i Σ_{p} per ogni i < p di modo che le condizioni richieste siano verificate per i < p. Per costruire Σ_{p} basta verificare che per ogni elemento c della base di S_{p} si può scegliere un Σ_{p}(c) ∈ S_{p+1} in modo tale che dΣ_{p}(c) = f_{p}(c) − c − Σ_{p−1}(dc); Basterà mostare che ciò è possibile per ogni c quando siamo nel modello Δ_{p}^{(1)}, perchè stiamo trattando morfismi costruiti simplicialmente. Essendo il modello aciclico, un tale Σ_{p}(c) esiste se e solo se il secondo mebro è un ciclo ossia se d(f_{p}(c)) − dc − d(Σ_{p−1}(dc)) = 0 . Siccome d ∘ f_{p} = f_{p−1} ∘ d e Σ_{p−2}(d(d(c))) = 0, tale condizione si può scrivere anche:

(f_{p−1} − id_{p−1} − d ∘ Σ_{p−1} − Σ_{p−2} ∘ d)(dc)

che è verificata perché abbiamo supposto che le precedenti relazioni di omotopia siano verificate e ciò conclude la dimostrazione.

Prodotti in coomologia Sia K uno schema simpliciale; se α ∈ S^{p}(K, R) e β ∈ S^{q}(K, R), il loro prodotto cup è la (p + q)−cocatena α ∪ β definita ponendo per ogni (p + q)−simplesso s = (i_{0}, ..., i_{p+q}) :

(α ∪ β)(s) = α(i_{0}, ..., i_{p}) · β(i_{p}, ..., i_{p+q})

Chiamando (i_{0}, ..., i_{p}) e (i_{p}, ..., i_{p+q}) rispettivamente p−faccia iniziale e q−faccia finale di s , si ha che (α ∪ β)(s) è il prodotto tra α valutata sulla faccia iniziale e β calcolata su quella finale. L’applicazione ∪ : S^{p} × S^{q} → S^{p+q} è R-bilineare ed associativa nel senso che se γ ∈ S^{r} si ha (α ∪ β) ∪ γ = α ∪ (β ∪ γ) In tal modo S^{∗}(K, R) diviene un anello graduato.

Proposizione 10 Per α ∈ S^{p} , β ∈ S^{q} si ha:

δ(α ∪ β) = δ(α) ∪ β + (−1)^{p}α ∪ δ(β)

Dim. Ricordando che δ è la trasposta di d si ha:

δ(α ∪ β)(i_{0}, ..., i_{p+q+1}) = ∑_{0}^{p+q}(α ∪ β)(i_{0}, .., î_{h}, ..., i_{p+q+1})

La somma dei primi p+1 termini coincide con (δα∪β)(i_{0}, ..., i_{p+q+1} ; i rimanenti sono gli stessi di (α ∪ δβ)(i_{0}, ..., i_{p+q+1}) ma con il segno moltiplicato per (−1)^{p}.

Corollario 11 Il prodotto cup induce un prodotto ∪ : H^{p} × H^{q} → H^{p+q}

Dim. Significa che se α e β sono cocicli anche α ∪ β lo è e che la sua classe di coomologia non cambia aggiungendo ad α ed a β dei cobordi. Ciò si ricava facilmente dalla formula sopra stabilita.

Nota. La teoria dei prodotti è il primo caso in cui si richiede che R sia un anello; infatti tutto quanto precede può essere ripetuto sostituendo all’anello R dei coefficienti un gruppo abeliano o più in generale un R−modulo M ; anche per tali teorie si possono poi introdurre prodotti S^{p}(K, M_{1}) × S^{q}(K, M_{2}) → S^{p+q}(K, M_{3}) nel caso sia fissata una applicazione bilineare M_{1} × M_{2} → M_{3}.

Altri tipi di omologia e coomologia

Sia K uno schema simpliciale localmente finito. Le catene a supporto finito, cioè quelle che sono nulle su tutti i p-simplessi salvo al più un numero finito di essi è allora un sottocomplesso di S^{∗}(K, R) che viene indicato S_{c}^{∗}(K, R) e la cui coomologia è detta coomologia a supporto limitato (o ”compatto”). Dividendo poi il complesso delle cocatene per esso, si ottiene un complesso la cui omologia ”descrive” le propietà coomologiche di K all’infinito. Imponendo invece l’annullarsi delle cocatene su fissate famiglie di simplessi, si possono ottenere altre coomologie dette a supporti fissati.

Omologia singolare

Per p ≥ −1 , il p−simplesso standard è definito come l’inviluppo convesso Δ_{p} della base canonica di ℝ^{p+1} ; si ha quindi:

Δ_{p} = {(x_{0}, ..., x_{p}) ∈ ℝ^{p+1} : ∑_{0}^{p} x_{i} = 1 ed ogni x+_{1} ≥ 0}

In particolare Δ_{−1} = ∅. Per 0 ≤ i ≤ p la faccia i−esima di Δ_{p} è l’applicazione continua σ_{i} : Δ_{p−1} → Δ_{p} restrizione della applicazione lineare di ℝ^{p} in ℝ^{p+1} che applica ordinatamente la base di ℝ^{p} in quella di ℝ^{p+1} saltando la i−esima componente.

Sia X uno spazio topologico; un p−simplesso singolare di X è una applicazione continua ϕ : Δ_{p} → X. Se R è un anello, l’R−modulo libero sui p−simplessi di X è detto modulo delle p−catene singolari di X e viene indicato con S_{p}(X, R). Si introduce un operatore (detto di bordo) d : S_{p} → S_{p−1} definendo per ogni p−simplesso singolare ϕ : Δ_{p} → X:

d(ϕ) = ∑_{i=0}^{p}(−i)^{i}ϕ ∘ σ_{i}

E’ facile verificare che d ∘ d = 0 ; quindi S(X, R) = ⨁_{p≥−1} S_{p}(X, R) diviene un complesso di catene. Come per le catene simpliciali, useremo le lettere Z , B ed H per indicare i cicli, i bordi e l’omologia. Se f : X → Y è una applicazione continua, la sua composizione con le ϕ : Δ → X induce un morfismo di complessi di grado zero f_{∗} : S(X) → S(Y) . Si ottengono così un funtore S : {spazi topologici} → {complessi di catene} ed uno H : {spazi topologici} → {R−moduli graduati}. Se f, g : X → Y sono omotope allora f_{∗}, g_{∗} : S(X) → S(Y) sono morfismi (algebricamente) omotopi.La dimostrazione è la stessa fatta per gli schemi simpliciali, perché basta costruire l’omotopia sui p−simplessi standard, estendendo linearmente quella formalmente definita tra i vertici nel caso simpliciale. In particolare se X è contrattile (ossia se l’identità di X in X è omotopa ad una applicazione costante), si ha che la sua omologia è isomorfa a quella di un punto; questa coincide banalmente con quella simpliciale di un punto (stesse catene) ed è quindi nulla.

Il poliedro associato ad uno schema simpliciale Ricordiamo che se I è un insieme, R^{(I)} indica lo spazio vettoriale delle applicazioni ϕ : I → ℝ che sono a supporto finito. In altre parole ℝ^{(I)} è l’ℝ−modulo libero costruito su I e gli elementi di I vengono identificati a quelli della sua base canonica. Considereremo su ℝ^{(I)} la topologia indotta dal prodotto scalare < ϕ, ψ >= ∑_{I} ϕ(i)ψ(i). Se (I, K) è uno schema simpliciale, ogni simplesso s di K ha un inviluppo convesso |s| in ℝ^{(I)} che sarà detto il simplesso geometrico associato; un suo punto sarà detto interno se non appartiene ad alcuna delle sue faccie propie. Si noti che se s, t sono simplessi di K ed |S| contiene un punto interno a |t| allora s ⊃ t e quindi anche |s| ⊃ |t|. Ogni simplesso |s| verrà dotato della topologia indotta dall’ambiente (che è quella standard per un simplesso). L’unione |K| di tutti tali simplessi dotato della topologia ”debole” da essi definita, sarà detto il poliedro associato a K; Ricordiamo che tale topologia è quella ottenuta dichiarando aperti (risp. chiusi) i sottoinsiemi che hanno intersezione aperta (risp. chiusa) con ogni simplesso geometrico. Di conseguenza una applicazione f di |K| in un qualsiasi spazio topologico Y è continua se e solo se è continua la sua restrizione ad ogni simplesso |s| di |K|.

Un sottoinsieme di |K| sarà detto limitato se è contenuto in una unione finita di simplessi di |K|.

Teorema 12 Lo spazio topologico |K| è di Hausdorff ed un suo sottoinsieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato

Dim. La topologia di |K| è più fine di quella indotta dalla metrica di ℝ^{(I)} ed è quindi di Hausdorff. Per la questione della compattezza, ovviamente un chiuso e limitato è compatto, perchè i simplessi |s| lo sono. Sia ora C un compatto di |K| ; essendo in uno spazio di Hausdorff esso deve essere chiuso. Supponiamo per assurdo che non sia limitato; esistono allora una successione di simplessi |s_{1}|, |s_{2}|, .. di |K| ed una di punti x_{1}, x_{2}, ... tali che x_{n} sia interno ad |s_{n}| e non appartenga ad alcun |s_{i}| con i < n. Sia X l’insieme costituito da tutti gli x_{n} . Ogni simplesso |s| di |K| interseca X in un numero finito di punti: infatti se x_{i} ∈ |s| allora s_{i} deve essere una faccia di s, ed ogni simplesso ha un numero finito di facce. Ciò dimostra che X è chiuso e quindi compatto perché C lo è. Lo stesso argomento si applica ad ogni sottoinsieme di X che quindi X ha la topologia discreta. Ma allora X essendo uno spazio discreto e compatto è finito mentre invece per costruzione è infinito.

Corollario 13 Se f : T → |K| è una applicazione continua e T è uno spazio compatto, l’immagine di f è contenuta in una unione finita di simplessi di |K|

Osserviamo inoltre che se K è uno schema simpliciale, un omeomorfismo π : |K^{(1)}| → |K| è ottenibile inviando ogni vertice di |K^{(1)}| (che ”è” un simplesso di |K|) nel suo baricentro in |K| ed estendendo poi su ogni simplesso in modo affine; per verificare che esso è propio un omeomorfismo, basta verificarlo nel caso che K sia un simplesso (si parta da un punto combinazione baricentrica di vettori affinemente indipendenti v_{1}, ..., v_{p} e si dimostri che esso è esprimibile in modo unico come combinazione baricentrica a coefficienti non nulli dei baricentri dei simplessi fatti con parte dei v_{i}; basterà ordinare i suoi coefficienti secondo la grandezza...).

Passaggio dalla omologia simpliciale a quella singolare. Sia (I, K) uno schema simpliciale; associando ad ogni p−simplesso ordinato (i_{0}, ..., i_{p}) di K il simplesso singolare ϕ di |K| definito come la restrizione della applicazione lineare di ℝ^{p+1} in ℝ^{(I)} che applica l’h−esimo vettore di base in i_{h}, si ottengono omomorfismi S(K, R) → S(|K|, R) ; evidentemente essi commutano con gli operatori di bordo e quindi definiscono un morfismo di complessi che indicheremo con ν. Dimostreremo il seguente:

Teorema 14 L’omomorfismo indotto in omologia da ν è un isomorfismo

La dimostrazione che daremo sarà analoga alla prima fatta per confrontare l’omologia simpliciale con quella ridotta ossia applicheremo il lemma dei 5 per confrontare le successioni di Mayer -Vietoris. Da essa non potremo quindi dedurre l’isomorfismo tra coomologia simpliciale e quella singolare, che verrà dimostrata con un altro argomento.

Successione di Mayer-Vietoris per l’omologia singolare Sia X uno spazio topologico e siano X_{1}, X_{2} suoi sottospazi tali che X_{1}∪X_{2} = X. Posto X_{0} = X_{1} ∩ X_{2} si ha una successione esatta:

0 → S(X_{0}) →^{α} S(X_{1}) ⊕ S(X_{2}) →^{β} S(X)

ove, utilizzando le inclusioni tra gli spazi, è α(c) = (c, c) e β(c_{1}, c_{2}) = c_{1} − c_{2}. In generale β non sarà surgettiva e quindi non possiamo dedurne una successione esatta lunga del tipo Mayer-Vietoris. Esamineremo ora alcuni casi in cui, nonostante β non sia surgettiva una tale successione può essere costruita. Ci interesserà dimostrare che ciò può essere fatto se X_{1} ed X_{2} sono aperti; oppure se X è il poliedro di uno schema simpliciale K ed X_{1} , X_{2} sono i poliedri di due suoi sottoschemi K_{1} , K_{2}. Ci servirà prima una discussione sulla suddivisione baricentrica.

L’operatore di suddivisione baricentrica Per ogni spazio topologico X definiamo operatori B_{p} : S_{p}(X) → S_{p}(X) che chiameremo di suddivisione baricentrica con una costruzione che è ”simpliciale” nel senso seguente: definiremo per ogni p una p−catena b_{p} ∈ S_{p}(Δ_{p}, R) (ricordiamo che qui Δ_{p} è uno spazio topologico); allora B_{p} è l’applicazione R−lineare che ad ogni p−simplesso singolare ϕ : Δ_{p} → X associa la p−catena ϕ_{∗}(b_{p}). Mostreremo anche che esiste un’altra operazione simpliciale T_{p} : S_{p}(X, R) → S_{p+1}(X, R) e che sono verificate le seguenti condizioni:

- B_{p−1} ∘ d = d ∘ B_{p} ossia si ha un morfismo di complessi B

- d ∘ T_{p} + T_{p−1} ∘ d = B_{p} − id_{p} ossia si ha una omotopia T tra B e l’identità. Sarà inoltre verificata la condizione seguente: comunque fissato un ricopri-

mento aperto U di X ed una p−catena c in X, esiste un n_{0} intero tale che per n ≥ n_{0} la catena T^{n}(c) è U−piccola nel senso che è combinazione lineare di simplessi ognuno dei quali ha immagine contenuta in qualche elemento di U.

Definiamo quindi b_{p} come la p−catena ∑_{σ}(−1)^{|σ|}s_{σ} ove per ogni permutazione σ di {0, ..., p} l’applicazione s_{σ} : Δ_{p} → Δ_{p} è l’applicazione affine che manda il vertice i nel baricentro dei punti σ(0), ..., σ(i) di Δ_{p}. Tale catena è ”copiata” dalla analoga fatta nel caso simpliciale durante la dimostrazione che K e K^{(1)} hanno la stessa omologia. Le omotopie T_{p} possono essere ricopiate nello stesso modo da quelle ”costruite” nel caso simpliciale. Il fatto poi che iterando la suddivisione, le catene divengono U−piccole, era già stato osservato nel primo paragrafo per la dimostrazione del teorema di Brouwer.

Un altro metodo di costruire le B_{p} e le T_{p} è il seguente: per ogni r−simplesso singolare ϕ : Δ_{r} → Δ_{p} di Δ_{p} si consideri l’(r+1)−simplesso singolare π(ϕ) di Δ_{p} ottenuto ”proiettando” ϕ dal baricentro M di Δ_{p}. Esplicitamente ogni punto (λ_{0}, ..., λ_{r+1}) di Δ_{r+1} viene mandato da π(ϕ) in M se λ_{0} = 1 altrimenti in:

(1 − λ_{0})ϕ(\frac{λ_{1}}{1 − λ_{0}} , ..., \frac{λ_{r}}{1 − λ_{0}} ) + λ_{0}M

Si definiscono allora i B_{p} e T_{p} induttivamente nel modo seguente: per p = 0 sia B_{0} l’identità e T_{0} l’operatore nullo. Supposto definiti i B_{h} ed i T_{h} in modo che soddisfino B_{h−1} ∘ d = d ∘ B_{h} e T_{h} ∘ d + d ∘ B_{h−1} = id_{h} − B_{h} per ogni h < p si pone B_{p} = π ∘ B_{p−1} ∘ d e T_{p} = π ∘ (id_{p−1} − B_{p−1} ∘ d − T_{p−1} ∘ d) e si verifica direttamente che essi soddisfano le condizioni richieste.

Sia U un ricoprimento aperto di uno spazio topologico X. Un p− simplesso ϕ : Δ_{p} → X viene detto U-piccolo se la sua immagine è contenuta in qualche elemento di U. Gli R−moduli liberi costruiti con tali simplessi sono indicati con _{U}S_{p}(X, R) ; essi costituiscono un sottocomplesso di S(K, R) detto delle catene U−piccole. E’ immediato, per quanto visto sopra che l’inclusione tra tali complessi induce isomorfismi in omologia. Se U = X_{1}, X_{2} è un ricoprimento aperto di X ed X_{0} = X_{1} ∩ X_{2}, si ha una successione esatta:

0 → S(X_{0}) →^{α} S(X_{1}) ⊕ S(X_{2}) →^{β}_{U}S(X) → 0

Nella successione esatta lunga associata, si può quindi sostituire i moduli di omologia piccola con quelli dell’omologhia ordinaria; la successione ottenuta sarà detta successione di Mayer-Vietoris associata ad X_{1}, X_{2}.

Siano K uno schema simpliciale e K_{1}, K_{2} suoi sottoschemi tali che K = K_{1}∪K_{2}. Posto K_{0} = K_{1} ∩ K_{2} abbiamo la successione di Mayer-Vietoris per l’omologia simpliciale; vogliamo costruirla anche per l’omologia singolare. Questo può essere fatto se troviamo per ogni sottoschema L dello schema K un intorno aperto di |L| in |K|, indicato con U(L) , in modo che siano soddisfatte le seguenti propietà:

- |L| è retratto forte di deformazione di U(L)

- se L_{1}, L_{2} sono sottoschemi di K, allora U(L_{1}) ∩ U(L_{2}) = U(L_{1} ∩ L_{2}) Procediamo così: sia s un simplesso di K la cui intersezione con L sia un simplesso non vuoto s_{1} e sia s_{2} la faccia opposta ad s_{1} in s; ogni x ∈ |S| si scrive allora in modo unico nella forma λx_{1} + (1 − λ)x_{2} con x_{1} ∈ |s_{1}| ed x_{2} ∈ |s_{2}|. Sia U(s) = |s|−|s_{2}| e definiamo Φ : U(s)×[0, 1] ponendo Φ(x, t) = tλx_{1}+(1−tλ)x_{2}. L’idea è di prendere per U(L) l’unione di tali U(s) ed definirne una retrazione forte su L utilizzando le Φ. Ciò non funziona perché alcuni simplessi di K possono incontrare L in un sottoinsieme che non è un simplesso di L (si consideri ad esempio la situazione quando L è lo 0−scheletro di K). Ma ciò si risolve ricordando che il poliedro associato a K è omeomorfo a quello associato alla sua suddivisione baricentrica; sostituendo quindi K con K^{(1)} ed L con L^{(1)} questa difficoltà è superabile. La successione di Mayer-Vietoris per l’omologia singolare associata alla decomposizione K = K_{1} ∪K_{2} è allora ottenibile da quella definita dal ricoprimento {U(K_{1}), U(K_{1})} di |K|. E’ ora facile dimostrare che l’omologia singolare di |K| coincide con quella simpliciale di K, prima per induzione per gli schemi finiti, poi per tutti gli altri perché per come definita la topologia di |K|, ogni catena singolare di |K| proviene da un sottopoliedro finito.

Omologia relativa ed excisione Se A è un sottospazio di uno spazio topologico X si ha una inclusione di complessi S(A) ⊂ S(X); il loro quoziente S(X/A) è un complesso detto delle catene relative. La successione esatta:

0 → S(A) → S(X) → S(X/A) → 0

induce una successione esatta di omologia relativa:

... → H_{p}(A) → H_{p}(X) → H_{p}(X/A) → H_{p−1}(A) → ...

Se l’inclusione di A in X induce isomorfismi in omologia (ad esempio se A è retratto di deformazione di X) dalla succesione di omologia relativa si deduce che H_{p}(X/A) = (0) per ogni p.

Un’altra successione di omologia relativa è quella associata ad una terna di spazi B ⊂ A ⊂ X: si ha infatti una successione esatta:

0 → S(A/B) → S(X/B) → S(X/A) → 0

che dà la successione esatta:

...H_{p}(A/B) → H_{p}(X/B) → H_{p}(X/A) → H_{p−1}(A/B) → ...

Se ne può dedurre ad esempio che l’inclusione B ⊂ A induce isomorfismi in omologia, se e solo se tutti gli H_{p}(A/B) sono nulli. Si ha anche un morfismo e : S((X − B)/(S(A − B)) → S(X/A) che induce un omomorfismo in omologia detto di excisione.

Teorema 15 Se la chiusura di B è contenuta nella parte interna di A l’excisione è un isomorfismo

Dim. In tali ipotesi la parte interna di A ed il complementare della chiusura di B sono un ricoprimento aperto di X. La dimostrazione può essere fatta lavorando con le catene piccole per tale ricoprimento, o utilizzando direttamente su X l’operatore di suddivisione baricentrica e l’omotopia tra esso e l’identità.

Notiamo infine che se L ⊂ K è una coppia di schemi simpliciali, i morfismi S_{p}(K/L) → S_{p}(|K|/|L|) inducono isomorfimi in omologia (si applichi il lemma dei 5 per confrontare le due successioni di omologia relativa).

Coomologia singolare. Il complesso delle cocatene singolari di uno spazio topologico X è S^{∗}(X, R) = ⊕_{p≥−1}S^{p}(X, R) ove S^{p}(X, R) è l’R−modulo dei funzionali R−lineari ϕ : S_{p}(X, R) → R , dotato della trasposta δ dell’operatore di bordo d. Se A ⊂ X è un sottospazio, S_{p}(A) è un fattore diretto di S_{p}(X) e quindi la restrizione S^{p}(X) → S^{p}(A) è surgettiva. Il suo nucleo viene indicato con S^{p}(X/A) ed è detto modulo delle cocatene (singolari) relative; esso consiste precisamente delle cocatene su X che si annullano su S_{p}(A). Le successioni esatte:

0 → S^{p}(X/A) → S^{p}(X) → S_{p}(A) → 0

danno luogo alla successione esatta di coomologia singolare:

... → H^{p}(X/A) → H^{p}(X) → H^{p}(A) → H_{p+1}(X/A) → ...

Se f : X → Y è continua, la trasposta di f_{∗} : S(X) → S(Y) è un morfismo f^{∗} : S^{∗}(Y) → S^{∗}(X) che induce omomorfismi f^{∗} : H^{p}(Y) → H^{p}(X) ; si verifica così che i moduli di coomologia H^{p} sono funtori contravarianti dalla categoria degli spazi topologici in quella degli R−moduli.

Confronto tra coomologia singolare e quella simpliciale Sia K uno schema simpliciale; indichiamo con S(|K|/K) il complesso quoziente delle catene singolari per quelle simpliciali. Dalla successione esatta di omologia che ne deriva, siccome abbiamo visto che gli omomorfismi H_{p}(K) → H_{p}(|K|) sono tutti isomorfismi, si ottiene che il complesso S(|K|/K) è aciclico. Inoltre le sue componenti sono R−moduli liberi. Si ha il seguente:

Teorema 16 Un complesso di catene X = ⊕_{p≥−1}X_{p} che sia aciclico e ove ogni addendo X_{p} è un R−modulo libero è omotopicamente nullo; ossia esistono omomorfismi Σ_{p} : X_{p} → X_{p+1} per i quali

d ∘ Σ_{p} + Σ_{p−1} ∘ d = id_{p}

Dim. Definiamo Σ_{−1} : ogni c della base di X_{−1} è un ciclo, quindi esiste x ∈ X_{0} tale che dx = c ; definiamo Σ_{−1}(c) = x. Essendo Σ_{−2} = 0 , esso verifica la relazione richiesta (formalmente si è posto X_{h} = (0) e Σ_{h} l’omomorfismo nullo per h < −1 ). Supponiamo di aver definito i Σ_{h} per h < p verificanti le relazioni d ∘ Σ_{h} + Σ_{h−1} ∘ d = id_{h} . Per ogni c della base di X_{p} dobbiamo trovare un x ∈ X_{p+1} tale che dx = c − Σ_{p−1}dc . Essendo il complesso aciclico, ciò è possibile se e solo se il secondo membro è un ciclo; ciò è vero perché:

dc − dΣ_{p−1}dc = dc − dΣ_{p−1}dc − Σ_{p−2}ddc = (id_{p−1} − d ∘ Σ_{p−1} − Σ_{p−2} ∘ d)(dc) = 0

essendo l’operatore nell’ultimo membro nullo per ipotesi di induzione.

Essendo S(K) un fattore diretto di S(|K|) , dualizzando la successione esatta:

0 → S_{p}(K) → S_{p}(|K|) → S_{p}(|K|/K) → 0

si ottiene una successione esatta:

0 → S^{p}(|K|/K) → S^{p}(|K|) → S^{p}(K) → 0

ove il complesso S^{p}(|K|/K) è omotopicamente nullo perché duale di uno omotopicamente nullo (le trasposte Σ^{p} delle Σ_{p} verificano le relazioni Σ^{p}δ + δ ∘ Σ^{p−1} =identità su S^{p}(|K|/K)). La successione esatta lunga associata a tale successione di complessi di cocatene dà:

Teorema 17 Il morfismo S^{∗}(|K|) → S^{∗}(K) induce isomorfismi tra i moduli di coomologia singolare in quelli di coomologia simpliciale

Osservazione Il teorema precedente vale in omologia ed in coomologia anche per una coppia L ⊂ K di schemi simpliciali; basta confrontare le successioni esatte di omologia (risp. coomologia) delle coppie L ⊂ K e |L| ⊂ |K| ed utilizzare il lemma dei 5.

Excisione in coomologia singolare Se X è uno spazio topologico e B ⊂ A sono suoi sottoinsiemi, si hanno omomorfismi di excisione e : H^{p}(X/A) → H^{p}(X − B/A − B). Si può dimostrare che se la chiusura di B è contenuta nella parte interna di A essi sono isomorfismi (teorema di excisione per la coomologia singolare). La dimostrazione è però abbastanza delicata; quella che conosco (quella riportata nei testi più noti) usa il teorema dei coefficienti universali che non avremo tempo di fare. Per la maggior parte delle applicazioni però basta conoscere tale teorema nel caso di spazi triangolati, ossia se X è il poliedro di uno schema K ed A , B quelli di suoi sottoschemi; la dimostrazione si fa ricordando che l’excisione è un isomorfismo nel caso simpliciale e che per tali spazi le coomologie singolare e simpliciale coincidono.

Il teorema del punto fisso di Lefschetz Siano K uno schema simpliciale ed f una applicazione continua di |K| in se stesso. Se K è finito ed R è un corpo, gli spazi vettoriali H_{p}(|K|) = H_{p}(K) sono di dimensione finita e sono nulli per p sufficientemente alto o p < −1. Per p ∈ ℤ sia t_{p}(f) la traccia dell’endomorfismo indotto f_{∗} : H_{p}(K) → H_{p}(K); lo scalare L(f) = 1+∑_{p∈ℤ}(−1)^{p}t_{p}(f) viene detto numero di Lefschetz di f. Diremo che un elemento r ∈ R è un intero se esso è un multiplo intero dell’identità moltiplicativa di R quindi interpretabile come un intero se R ha caratteristica zero ed un elemento di ℤ/qℤ se R ha caratteristica il primo q.

Scopo di questo paragrafo è dimostrare il seguente:

Teorema 18 Il numero di Lefschetz è un intero di R e se esso è diverso da zero allora f ha almeno un punto fisso

La dimostrazione sarà fatta prima nel caso in cui f sia definita da un morfismo ϕ dello schema K in se; questa parte sarà essenzialmente algebrica. Un argomento di tipo geometrico, detto di approssimazione simpliciale permetterà poi di ridurre a questo il caso generale.

Lemma 19 Siano ϕ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita V ed U ⊂ V un suo sottospazio invariante. Allora la traccia di ϕ coincide con la somma delle tracce della restrizione di ϕ ad U e dell’endomorfismo indotto su V/U

Dim. Si estenda una base di U ad una base di V; una ispezione della matrice di ϕ in tale base dimostra quanto asserito

Proposizione 20 Sia ϕ un endomorfismo di grado zero di un complesso di catene X = ⊕_{p≥−1}X_{p} ove X_{p} è uno spazio vettoriale su R di dimensione finita ed X_{p} = (0) per p sufficientemente alto. Se t_{p} è la traccia di ϕ_{∗} : H_{p}(X) → H_{p}(X) ed n_{p} quella di ϕ : X_{p} → X_{p} si ha:

∑_{p≥−1}(−1)^{p}t_{p} = ∑_{p≥−1}(−1)^{p}n_{p}

Dim. Si applichi il precedente lemma alle successioni esatte corte:

0 → B_{p} → Z_{p} → H_{p} → 0
0 → Z_{p} → S_{p} → B_{p−1} → 0

Dimostriamo adesso il teorema di Lefschetz nel caso che f sia la mappa geometrica associata ad un morfismo σ : K → K. Per la proposizione precedente, L(f) può essere espresso tramite le tracce degli endomorfismi σ_{∗} : S_{p}(K) → S_{p}(K) (complesso delle catene simpliciali non degeneri). Le matrici che esprimono tali endomorfismi nelle basi canoniche (i simplessi di K) sono a coefficienti interi (anzi sono costituite solo da 0,+1,-1); ciò dimostra che L(f) è intero. Per K vuoto non vi sono punti fissi ed il numero di Lefschetz è 0. Sia K non vuoto; se esiste un simplesso non vuoto s in K tale che σ_{s} = s allora il suo baricentro in |K| è un punto fisso per f. Quindi se f non ha punti fissi, per ogni simplesso non vuoto s di K si ha σ(s) ≠ s; allora nelle matrici che esprimono le σ_{∗} sugli S_{p} per p ≥ 0, tutti gli elementi della diagonale principale sono nulli cosicché le loro tracce sono nulle. Osservando che per p = −1 si ha H_{−1} = (0) , e quindi traccia nulla, mentre S_{−1} = R contribuisce con traccia zero, si ottiene il teorema di Lefschetz. Per dimostrare il teorema nel caso generale, introdurremo la nozione di approssimazione simpliciale che è utile anche in diverse altre situazioni.

Approssimazione simpliciale Sia (I, K) uno schema simpliciale. Abbiamo definito l’intorno U(i) di un suo vertice i come l’insieme dei simplessi s ∈ K che possiedono i come vertice; in generale esso non è un sottoschema simpliciale ma lo è sempre il suo complementare K −U(i). Definiamo ora intorno (standard) di un vertice i di |K| come il sottospazio |K| − |K − U(i)|; esso sarà indicato ancora con U(i). E’ facile verificare che la famiglia (U(I))_{i∈I} è un ricoprimento aperto di |K| che verrà detto standard e che il suo nerbo (vedi il paragrafo sugli schemi simpliciali) è isomorfo a K.

Siano ora ϕ : (I_{1}, K_{1}) → (I_{2}, K_{2}) un morfismo di schemi simpliciali ed f : |K_{1}| → |K_{2}| una applicazione continua; diremo che ϕ è una approssimazione simpliciale di f se per ogni vertice i di K_{1} si ha f(U(i) ⊂ U(ϕ(i)).

Proposizione 21

1. se f = |ψ| con ψ : K_{1} → K_{2} simpliciale, le approssimazioni simpliciali di f sono precisamente le ϕ che sono contigue a ψ

2. f ha qualche approssimazione simpliciale se e solo se il ricoprimento standard di |K_{1}| è più fine dell’immagine inversa del ricoprimento standard di |K_{2}|

3. se ϕ, ψ sono due approssimazioni simpliciali di f , allora esse sono contigue e |ϕ|, |ψ| sono entrambi omotope ad f

Corollario 22 Sia f : |K_{1}| → |K_{2}| continua. Se K_{1} è finito, esiste un intero naturale r ed un morfismo simpliciale ϕ : K_{1}^{(r)} → K_{2} che è una approssimazione simpliciale di f (si ricordi che |K_{1}| e |K_{1}^{(r)}| sono canonicamente identificati)

La dimostrazione di tali enunciati è conseguenza abbastanza facile della seguente: osservazione: sia K uno schema simpliciale ed s, t suoi simplessi (non vuoti). Se x appartiene a tutti gli U(i) per i ∈ s ed appartiene a |t| allora t ⊃ s.

Dimostrazione del teorema di Lefschetz nel caso continuo. Sia dunque X = |K| con K schema finito ed f : X → X continua. Si scelga una sua approssimazione simpliciale ϕ : K^{(r)} → K e sia ϕ_{∗} : S(K^{(r)}) → S(K) il morfismo di catene associato (utilizziamo catene non degeneri). Componiamo con l’equivalenza omotopica ψ : S(K) → S(K^{(r)} costruita componendo quelle introdotte per passare dalle catene di uno schema a quelle della sua suddivisione baricentrica. Si ottiene un endomorfismo σ del complesso finito di catene S(K) ed è chiaro che gli endomorfismi a livello di omologia che esso induce coincidono con quelli indotti da f. Osservando che le matrici che esprimono σ a livello di catene sono a coefficienti interi, si ottiene che L(f) è un intero di R. Supponiamo adesso che f non abbia punti fissi; fissata una metrica su X (ad esempio quella euclidea dell’ambiente ove K è realizzato come poliedro) esiste ϵ > 0 per cui d(x, f(x)) ≥ ϵ per ogni x ∈ X. Possiamo anche supporre che la triangolazione K iniziale sia così fine che per ogni suo simplesso si abbia diam(|s|) < ϵ/3. Allora per ogni simplesso s di K si ha |s| ∩ |ϕ|(|s|) = ∅.

Infatti se x ∈ |s| allora f(x) e |ϕ|(x) stanno in uno stesso simplesso di K ed hanno quindi distanza inferiore a ϵ/3; se fosse anche f(x) ∈ |s| si avrebbe d(x, f(x) ≤ d(x, |ϕ|(x)) + d(|ϕ(x), f(x)) ≤ 2/3ϵ contro l’ipotesi fatta per ϵ. Ricordando che il morfismo ψ : S(K) → S(K^{(r)}) manda un simplesso su una catena avente supporto nella suddivisione s^{(r)} di s, si vede che le matrici che esprimono i morfismi S_{p}(K) → S_{p}(K) per p ≤ 0 hanno tutti gli elementi diagonali nulli e qundi hanno tutti traccia nulla; ne segue che L(f) = 0.

Corollario 23 Sia K uno schema finito. Se esiste un corpo R per cui tutti i moduli di omologia di K sono nulli (ad esempio se |K| è contrattile) allora ogni applicazione continua f : |K| → |K| ha qualche punto fisso

Corollario 24 Ogni applicazione continua f : |K → |K| che sia omotopa ad una costante ha punti fissi se K è finito

Un omomorfismo λ ↦ ϕ_{λ} di ℝ nel gruppo degli omeomorfismi di uno spazio topologico X in se è detto un flusso su X se X ×ℝ ∋ (x, λ) ↦ ϕ_{λ}(x) è continua. Evidentemente allora tutte le ϕ_{λ} sono omotope all’identità. Un punto fisso di un tale flusso è un x ∈ X che sia fisso per ogni ϕ_{λ}.

Corollario 25 Se K è uno schema finito avente caratteristica χ(K) ≠ 0, allora ogni flusso su |K| ha qualche punto fisso

Dim. Ogni ϕ_{λ} ha numero di Lefschetz uguale a l’identità ossia χ(K) ≠ 0. Quindi l’insieme F_{λ} dei punti fissi di ϕ_{λ} è un compatto (perché chiuso in |K| che è compatto) ed è non vuoto; inoltre F_{λ} ⊂ F_{nλ} per ogni n ∈ ℤ. L’intersezione F della catena discendente di compatti non vuoti F_{2^{−n}} per n intero positivo è quindi un compatto non vuoto. I suoi punti sono fissi per tutte le ϕ_{2^{−n}}; quindi anche per tutti i λ del tipo m2^{−n} con m ∈ ℤ ed n intero positivo. Essendo questi densi in ℝ per continuità ogni ϕ_{λ} fissa tutti i punti di F.

Nota. Siano K uno schema finito ed f : |K| → |K| una applicazione continua; utilizziamo coefficienti in un corpo R di caratteristica zero (si potrebbero utilizzare anche coefficienti ℤ definendo opportunamente cosa è la traccia di un endomorfismo di uno ℤ−modulo finitamente generato). Il numero di Lefschetz L(f) ”conta” quanti sono i punti fissi di f. Levare le ” ” è abbastanza delicato perché i punti fissi vanno contati con la loro ”molteplicità”; ma ancora peggio: l’insieme dei punti fissi può essere infinito e non è priori chiaro come si possa definire in tal caso una molteplicità finita. Per capire che tipo di risultati si possano ottenere, esaminiamo il caso speciale che f sia simpliciale, ossia sia indotta da un morfismo ϕ di K in se. L’insieme dei punti fissi di f è allora il poliedro di un sottoschema A. Considerando l’azione di ϕ sulla successione esatta della coppia (K, A) e ragionando come per il teorema di Lefschetz nel caso simpliciale, si trova che il numero di Lefchetz sull’omologia relativa è nullo e quindi che L(ϕ) = L(ϕ_{|A}); ma ϕ_{|A} è l’identità, quindi L(ϕ_{|A}) = χ(A). Abbiamo così che l’insieme dei punti fissi A di un endomorfismo simpliciale ϕ di uno schema finito ha per caratteristica di Eulero-Poincaré il numero di Lefschetz L(ϕ). Ad esempio se A è un numero finito di punti (cioè ha dimensione 0) questi dovranno essere L(ϕ) e se L(ϕ) è negativo, allora necessariamente A non può essere di dimensione 0, quindi |ϕ| ha infiniti punti fissi.

Se χ(K) è negativo, ogni morfismo ϕ che induca l’identità in omologia (ad esempio se è omotopo all’identità) deve avere infiniti punti fissi: nel caso di una superficie se ne può dedurre che lui o il suo quadrato deve essere l’identità. Infatti esso, dovrà trasformare il ciclo fondamentale (coefficienti in ℤ/2ℤ) in se stesso, quindi non potrà essere degenere su nessun simplesso (perché quelli di dimensione due sono tutti indispensabili per realizzare la classe fondamentale); allora se fissa uno spigolo, lui o il suo quadrato fissa anche i triangoli di cui è faccia ed è chiaro allora che fissa tutti i triangoli. Ne segue che associando ad ogni simmetria di una superficie l’ automorfismo indotto sull’omologia, si ottiene un omomorfismo di gruppi che è iniettivo ho ha nucleo composto di due elementi; essendo H_{1} uno spazio vettoriale di dimensione finita su ℤ/2ℤ, se ne deduce una maggiorazione dell’ordine dei possibili gruppi di simmetria realizzabili con qualche triangolazione di una superficie di caratteristica negativa (già ottenuta in modo più preciso, nella parte sugli schemi simpliciali, per quelle orientabili).

La condizione che f sia simpliciale è però molto restrittiva; ad esempio una sua potenza deve essere l’identità (ossia è periodica) perché lo schema è finito. Sia ad esempio f : S^{1} → S^{1} una applicazione continua che fissa due punti e sposta tutti gli altri verso uno dei due; si hanno quindi due punti fissi pur essendo L(f) = 0. Nel caso generale si devono quindi ”contare” i punti fissi in modo più appropiato introducendo per ognuno di essi delle ”molteplicità” intere’ e ciò è possibile se si hanno solo punti fissi isolati. Nel caso di S^{1} ciò può essere fatto elementarmente e credo anche nel caso di un grafo finito. Per le varietà X di dimensione superiore si ricorre ai prodotti cap, intersecando nel prodotto X × X la classe della diagonale con quella del grafico. Non so se sia stato studiato il problema per uno schema finito qualsiasi.