Calcolo dell’omologia per certi spazi e sue applicazioni

Indicheremo con D^{n} e S^{n−1} = ∂D^{n} rispettivamente il disco chiuso e la sfera unitari di centro l’origine in ℝ^{n}.

Teorema 1 Se n ≥ 0 si ha H_{i}(D^{n}) = (0) per ogni i , H_{i}(S^{n−1} = (0) per i ≠ n − 1 e H_{n−1}(S^{n−1} ≃ R

Dim. Per D^{n} deriva dal fatto che è contrattile. Per S^{n−1} si fa per induzione: banale se n = 0. Supponiamo sia vero per n; si ha una decomposizione S^{n} = D^{+} ∪ D^{−} con D^{+} e D^{−} omeomorfi a D^{n} e D^{+} ∩ D^{−} = S^{n−1}. La successione di Mayer-Vietoris indotta identifica ogni H_{i}(S^{n}) con H_{i−1}(S^{n−1}).

Corollario 2 S^{n−1} non è retratto di D^{n}

Questo risultato può essere generalizzato nel modo che segue. Ricordiamo che una n−pseudovarietà è detta normale se ogni suo simplesso di dimensione inferiore ad n−1 ha una sezione trasversa connessa. In modo analogo definiamo le n−varietà a bordo come gli schemi ogni cui simplesso non vuoto è faccia di qualche n−simplesso e precisamente di uno o di due se esso ha dimensione n−1; essa sarà detta normale se ogni suo simplesso di dimensione inferiore ad n − 1 ha sezione trasversa connessa. Diremo bordo di una n−pseudovarieà il minimo suo sottoschema ∂Kche contiene gli (n − 1)−simplessi che sono faccia di un solo n−simplesso. Se K è normale esso è una (n − 1)−pseudovarietà (problema: in tal caso anche ∂K è normale?). Si ha:

Teorema 3 Sia K una n−pseudovarietà normale finita e non vuota. Allora |∂K| non è retratto di |K|

Dim. Sarà sufficiente dimostrare ciò nel caso che K sia irriducibile (che qui equivale all’essere connessa perché K è normale) ed anche che ∂K sia non vuoto. Utilizzando coefficienti R = ℤ/2ℤ si ha allora che H_{n−1}(∂K) è non nullo; con analoghe considerazioni a quelle fatte per dimostrare ciò si ha anche che H_{n}(K) = (0) e che H_{n}(K/∂K) ≃ R; inoltre H_{n}(∂K) = (0) per questioni di dimensione. La successione esatta della coppia (K, ∂K) contiene la:

0 → H_{n}(K/∂K) → H_{n−1}(∂K) → H_{n−1}(K)

che vale anche in omologia singolare. Se |∂K| fosse retratto di |K| , ossia se l’inclusione ∂K → K avesse una inversa sinistra, l’avrebbe anche l’ultimo omomorfismo di tale successione che quindi sarebbe iniettivo: ciò è assurdo perché in tale succesione il primo termine è non nullo. Nota. Lo stesso risultato può essere ottenuto senza usare l’omologia, ragionando come per la dimostrazione del teorema di Brouwer.

Definizione. Sia f : X → Y una applicazione continua ove X, Y sono i poliedri di n-pseudovarietà K_{1}, K_{2} con n > 0 e K_{2} è irriducibile; quindi H_{n}(Y, ℤ/2ℤ) si identifica a ℤ/2ℤ ed X ha una classe fondamentale c ∈ H_{n}(X, ℤ/2ℤ). Il grado (mod 2) di f è allora f_{∗}(c) ∈ ℤ/2ℤ. Se X, Y sono orientate (ossia se K_{1}, K_{2} lo sono), allora H_{n}(Y, ℤ) ≃ ℤ ed X ha una classe fondamentale intera c ∈ H_{n}(X, ℤ). L’intero δ(f) = f_{∗}(c) è detto grado (intero) di f; si noti che tali nozioni sono indipendenti dalla scelta delle n−pseudovarietà che triangolano X ed Y e che rimangono invariati sostituendo f con una sua omotopa g. In particolare se X è il poliedro di una n−pseudovarietà finita, per ogni applicazione continua f : X → S^{n} è definito il grado (intero se X è orientata). Per X, Y spazi topologici indichiamo con [X, Y] l’insieme delle classi di omotopia di applicazioni continue di X in Y. Si ha il seguente:

Teorema 4 (Hopf) Sia X = |K| con K una n−pseudovarietà finita e irriducibile. Se essa è orientata il grado intero δ : [X, S^{n}] → ℤ è biunivoca. Se X non è orientabile, il grado modulo due da [X, S^{n}] in ℤ/2ℤ è biunivoca

Dim. Sia S^{n} il bordo dell’(n + 1)-simplesso Δ_{n+1}. Data f : K → S^{n}, possiamo supporre, modulo omotopia e suddividendo un numero sufficiente di volte K che essa sia data da un morfismo simpliciale ϕ di K in ∂Δ_{n+1}; essa è quindi determinata da una applicazione dei vertici di K in I_{n} = {0, 1, ..., n}. Sia L il minimo sottoschema di K contenente i simplessi s che hanno immagine surgettiva sulla faccia Δ_{0} opposta a 0 in ∂Δ_{n+1}; è chiaro dalla definizione che il grado di f coincide con la differenza tra il numero degli n−simplessi s di L per cui ϕ : s → Δ_{0} conserva l’orientazione (detti positivi) ed il numero di quelli per i quali l’orientazione viene invertita (quelli negativi). Da ciò si ottiene che ogni intero è il grado di qualche applicazione di X in Δ_{0}: scegliendo r simplessi di dimensione massima in K, inviandoli positivamente sul simplesso {1, ..., n} e mandando poi tutti gli altri vertici che rimangono in K nel vertice 0 di ∂Δ_{n+1}, si ha morfismo ϕ_{0} che dà una applicazione f_{0} di grado r.

Resta da dimostrare che se f ha grado r allora è omotopa a tale f_{0}. Si noti intanto che se L è l’insieme degli n−simplessi scelti per costruire ϕ_{0}, allora ϕ e ϕ_{0} sono contigue e quindi f, f_{0} sono omotope. Ci riduciamo a questo caso nel seguente modo:

1. modulo contiguità possiamo modificare la ϕ lasciandola invariata su L ed applicando in 0 ogni altro vertice; diremo regolarizzata questa nuova ϕ

2. possiamo cancellare due n−simplessi di L che siano adiacenti (ed allora necessariamente uno positivo e l’altro no), sostituendo la loro unione col cono su bordo della loro unione, applicando il nuovo vertice ove vengono mandati i vertici non comuni e poi regolarizzando

3. si sostituisca ogni n−simplesso di L con un prisma Δ_{n} × [0, 1] a cui è stata tolta la base e si applichino i vertici superiori come quelli inferiori; quindi si regolarizzi; il nuovo L sarà fatto di n−simplessi disgiunti

4. si sposti uno dei simplessi vicino ad uno di segno opposto, se ne esistono; sino a che questi restano disgiunti possiamo seguire con una omotopia di f (ciò può essere fatto con operazioni simpliciali ma la descrizione analitica di tale procedimento senza disegni è complicata: verrà descritta in una appendice sui cambiamenti di triangolazioni). Se vi sono problemi ad andare avanti ( f deve esser uguale sui vertici da sovrapporre) si risolvono ”ruotando” il simplesso prima di spostarlo; questa operazione si fa (vedi ancora in appendice) utilizzando vari prismi: tutto funziona perché permutando i vertici nella nuova faccia con due trasposizioni contigue, le facce laterali saranno degeneri salvo due che sono adiacenti che possono essere eliminate; si regolarizza e se necessario si ripete l’operazione: resta da osservare che i prodotti di coppie di trasposizioni contigue generano il sottogruppo delle permutazioni pari. Si possono quindi portare i due ad essere adiacenti e quindi eliminabili.

5. resta da spostare gli n− simplessi di L sino a che coincidano con quelli usati per costruire ϕ_{0} e ciò è possibile perché sono in egual numero.

Facciamo alcune altre considerazioni sul grado:

Teorema 5 Siano f, g : X → S^{n} due applicazioni continue tali che per ogni x ∈ X sia f(x) ≠ g(x). Allora f è omotopa a −g. Quindi se il grado è definito (X è il poliedro di una n−pseudovarietà orientata) si ha δ(f) = (−1)^{n+1}δ(g). In particolare per X = S^{n} e g l’identità, si trova che se f non ha punti fissi allora δ(f) = (−1)^{n+1}

Dim. Detta r : ℝ^{n+1} − {0} → S^{n} la retrazione r(x) = x/||x||, l’omotopia tra f e −g è λf(x) − (1 − λ)g(x). Il grado della mappa antipodale τ : x ↦ −x è calcolabile simplicialmente (si parte da un poligono P_{1} di un numero pari di lati su cui τ è definibile simplicialmente; per S^{2} si prende il doppio cono P_{2} su P_{1} e così via) e si trova δ(τ) = (−1)^{n+1}. L’ultima affermazione era ottenibile anche col teorema di Lefschetz.

Teorema 6 Se f : S^{2n} → S^{2n} è continua, allora o ha qualche punto fisso o manda qualche punto nel suo antipodale

Dim. Se f non ha punti fissi, per il teorema precedente è omotopa alla applicazione antipodale quindi δ(f) = −1 Se f non manda alcun punto nel suo antipodale, essa è omotopa all’identità quindi δ(f) = 1. Una di tali affermazioni deve essere falsa.

Corollario 7 Sia f una applicazione continua dello spazio proiettivo reale ℙ^{n} di dimensione n in se stesso. Se n è pari f ha punti fissi

Teorema 8 Le sfere di dimensione pari non hanno campi di vettori tangenti mai nulli

Dim. Un campo di vettori tangenti alla sfera S^{n} è definito come una applicazione v : S^{n} → ℝ^{n+1} − {0} tale che < x, v(x) >= 0 per ogni x ∈ S^{n}. Se un tale campo non si annulla mai, il suo normalizzato dà una applicazione di S^{n} in se che non ha punti fissi e che non invia alcun punto nel suo antipodale; per il teorema precedente allora n non può essere pari.

Omologia degli spazi proiettivi reali e complessi. Consideriamo nel caso complesso l’inclusione ℙ^{n} ⊂ ℙ^{n+1} ove ℙ^{n} è l’iperpiano all’infinito cosicché ℙ^{n+1} −ℙ^{n} = ℂ^{n}. Calcoliamo i moduli relativi H_{i}(ℙ^{n+1}/ℙ^{n}). Se D è il disco chiuso unitario di centro l’origine in ℂ^{n}, si trova (excisione più successioni esatte di coppie ed uso del lemma dei 5) che H_{i}(D/∂D) ≃ H_{i}(ℙ^{n+1}/ℙ^{n}); di conseguenza essi sono tutti nulli salvo quello con i = 2n + 2 che è R. La successione esatta di coppia dice allora che H_{2n+2}(ℙ^{n+2}) ≃ R (ciò poteva essere dedotto dal fatto che ℙ^{n+1} è triangolabile con una pseudovarietà orientabile) e che ℙ^{n+1} ha tutti gli altri moduli isomorfi a quelli di ℙ^{n}. Per induzione si ha così che H_{i}(ℙ^{n}) ≃ R per i pari ed è nullo per i dispari.

Il caso reale è più complicato e bisogna identificare alcune mappe nella successione esatta di coppia. Consideriamo le successioni esatte delle coppie (ℙ^{n+1}, ℙ^{n}) e (S^{n+1}, S^{n}) che sono congiunte dagli omomorfismi indotti dalle applicazioni canoniche S^{p} → ℙ^{p} che definiscono gli spazi proiettivi. Come sopra si trova che H_{i}(ℙ^{n+1}/ℙ^{n}) ≃ H_{i}(D^{n+1}/∂D^{n+1}); in modo analogo si trova che H_{i}(S^{n+1}/S^{n}) ≃ H_{i}(D^{+}/∂D^{+}) ⊕ H_{i}(D^{−}/∂D^{−}) ove D^{+}, D^{−} sono i due dischi sopra e sotto i ”tropici”. Dalla prima di tali successioni si deducono isomorfismi H_{i}(ℙ^{n+1}) ≃ H_{i}(ℙ^{n}) se i ≤ n − 1. Restano da calcolare H_{n} ed H_{n} + 1 per ℙ^{n+1}. Le due successioni sopra introdotte finiscono nel seguente diagramma commutativo a righe esatte:

0 ⟶  R  ⟶^{σ} R ⊕ R ⟶^{τ} R ⟶  0
↓^{β_{n+1}}  ↓^{α}  ↓^{β_{n}}
0 ⟶ H_{n+1}(ℙ^{n+1}) ⟶^{j} R ⟶^{ϕ} H_{n}(ℙ^{n}) ⟶^{π} H_{n}(ℙ^{n+1}) ⟶ 0

ove con opportune scelte delle identificazioni con R dei moduli conosciuti si ha:

σ(λ) = (λ, λ)  τ(λ, μ) = λ − μ  α(λ, μ) = λ + (−1)^{n}μ

Infatti si scelga per H_{n+1}(S^{n+1}) una delle due identificazioni naturali con R. Come abbiamo visto, la successione di Majer-Vietoris per S^{n+1} = D^{+} ∪ D^{−} identifica H_{n+1}(S^{n+1}) con H_{n}(S^{n}); d’altra parte quest’ultimo è identificato ad H_{n+1}(D^{+}/S^{n}) ed a H_{n+1}(D^{−}/S^{n}) dalle successioni esatte di coppia associate a (D^{+}, S^{n}) e (D^{−}, S^{n}). Con tali identificazioni σ e τ hanno la forma scritta sopra. Si identifichi poi H_{n+1}(ℙ^{n+1}/ℙ^{n}) con H_{n+1}(D^{+}/S^{n}); allora anche α sarà espressa come detto. Calcoleremo adesso induttivamente H_{n}(ℙ^{n}) e β_{n}; ciò ci permetterà di calcolare ϕ e quindi anche H_{n+1} ed H_{n} di ℙ^{n+1} che sono il nucleo ed il conucleo di ϕ. Per n = 1 si ha ℙ^{1} = S^{1} e quindi H_{1}(ℙ^{1}) = R; inoltre β_{1} è la moltiplicazione per 2. Per calcolare ϕ : R → R si solleva 1 tramite α in (1, 0) poi si trasforma con τ ottenendo 1 e quindi con β_{1} ottenendo 2 ; quindi ϕ è la moltiplicazione per 2. Ne segue che H_{2}(ℙ^{2}) ≃ R_{2} = {r ∈ R : 2r = 0} e H_{1}(ℙ^{2}) ≃ R/2R. Per identificare β_{2} si trasforma con σ ottenendo (1, 1) e quindi con α che da 0; quindi β_{2} è l’omomorfismo nullo perché j è iniettiva. Sia ora n = 2. Essendo α surgettiva e β_{2} nulla anche ϕ è nulla. Quindi j e π sono isomorfismi cosicché H_{3}(ℙ^{3}) ≃ R e H_{2}(ℙ^{3}) ≃ H_{2}(ℙ^{2}) ≃ R_{2}. Calcoliamo β_{3} : R → R : si ha σ(1) = (1, 1) e α(1, 1) = 2, qundi β_{3} è la mpltiplicazione per 2. Quindi il diagramma per n = 3 è identico a quello per n = 1; tale diagramma dipende così solo dalla parità di n e permette di calcolare tutti i moduli di omologia degi spazi proiettivi reali. Per n ≥ 2 si ottiene: H_{p}(ℙ^{n}) ≃ R_{2} se 0 < p ≤ n ed è pari H_{p}(ℙ^{n}) ≃ R/2R se 1 ≤ p ≤ n − 1 ed è dispari H_{n}(ℙ^{n}) ≃ R se n è dispari Ad esempio per R = ℤ tutti tali moduli sono nulli per n dispari ed isomorfi a ℤ per n pari mentre per R = ℤ/2ℤ sono tutti isomorfi a ℤ/2ℤ.

Teoremi di separazione

Teorema 9 Sia D ⊂ S^{n} omeomorfa a D^{r} ove n, r ≥ 0. Allora D ≠ S^{n} ed H_{i}(S^{n} − D) = (0) per ogni i

Dim. D ed S^{n} non possono coincidere perché hanno omologia diversa. L’enunciato è evidente per n = 0; supponiamo quindi n > 0 e procediamo per induzione. Per r = 0 si deduce dal fatto che togliendo un punto ad S^{n} si ottiene uno spazio omeomorfo ad ℝ^{n}. Supposto vero l’enunciato per un intero r sia σ : D^{r+1} → S^{n} continua ed iniettiva, quindi un omeomorfismo con la sua immagine D. Sostituiamo D^{r+1} col suo omeomorfo D^{r} ×[0, 1]; Per ipotesi di induzione, l’enunciato è vero per ogni D_{t} ⊂ S^{n} ove D_{t} = σ(D^{r} × {t}). Sia ora z un ciclo in S^{n} − D; per ogni t ∈ [0, 1] esso è un ciclo anche in S^{n} − D_{t} e quindi un bordo in tale spazio. Evidentemente esiste un intorno U di t in [0, 1] tale che z è un bordo anche in S^{n}−σ(D^{r} ×U) = D_{U}. Per mostrare che z borda in S^{n}−D basta allora mostrare che se borda in D_{[a,b]} ed in D_{[b,c]} allora borda anche in D_{[a,c]}. Ciò si ottiene dalla successione di Mayer-Vietoris associata a S^{n} −D_{b} = (S^{n} −D_{[a,b]})∪(S^{n} −D_{[b,c]}).

Corollario 10 S^{n} non può essere sconnesso togliendo una cella chiusa (ossia un sottoinsieme omeomorfo a qualche D^{r})

Teorema 11 Sia Γ un sottospazio di S^{n} omeomorfo a S^{r} . Allora H_{i}(S^{n} − Γ) ≃ R per i = n − r − 1 altrimenti è nullo. In particolare r ≤ n e se r = n si deve avere Γ = S^{n}

Dim. Decomponiamo Γ in due r−celle chiuse D^{+} , D^{−} con D^{+} ∩ D^{−} = Γ′ omeomorfo ad S^{r−1}. La successione di Mayer-Vietoris associata a S^{n} − Γ′ = (S^{n} − D^{+}) ∪ (S^{n} − D^{−}) dà isomorfismi H_{i+1}(S^{n} − Γ′) ≃ H_{i}(S^{n} − Γ). Ripetendo ciò r + 1 volte si ottiene H_{i}(S^{n} − Γ) ≃ H_{i+r+1}(S^{n} − ∅) = H_{i+r+1}(S^{n}); esso è quindi R se n = i + r + 1 ed è zero altrimenti.

Teorema 12 (invarianza del dominio) Siano U , V sottoinsiemi omeomorfi di S^{n}; se V è aperto anche U lo è

Dim. Basta dimostrare che se σ : D^{n} → S^{n} è continua ed iniettiva, posto D = σ(D^{n}) ed S = σ(∂D^{n}) allora B = D −S è aperto in S^{n}. Per quanto visto prima H_{0}(S^{n} − D) = 0 e quindi S^{n} − D è connesso; anche B lo è perché omoeomorfo ad una n−cella aperta. Quindi (S^{n} −D)∪B ha una o due componenti connesse. Siccome S è una (n − 1)−sfera in S^{n} , sappiamo dal teorema precedente che esse sono due: esse sono allora le componenti connesse dell’aperto S^{n} −S e sono quindi insiemi aperti.

Omologia locale L’omologia locale H(X, x) di uno spazio topologico X in un suo punto x è definita come l’omologia relativa H(X/X − {x}); essa coincide (excisione) con l’omologia locale in x di un qualsiasi intorno U di x in X. Se esiste un intorno U di x che sia omeomorfo al cono su uno spazio T, per un omeomorfismo che applica x nel vertice v di tale cono, allora l’omologia locale di X in x è isomorfa alla omologia locale di T di grado diminuito di uno cioè H_{i+1}(X, x) ≃ H_{i}(T) per ogni i perchè T è contrattile. Ad esempio se X = |K| con K uno schema simpliciale, si può prendere per T il link di x in |K| (definito come il poliedro formato dai simplessi (di |K|) che non contengono x ma che sono faccia di uno che lo contiene). Se X è una varietà topologica di dimensione n in un intorno di x, l’unico modulo locale non nullo è H_{n}(X, x) ≃ R.

Teorema 13 Siano K_{1} , K_{2} due schemi i cui poliedri |K_{1}| , |K_{2}| siano omeomorfi. Allora dim(K_{1}) = dim(K_{2})

Dim. Osservato che K_{i} è localmente finito se e solo se |K_{i}| è localmente compatto, basterà considerare il caso che entrambi siano di dimensione finita. Allora dim(K_{i}) è il massimo n per cui H_{n}(X, x) ≠ (0) in qualche x ∈ X.

Teorema 14 Se uno schema K triangola una varietà topologica di dimensione n, la sezione trasversa di ogni suo p−simplesso non vuoto, ha l’omologia della sfera di dimensione n − p − 1; in particolare quidi K è una n−pseudovarietà normale

Dim. Indichiamo con V il sottoschema di K formato dai simplessi che sono faccia di qualche simplesso contenente s e con W il sottoschema di V di quelli che non contengono s. Sia poi T la sezione trasversa ad s in K, identificata al sottoschema formato dai simplessi di V che sono disgiunti da s. Associando t∪s ad ogni q−simplesso t di T si ottengono omomorfismi S_{q}(T) in S_{q+p+1}(V/W) che danno un morfismo di complessi di grado p + 1 e che induce quindi isomorfismi H_{q}(T) ≃ H_{q+p+1}(V/W). Scegliamo x ∈ |s| che non appartenga alla frontiera di |s|; allora |V | è un intorno di x in |K| ed è anche il cono su W di vertice x. Si hanno quindi isomorfismi H_{j}(V/W) ≃ H_{j}(|K|, x). Ne segue che l’omologia di T coincide con quella locale di K in x , col grado diminuito di p + 1. Quindi se K è una varietà topologica di dimensione n allora l’omologia di T è quella di una sfera di dimensione n − p − 1. Per p = n − 1 si ha quindi che T deve avere due componenti connesse ed essendo dim(K) = n e quindi dim(T) = 0 ciò significa che T è fatto di due punti; ossia ogni (n − 1)−simplesso è faccia di esattamente due n−simplessi che è la condizione per essere una n−pseudovarietà.

Il fatto che essa è normale segue poi dall’annullarsi dell’ H_{0} per sfere di dimensione positiva.

Alcuni calcoli di coomologia H_{0}(X, R) : una 0−cocatena ϕ ∈ S^{0}(X, R) è identificabile ad una applicazione ϕ : X → R perché i punti di X (gli 0−simplessi) sono una base di S_{0}(X, R). Una tale ϕ è un cociclo se per ogni arco continuo γ : [0, 1] → X si ha ϕ(1) − ϕ(0) = 0 ossia se e solo se è costante sulle componenti connesse per archi. S_{−1} è generato dall’unico (−1)−simplesso ∅ e quindi un generatore di S^{−1} è l’applicazione che manda ∅ in 1; il suo cobordo è la 0−cocatena costante 1. Quindi H^{0}(X, R) ≃ {funzioni che sono costanti sulle componenti connesse per archi}/{funzioni globalmente costanti}. H^{1}(X, R) : sia ora X uno spazio topologico connesso per archi con un punto base ∗ fissato. Si ha un isomorfismo naturale ν : H^{1}(X, R) → Hom(π_{1}(X, ∗), R). Dimostriamo tale fatto nel caso di uno schema simpliciale K; la dimostrazione è praticamente identica nel caso topologico. definizione di ν : ogni passo in K è interpretabile come un 1-simpleso ordinato; quindi se ω è una 1−cocatena di K, per ogni cammino c = (p_{1}, ..., p_{n}) è definito ω(c) = ω(p_{1}) + ... + ω(p_{n}) ∈ R. Si verifica facilmente che ciò definisce un omomorfismo ν : H^{1}(X, R) → Hom(π_{1}(X, ∗), R); d’altra parte tale ν può essere ottenuta componendo l’omomorfismo naturale H^{1}(X, R) → (H_{1}(X, R))^{∗} con l’omomorfismo π_{1}(X, ∗) → H_{1}(X, ℤ) studiato in precedenza, composto con il ”cambio di coefficienti” H_{1}(X, ℤ) → H_{1}(X, R) associato al’omomorfismo canonico ℤ → R. Insomma un 1−cociclo ω può essere integrato su un cammino chiuso c ed il risultato non cambia cambiando ω nella sua classe di omologia e c nella sua classe di omotopia. ν è iniettiva : supponiamo che ∫_{c} ω = 0 per ogni cammino chiuso; costruiamo una 0−cocatena α ponendo α(i) = ∫_{c} ω ove c è un qualsiasi cammino da ∗ ad i; tale valore è ben definito (perché K è connesso, quindi un tale c esiste; inoltre non dipende dal particolare c scelto). Si verifica subito che δ(α) = ω e che quindi la classe di ω è nulla (l’argomento è simile a quello relativo alla esistenza di un potenziale per una 1−forma differenziale che abbia tutti i ”periodi” nulli). surgettività di ν : sia σ : π_{1}(X, ∗) → R un omomorfismo; dobbiamo mostrare che esiste un 1−cociclo ω la cui integrazione sui cammini dà tale σ. scegliamo per ogni vertice i un cammino c_{i} da ∗ ad i; se s = (i, j) è un 1−simplesso ordinato, poniamo ω(s) = σ(γ_{ij}) ove γ_{ij} è il cammino chiuso fatto da c_{i} seguito da (i, j) e quindi dall’inverso di c_{j}. Se t = (j, j, k) è un 2−simplesso di K si ha ω(dt) = σ(c_{i} · (i, j) · (j, k) · (k, i) · c_{i}^{−1}) che è nullo perché l’argomento di σ è omotopo a zero; ciò mostra che ω è un cociclo; in modo analogo si verifica che se c è un cammino chiuso allora σ(c) = ∫_{c} ω (perché se c è il prodotto di passi p_{h} = (i_{h}, j_{h}) esso è anche il prodotto di cammini chiusi c_{i_{h}} ·(i_{h}, j_{h})·c_{j_{h}}^{−1} e quindi σ(c) = ...).

Teorema 15 Sia K una n−pseudovarietà irriducibile connessa. si ha:

- H^{n}(K, R) ≃ R se essa è finita e orientabile

- è isomorfo a R/2R se è finita non orientabile

- è nullo se K è infinito

Dim. Siano s_{1}, s_{2} due n−simplessi adiacenti aventi come faccia comune il simplesso t di dimensione n − 1; orientiamoli tutti e tre di modo che t abbia l’orientazione indotta da s_{1} e opposta a quella indotta da s_{2}. Se ω ∈ S^{n}(K, R) ed è ω(s_{1}) = r, consideriamo la (n−1)−cocatena α che vale r su t e zero su tutti gli altri (n − 1)−simplessi; allora ω′ = ω − δ(α) vale zero su s_{1}, il suo valore su s_{2} è incrementato di r ed assume su tutti gli altri n−simplessi lo stesso valore di ω. Abbiamo cioè spostato il valore assunto da ω su s_{1} su s_{2} lasciando gli altri invariati e con una cocatena che dà la stessa classe di coomologia di ω. Se K è finito, con un numero finito di tali operazioni, essendo K irriducibile, si arriva a rappresentare una data classe in H^{n}(K, R) con una n−cocatena ω̄ che ha valore non nullo su un solo prefissato n−simplesso s_{0}. Ne segue intanto che H^{n}(K, R) è un quoziente di R. Supponiamo ora che K sia orientabile e sia c la n−catena somma di tutti gli n−simplessi orientati di K; si consideri l’omomorfismo S^{n}(K, R) ∋ ω → ∫_{c} ω ∈ R; esso è nullo sui cobordi ed induce quindi un omomorfismo H^{n}(K, R) → R che è surgettivo (ogni r ∈ R è l’integrale della cocatena che vale r su s_{0} ed è zero altrove). La costruzione precedente mostra che essa è anche iniettiva. Supponiamo adesso che K non sia orientabile; ”integrando” (mod 2R) si ottiene un omomorfismo S^{n}(K, R) → R/2R ancora surgettivo. Per mostrare che è anche iniettivo, basta mostrare che se ω_{0} è una n−cocatena che vale r su s_{0} e zero altrove, allora ω + ω è coomologa alla cocatena nulla. Infatti lasciando invariato uno dei due addendi e trascinando l’altro lungo un percorso (di n−simplessi successivamente adiacenti) che scambia le orientazioni di s_{0}, si trasforma ω + ω in una somma ω + ω̄ in cui ω̄ a valori opposti a quelli di ω. Esaminiamo ora il caso che K sia infinito. Consideriamo il grafo Γ avente per vertici l’insieme V degli n−simplessi di K ed in cui s_{1}, s_{2} sono congiunti da uno spigolo se e solo se essi sono adiacenti in K; l’insieme S degli spigoli è quindi in corrispondenza biunivoca con l’insieme degli (n − 1)−simplessi di K. Essendo K irriducibile Γ è connesso; esso è anche localmente finito perché ogni vertice è congiunto con esattamente n + 1 altri vertici di Γ. Se A ⊂ V è finito, consideriamo il sottografo Γ_{A} ⊂ Γ costituito dai vertici non in A e dagli spigoli che non toccano A; esso avrà un numero finito di componenti connesse alcune delle quali infinite ed altre finite; aggiungiamo ad A i vertici in quelle finite: l’insieme A′ così ottenuto sarà tale che Γ_{A′} ha solo componenti connesse infinite: diremo che A′ è completo. E’ chiaro ora che esiste una successione A_{1} ⊂ A_{2} ⊂ ... di sottoinsiemi finiti e completi la cui unione è tutto V. Se ω è una n−cocatena su K, la costruzione descritta all’inizio dà una n−cocatena ω_{1} = ω − δ(α_{1}) nulla su A_{1}. Si noti adesso che per modificare ω_{1} in una ω_{2} nulla su A_{2} si può sottrarre il cobordo di una (n − 1)−cocatena α_{2} nulla sulle facce di elementi di A_{1} perchè ogni vertice di A_{2} è congiungibile ad uno fuori di esso senza traversare A_{1}. Proseguendo così si trova una successione α_{1}, α_{2}, ... di (n−1)−cocatene ”sommabile” su K in una ben definita α ∈ S^{n−1}(K, R) perché in ogni simplesso sono tutte nulle salvo un numero finito; inoltre per ogni p ≤ q la cocatena ω − δ(α_{1} + ... + α_{q}) è nulla su A_{p}. Ne deriva che δ(α) = ω e ciò dimostra che H^{n}(K, R) = (0).

Orientazioni e grado locale Sia R = ℤ. Se X è una varietà topologica di dimensione n, per ogni x ∈ X si ha H_{n}(X, x) ≃ ℤ ; tale isomorfismo è però definito a meno del segno; la scelta σ_{x} di un suo generatore (equivalente alla scelta di un suo isomorfismo con ℤ) è detta una orientazione di X in x. Una scelta di orientazioni σ_{x} di X in ogni suo punto x sarà detta una orientazione di X se vale la seguente condizione di ”continuità”: per ogni x_{0} ∈ X esistono un suo intorno U ed un elemento σ ∈ H_{n}(X/(X − U)) tali che per ogni x in un intorno V di x_{0} in U, l’immagine di σ per l’omomorfismo H_{n}(X/(X − U)) → H_{n}(X, x) sia propio σ_{x}. Ad esempio se X è triangolata da una n−pseudovarietà K, ogni orientazione di K induce una orientazione su X; in tal caso ogni altra triangolazione K′, che come abbiamo visto è necessariamente una n−pseudovarietà, possiede una orientazione che induce la stessa definita su X da K. Sia f : X → Y continua tra varietà di dimensione n e siano y ∈ Y ed x un punto isolato in F = f^{−1}(y). Scelto un intorno U di x che sia omeomorfo ad una palla aperta e tale che U ∩ F = {x} , la f è una applicazione della coppia (U, U − {x}) nella coppia (Y, Y − {y}) ed induce quindi un omomorfismo H_{n}(U, x) → H_{n}(Y, y); siccome questi sono entrambi identificati con ℤ dalle orientazioni esistenti su X ed Y, tale omomorfismo è rappresentato dalla moltiplicazione per un intero δ(f, x) che verrà detto grado lcale di f in x.

Teorema 16 Sia f : X → Y una applicazione continua tra varietà topologiche di dimensione n triangolabili connesse e con X compatta e sia y ∈ Y tale che F = F^{−1}(y) sia fatto solo di punti isolati. Allora F è finito ed il grado di f coincide con la somma dei gradi locali δ(f, x) per x ∈ F

Nota Il grado di f è definito per l’ipotesi di triangolabilità (il teorema sarebbe vero anche senza tale ipotesi ma per ora non possiamo dimostrarlo). Se Y è connessa ma non compatta, si verifica (come fatto per definire la classe fondamentale) che H_{n}(Y ℤ) = (0); in tal caso il grado di una f : X → Y è zero e l’enunciato asserisce che la somma dei gradi locali è nulla.

Dim. F è finito perché discreto e compatto. Confrontiamo le successioni esatte delle coppie (X, X − F) ed (Y, Y − {y}) collegate dagli omomorfismi associati alla f. Si ha:

... ⟶ H_{n}(X − F) ⟶ H_{n}(X) ⟶ H_{n}(XD/(X − F)) ⟶ ...
↓  ↓  ↓
... ⟶ H_{n}(Y − {y}) ⟶ H_{n}(Y) ⟶ H_{n}(Y/(Y − {y}) ⟶ ...

Se ad una varietà triangolata connessa si toglie un punto, allora lei si retrae con una deformazione (forte) sul complementare dell’intorno standard del punto e quindi ha H_{n} nullo. Così H_{n}(Y − {y}) = (0). Se F non è vuoto si avrà anche H_{n}(X − F) = (0) ; se invece F è vuoto, si vede facilmente che ha anche grado nullo (si consideri l’immagine del ciclo fondamentale) e l’enunciato del teorema è facilmente verificato. I termini H_{n}(X − F) e H_{n}(Y − {y}) sono quindi nulli. Se F è costituito dai punti x_{1}, ..., x_{r}, si scelgano loro intorni disgiunti U_{1}, ..., U_{r} omeomorfi a palle aperte; allora H_{n}(X/F) ≃ ⨁_{1}^{r} H_{n}(U_{i}, x_{i}) e la classe fondamentale di X va nella somma dei generatori positivi di tali fattori. L’enunciato segue allora esaminando il diagramma precedente.

Sistemi diretti e passaggi al limite Sia (I, K) uno scema simpliciale; l’insieme K è semiordinato dall’inclusione e può quindi essere considerato una categoria. Un insieme diretto è un insieme I su cui è stato fissato un semiordinamento ≺ (cioè una relazione riflessiva e transitiva) che sia filtrante a destra (ossia tale che ogni coppia di elementi abbia estremo superiore: per ogni i, j ∈ I esiste k ∈ I con i ≺ k e j ≺ k) e antinvolutoria (ossia se i ≺ j e ȷ ≺ i allora i = j). Un morfismo σ : I → J tra sistemi diretti è una applicazione che verifica le condizioni:

- per i_{1} ≺ 1_{2} in I si ha σ(i_{1}) ≺ σ(i_{2}) in J (è non decrescente)

- dato j ∈ J esiste i ∈ I tale che σ(i) ≺ j (è cofinale) Una I−successione in un insieme X è una applicazione ϕ : I → X; una J−successione ψ : J → X è una sottosuccessione di ϕ : I → X se esiste un morfismo σ : J → I per cui ψ = ϕ ∘ σ. Commenti. 1. Nella categoria degli spazi metrici la continuità di applicazioni o la chiusura di un sottoinsieme etc. possono essere caratterizzate in termini di successioni (ordinarie); ad esempio una f : X → Y è continua in un punto x ∈ X se e solo se trasforma ogni successione convergente ad x in una convergente ad f(x). Ciò non è più possibile tra spazi i cui punti non abbiano sistemi fondamentali di intorni numerabili; diviene però possibile utilizzando le successioni generalizzate ossia le I−successioni definite sopra.

2. un insieme diretto (I, ≺) può essere pensato come una categoria con I l’insieme degli oggetti ed in cui esiste un solo morfismo da i a j se i ≺ j e non ve ne è nessuno altrimenti. Un sistema diretto M di R−moduli su un insieme diretto (I, ≺), è il dato di un R−modulo M_{i} per ogni i ∈ I e di un omomorfismo M_{j}^{i} : M_{i} → M_{j} per ogni i ≺ j di modo che M_{i}^{i} sia l’identità su M_{i} per ogni i ∈ I e che se i ≺ j ≺ k si abbia M_{k}^{j} ∘ M_{j}^{i} = M_{k}^{i}; pensando (I, ≺) come una categoria ciò equivale a richiedere di avere un funtore covariante da (I, ≺) nella categoria degli R−moduli. Rigirando le frecce ossia supponendo che per i ≺ j si abbia M_{j}^{i} : M_{j} → M_{i} (ossia supponendo di avere un funtore contravariante) si ha la nozione di sistema inverso di R−moduli. Un morfismo ϕ di sistemi diretti M, N definiti rispettivamente su (I, ≺) e (J, ≺) è il dato di un morfismo σ : (I ≺) → (J, ≺) e per per ogni i ∈ I di un omomorfismo ϕ_{i} : M_{i} → N_{σ(i)} tale che per ogni i ≺ j si abbia N_{σ(j)}^{σ(i)} ∘ ϕ_{i} = ϕ_{j} ∘ M_{j}^{i}; se N è il sistema diretto in cui tutti gli N_{j} sono un dato R−modulo N ed ogni N_{j}^{i} è l’identità (diremo costante un tale sistema), diremo che ϕ è un morfismo di M in N e sarà detto un morfismo costante (alternativamente si possono definire come sistemi costanti quelli definiti su un insieme diretto costituito da un solo elemento) . Diremo che un morfismo costante ϕ : M → N è il limite diretto di M se ogni altro morfismo costante ψ : M → N′ si fattorizza attraverso uno ed un solo omomorfismo σ : N → N′

Teorema 17 Ogni sistema diretto di R−moduli ha un limite diretto e questo è univocamente determinato a meno di isomorfismi

Dim. L’unicità a meno di isomorfismi è ottenuta tautologicamente, come avviene per le eventuali soluzioni di ”problemi universali”. L’esistenza è facilmente dimostrata con la costruzione seguente: nella unione disgiunta di tutti gli M_{i} identifichiamo un x_{i} ∈ M_{i} con tutti gli M_{j}^{i}(x_{i}) per i ≺ j; sul quoziente si definisce la somma della classe di un x_{i} ∈ M_{i} con quella di un x_{j} ∈ M_{j} come la classe di M_{k}^{i}(x_{i}) + M_{k}^{j}(x_{j}) se i ≺ k e j ≺ k e si prosegue in modo ovvio. Osservazione. Dualmente si possono definire i limiti di sistemi inversi; non esiste però per essi un teorema di esistenza a meno di supporre soddisfatte opportune condizioni. Con semplici considerazioni si dimostrano i seguenti fatti:

- il limite di un sistema diretto coincide con quello di ogni sua sottosuccessione - il limite di un sistema diretto di diagrammi è un diagramma dello stesso tipo; ossia è costruito sullo stesso grafo orientato e tutte le condizioni di commutatività o esattezza di esso vengono conservate nel limite

- il limite di un sistema diretto di complessi è un complesso la cui omologia è il limite delle omologie dei suoi termini (ossia il funtore : ”omologia” è ”continuo” nel senso che commuta con i limiti diretti)

Coomologia di Cech. Sia X uno spazio topologico; abbiamo visto che ad ogni suo ricoprimento U = (U_{i})_{i∈I} di aperti non vuoti è associato uno schema simpliciale N(U), detto il nerbo di U; lo spazio |N(U)| può essere pensato come una ”approssimazione” di X. In ogni caso ogni partizione dell’unità (ϕ_{i})_{i∈I} subordinata ad U definisce una applicazione continua ϕ : X → |N(U)|; se (ψ_{i})_{i∈I} è un’altra tale partizione per U, allora ϕ e ψ sono omotope. Sia V = (V_{i})_{i∈I} un altro ricoprimento di aperti non vuoti di X più fine di U. Esistono quindi mappe ν : J → I dette mappe di raffinamento tali che sia V_{j} ⊂ U_{ν(j)} per ogni j ∈ J; ogni tale ν è un morfismo simpliciale di N(V) in N(U) e se ν′ : J → I è un’altra mappa di raffinamento, essa è contigua e quindi omotopa a ν. Ne segue che l’omomorfismo di H^{p}(N(U) in H^{p}(V) non dipende dalla scelta di ν ma solo da U e V. Quindi tali moduli di coomologia formano un sistema diretto sull’insieme diretto dei ricoprimenti di X fatti di aperti non vuoti: il limite di tale sistema è detto coomologia di Cech di X a coefficienti (nel ”fascio costante”) R. Se X è triangolabile, partendo da una sua triangolazione e formandone suddivisioni (baricentriche relative) si trovano ricoprimenti di aperti standard arbitrariamente fini. Su ognuno di essi la coomologia è quella di X ossia su tale sistema cofinale la successione diretta è costante. Ciò dimostra che per uno spazio triangolabile la coomologia di Cech coincide con quella singolare. Per spazi non triangolabili ciò può non essere vero: ad esempio la chiusura in ℝ^{2} del grafico della funzione sin(1/x) definita su ℝ − {0} ha tre componenti connesse per archi ma è connesso e quindi ha H^{0} diverso nelle due teorie.

Sistemi locali Sia (I, K) uno schema simpliciale; l’insieme K è semiordinato dall’inclusione e può quindi essere considerato una categoria. un funtore da K nella categoria degli R−moduli sarà detto un sistema di coefficienti locali su R se è controvariante ed un prefascio di R−moduli se è covariante. In particolare un tale funtore M (covariante o controvariante) sarà detto localmente costante di tipo M, ove M è un R−modulo, se M_{s} è isomorfo (per un isomorfismo non necessariamente canonico) ad M per ogni s ∈ K. Se K è connesso ed è fissato un suo punto base, l’assegnazione di un funtore cosiffatto equivale a quella di una rappresentazione di π_{1}(K, ∗) in M ossia di un suo omomorfismo nel gruppo Aut(M) degli automorfismi di M in se stesso; ad esempio se M è ℤ, equivale a dare un omomorfismo σ : π_{1}(K, ∗) → ℤ/2ℤ che in definitiva è come dare un elemento di H^{1}(K, ℤ/2ℤ).

Ricordiamo che uno schema ordinato è il dato di uno schema simpliciale (I, K) ogni cui simplesso sia dotato di un ordinamento (dei ”vertici”) che sia compatibile con le inclusioni (ossia se t ⊂ s l’ordinamento di t deve essere quello indotto dall’ordinamento di s); in tal caso per i, j ∈ I scriviamo i ≺ j se (i, j) è un 1−simplesso ordinato di K: se ≺ soddisfa la propietà transitiva diremo che lo schema ordinato (I, K) è completo. Ad esempio la suddivisione baricentrica di un qualsiasi schema simpliciale ha un ordinamento naturale ripetto al quale è completo.

Viceversa se I è un insieme semiordinato (antinvolutorio) si costruisce uno schema simpliciale completo K sui vertici I prendendo come simplessi i sottoinsiemi finiti di I sui quali ≺ è un ordinamento totale; ciò stabilisce una corrispondenza biunivoca tra schemi ordinati completi e insiemi semiordinati antinvolutori. In particolare se (I, K) è uno schema ordinato completo, I può essere pensato come una categoria. In tal caso un funtore da K nella categoria degli R−moduli, ad esempio un sistema di coefficienti locali o un prefascio, è determinato dalla sua restrizione allo 0−scheletro, ossia ad I.

Omologia con coefficienti locali. Siano (I, K) uno schema simpliciale ordinato ed R un sistema locale su esso. Diremo che abbiamo una p−catena c su K a coefficienti in R se per ogni p−simplesso s ∈ K è stato fissato un elemento c(s) ∈ R_{s} in modo che sia c(s) = 0 tranne che per un numero finito di s; l’insieme S_{p}(K, R) di tali p−catene ha una ovvia struttura di R−modulo; se R_{s} è libero per ogni s ∈ K, anche S(K, R) risulta libero sulle catene che sono nulle su tutti i simplessi salvo uno ove scelgono un generatore del modulo ivi definito; in ogni caso è somma diretta dei sottomoduli delle catene nulle fuori di un simplesso fissato. Definiamo un operatore di bordo d : S_{p}(K, R) → S_{p−1}(K, R) ponendo, se c è non nulla solo sul simplesso s = (i_{0}, ..., i_{p}) ∈ K:

dc = ∑_{0}^{p}(−1)^{h}R_{s_{h}}^{s}c(s)

ove per h = 0, ..., p si è posto s_{h} = (i_{0}, .., î_{h}, .., i_{p}). Se c è una catena qualsiasi ed s un (p − 1)−simplesso di K, si avrà che (dc)(s) è la somma per tutti i p−simplessi s′ di cui s è faccia delle ”restrizioni” da s′ ad s di c(s′) moltiplicato per (−1)^{h} ove h è la posizione in s′ del vertice in più. L’omologia di questo complesso viene detta omologia con coefficienti (locali) R e viene indicata con H^{p}(K, R). Coomologia a coefficienti in un prefascio Siano (I, K) uno schema ordinato ed F un prefascio di R−moduli su esso. Diremo che α è una p−cocatena su K a coefficienti in F se per ogni p−simplesso s di K è stato fissato un elemento α(s) in F_{s}. L’insieme S^{p}(K, F) di tali p−cocatene ha una struttura naturale di R−modulo, in generale non libero (specie se K non è finito). Definiamo un operatore di cobordo δ : S^{p}(K, F) → S^{p+1}(K, F) ponendo, se α è una p−catena ed s un (p + 1)−simplesso:

(δα)(s) = ∑_{0}^{p}(−1)^{h}F_{s}^{s_{h}}α(s_{h})

ove s_{h} è la faccia opposta all’h−esimo vertice di s e F_{s}^{s_{h}} : F_{s_{h}} → F_{s} è il morfismo definito da F. Si è così costruito un complesso di cocatene; esso definisce la coomologia di K a coefficienti nel prefascio F che verrà indicata con H^{p}(K, F). Osservazioni. 1. Se R o F è il funtore costante R, l’omologia e la coomologia sopra definite sono quelle simpliciali (non degeneri) studiate avanti.

2. Si poteva lavorare con schemi non ordinati ed ottenere gli analoghi delle catene e cocatene simpliciali ordinarie da confrontarsi poi con quelle definite sopra in modo simile a quanto fatto per l’omologia e coomologia a coefficienti in R

3. Si possono poi definire i prefasci ed i sistemi di coefficienti locali per spazi topologici e confrontarli poi con quelli ”simpliciali” nel caso di spazi triangolati.

4. .....

5. Citiamo un esempio interessante in cui si incontrano prefasci e sistemi locali: sia f : X → |K| una applicazione continua ove X è uno spazio topologico e K è uno schema simpliciale. Associando ad ogni simplesso s di K rispettivamente H^{p}(f^{−1}(|s|), R) o H_{p}(f^{−1}(|s|), R) si ottengono su K rispettivamente un prefascio ed un sistema di coefficienti locali.

Coomologia a supporti compatti

Sia X uno spazio topologico: diremo che C ⊂ X è un supporto per una ω ∈ S^{p}(X) se ω è nulla su ogni p−simplesso singolare ϕ : Δ_{p} → X − C . In tal caso, se ϕ : Δ_{p+1} → X − C è un (p + 1)−simplesso di X − C si ha (δω)(ϕ) = ω(dϕ) = 0 perché dϕ è una catena in X − C. Ne segue che i moduli S_{c}^{p}(X) = {ω ∈ S^{p}(X) : ω possiede un supporto compatto } formano un sottocomplesso di S^{∗}(X); i suoi moduli di omologia sono detti di coomologia a supporti compatti di X e saranno indicati con H_{c}^{p}(X).

Se f : X → Y è propria (ossia è continua e f^{−1}(C) è compatto in X per ogni compatto C di Y) sono definiti omomorfismi f^{∗} : H_{c}^{p}(Y) → H_{c}^{p}(X): quindi la coomologia a supporti compatti è un funtore contravariante sulla categoria delle applicazioni proprie tra spazi topologici.

Indichiamo con C(X) il sistema dei compatti di X diretto dall’inclusione. I moduli H^{p}(X/(X − C)) per C ∈ C(X) sono un sistema diretto ed è chiaro che il suo limite è H_{c}^{p}(X) (anche a livello di cocatene S_{c}^{p}(X) è il limite diretto degli S^{p}(X/(X − C))). Ciò permette di definire morfismi H_{c}^{p}(Ω) → H_{c}^{p}(X) se Ω è aperto in X: infatti per ogni compatto C ⊂ Ω si hanno isomorfismi (di excisione) H^{p}(X/(X − C)) ≃ H^{p}(Ω/(Ω − C)); quindi gli omomorfismi H^{p}(X/(X − C)) → H_{c}^{p}(X) sono interpretabili come omomorfismi H^{p}(Ω/(Ω − C)) → H_{c}^{p}(X) ed il passaggio al limite dà gli omomorfismi cercati. La coomologia a supporti compatti è quindi un funtore covariante sulla categoria degli aperti di uno spazio topologico Problemi (1) Gli omomorfismi H_{c}^{p}(Ω) → H_{c}^{p}(X) sono indotti da morfismi tra complessi di catene?

(2) H_{c}^{p} può essere pensato come un funtore sulla categoria delle applicazioni localmente invertibili (ossia gli ”omeomorfismi locali”)?

Se K è uno schema, la sua coomologia può essere calcolata simplicialmente. Infatti intanto essa può essere calcolata come limite delle H^{p}(|K|/(|K| − |L|)) per L sottoschema finito di K, perché gli L siffatti costituiscono una famiglia cofinale di compatti di K. Supponiamo ora che L sia completo (ossia contiene ogni simplesso di K che abbia tutti i suoi vertici in K); se ciò non è, passando alle suddivisioni baricentriche di K ed L tale condizione sarà soddisfatta. Sia allora L^{∗} lo schema complementare di L, ossia quello costituito dai simplessi di K che non toccano L. Se x ∈ |K| − |L| e non appartiene ad |L^{∗}| esso stà in un simplesso s unione disgiunta di due simplessi non vuoti s_{1} ∈ L^{∗} ed s_{2} ∈ L; tale x si scrive quindi in modo unico come λ_{1}x_{1} + (1 − λ)x_{2} con x_{1} ∈ s_{1} , x_{2} ∈ s_{2} e λ ∈]0, 1[. Definendo Φ_{t}(x) = (tλ)x_{1} + (1 − tλ)x_{2} per t ∈ [0, 1] e poi Φ_{t}(x) = x se x ∈ |L^{∗}| si ottiene |L^{∗}| come retratto forte di deformazione di |K| − |L|. Ne segue che H^{p}(|K|/(|K| − |L|)) ≃ H^{p}(|K|/|L^{∗}|) e questo è isomorfo ad H^{p}(K/L^{∗}) ; quindi H_{c}^{p}(|K|) è il limite degli H^{p}(K/L^{∗}) per L sottoschema finito di K. Si noti infine che se K è localmente finito, allora K − L^{∗} è finito; in tale ipotesi si ha così che la coomologia a supporti compatti di |K| coincide con la coomologia a supporti finiti introdotta a suo tempo.

Calcoliamo adesso H_{c}^{p}(|M| − |L| quando M è uno schema finito ed N un suo sottoschema (ad esempio se M è una pseudovarietà a bordo ed N è il suo bordo. Mostriamo anzitutto come si possa triangolare lo spazio |M| − |L|. Supponiamo che N sia completo in M e sia N_{1} il suo schema complementare. Passiamo ora alla suddivisione baricentrica relativa di M modulo N_{1} : essa è fatta introducendo come nuovi vertici i baricentri dei simplessi di M che non appartengono ad N_{1} (è stata utilizzata all’inizio di queste note per la dimostrazione del teorema di Brouwer) ed aggiungiamo ad N_{1} tutti i simplessi di questa che non toccano N ottenendo uno schema N_{2} che triangola un intorno di |N_{1}|. Procedendo così si costuisce una successione di schemi finiti N_{1} ⊂ N_{2} ⊂ ... la cui unione N_{∞} è uno schema localmente finito (non finito salvo il caso in cui N è una componente connessa di M) che triangola |M| − |N|. E’ chiaro che in tale triangolazione di M − N gli N_{h} costituiscono una famiglia cofinale di sottoschemi finiti e quindi H_{c}^{p}(|M| − |N| è il limite degli H^{p}(M − N/N_{h}); d’altra parte questi sono tutti isomorfi (excisione) ad H^{p}(M/N) . Si è così dimostrato:

Teorema 18 Se (X, Y) è una coppia compatta triangolabile si ha

H_{c}^{p}(X − Y) ≃ H^{P} (X/Y)

Nota. La procedura sopra utilizzata per triangolare |M| − |N| può essere lievemente modificata per ottenere una triangolazione di un qualsiasi aperto Ω di |M| anche nel caso che M non sia finito: si fissa una successione esaustiva di sottoschemi finiti M_{h} di M e si costruisce un sottoschema N_{1} di M_{1} prendendo i simplessi contenuti in Ω; nel passo successivo si suddivide M relativamente ad M_{1} e si prende per N_{2} il sottoschema di M_{2} (suddiviso) dei simplessi che sono contenuti in Ω ...

Alcune successioni esatte Sia U un ricoprimento aperto di X. Sappiamo che l’inclusione delle catene U−piccole _{U}S(X) in S(X) induce isomorfismi in omologia. Dalla successione esatta di omologia associata a:

(p) 0 →_{U}S(X) → S(X) → S(X)/_{U}S(X) → 0

si ottiene che il complesso S(X)/_{U}S(X) è aciclico; essendo anche libero (sui simplessi singolari che non appartengono ad alcun elemento di U) esso è anche omotopicamente banale e quindi anche il suo duale è aciclico. Inoltre anche la duale della (p) (che è tra moduli liberi) è esatta; la successione esatta lunga associata dice che la coomologia di X è isomorfa a quella del duale di _{U}S(X) ossia che essa è calcolabile con i funzionali definiti solo sui simplessi U−piccoli.

Siano M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ M inclusioni di R−moduli. Si ha una successione esatta:

(m) 0 → M_{2}/M_{1} → M/M_{1} → M/M_{2} → 0

Se tali inclusioni sono tra complessi di catene anche tale successione lo è e fornisce quindi una successione esatta lunga di omologia . Se A ⊂ B ⊂ X sono inclusioni di spazi topologici, da S(A) ⊂ S(B) ⊂ S(X) si ottiene la successione esatta lunga della terna (X, B, A) :

... → H_{p}(B/A) → H_{p}(X/A) → H_{p}(X/B) → H_{p−1}(B/A) → ...

Trattandosi di complessi liberi la dualizzata di (m) è esatta e dà :

... → H^{p}(X/B) → H^{p}(X/A) → H^{p}(B/A) → H^{p+1}(X/B) → ...

che è la successione esatta lunga di coomologia della terna.

Supponiamo ora che F ⊂ A ⊂ X con F chiuso ed A aperto (è sufficiente che la chiusura di F sia contenuta nella parte interna di A). Indichiamo con B il complementare di F e poniamo M = S(X) , M_{2} = S(A) + S(B) e M_{1} = S(A); si avrà S(A) ∩ S(B) = S(A ∩ B) = S(A − F). Sappiamo che M/M_{2} è aciclico e libero assieme al suo duale. Si ha così che H(M/M_{1}), ossia H(X/A), è isomorfo a H(M_{1}/M_{2}) ossia alla omologia di (S(A)+S(B))/S(A) ≃ S(A)/(S(A)∩S(B)) che è H(A/(A∩B)) = H(A/(A−F)); questo risultato è precisamente l’excisione in omologia. In coomologia si trova che H^{∗}(M/M_{1}) ≃ H^{∗}(M_{2}/M_{1}). Il membro a sinistra è H^{∗}(X/A) ; quello a destra è l’omologia del complesso duale di (S(A) + S(B))/S(A) ≃ S(B)/(S(A) ∩ S(B) ossia quella di S^{∗}((X − F)/(A − F) che è H^{∗}((X − F)/(A − F)) ; questo risultato è l’excisione in coomologia.

Altra applicazione: siano X_{1}, X_{2} aperti in uno spazio topologico X e poniamo M = S(X) , M_{2} = S(X_{1} ∪ X_{2}) e M_{1} = S(X_{1}) + S(X_{2}); la successione (m) è esatta e tra moduli liberi, quindi anche la duale è esatta. Dalla aciclicità di M_{2}/M_{1} e del suo duale si ottiene che l’omologia della coppia (X, X_{1} ∪ X_{2}) è l’omologia del complesso S(X)/(S(X_{1}) + S(X_{2})) e che la sua coomologia può essere calcolata con il duale di esso, ossia con i funzionali S(X) → R che sono nulli sui simplessi di X_{1} e su quelli di X_{2}.

Siano ora M_{1} ⊂ M , M_{2} ⊂ M inclusioni di R−moduli; si ha una successione esatta:

(t) 0 → M/(M_{1} ∩ M_{2}) → M/M_{1} ⊕ M/M_{2} → M/(M_{1} + M_{2}) → 0

Se le inclusioni sono tra complessi di catene anche tale successione lo è ed induce quindi una successione esatta lunga di omologia. Se ad esempio X_{1} , X_{2} sono sottoinsiemi di uno spazio topologico X, se ne deduce una successione esatta lunga di omologia. Se tali sottoinsiemi sono aperti, i termini che provengono dagli S_{p}(X)/(S_{p}(X_{1})+S_{p}(X_{2})) possono essere sostituiti, per quanto visto sopra, con gli H_{p}(X/X_{1} ∪ X_{2}) ottenendo la successione esatta di omologia della tripla:

... → H_{p}(X/(X_{1} ∩ X_{2})) → H_{p}(X/X_{1}) ⊕ H_{p}(X/X_{2})) →
→ H_{p}(X/(X_{1} ∪ X_{2})) → H_{p−1}(X/(X_{1} ∩ X_{2})) → ...

Dualizzando la (t), passando alla successione lunga e facendo sostituzioni analoghe si ottiene la successione esatta di coomologia della tripla:

... → H^{p}(X/(X_{1} ∩ X_{2}) → H^{p}(X/X_{1}) ⊕ H^{p}(X/X_{2}) →
→ H^{p}(X)/(X_{1} ∪ X_{2} → H^{p+1}(X/(X_{1} ∩ X_{2})) → ...

Se X è uno spazio topologico e C_{1} , C_{2} due suoi compatti, si consideri la successione di coomologia associata alla terna (X, X_{1}, X_{2}) ove X_{1} = X − C_{1} ed X_{2} = X − C_{2}; se U_{1} , U_{2} sono intorni aperti di C_{1} , C_{2}, si possono cambiare i termini di tale successione utilizzando i seguenti isomorfismi di excisione:

H^{p}(X/(X − C_{1} ∩ C_{2})) ≃ H^{p}(U_{1} ∩ U_{2}/(U_{1} ∩ U_{2} − C_{1} ∩ C_{2}))
H^{p}(X/X_{1}) ⊕ H^{p}(X/X_{2}) ≃ H^{p}(U_{1}/U_{1} − C_{1}) ⊕ H^{p}(U_{2}/U_{2} − C_{2}))
H^{p}(X/(X_{1} ∩ X_{2})) ≃ H^{p}(U_{1} ∪ U_{2}/(U_{1} ∪ U_{2} − C_{1} ∪ C_{2}))

e si ottiene una successione esatta:

... → H^{p}(U_{1} ∩U_{2}/(U_{1} ∩U_{2} −C_{1} ∩C_{2})) → H^{p}(U_{1}/U_{1} −C_{1})⊕H^{p}(U_{2}/U_{2} −C_{2}) →

→ H^{p}(U_{1} ∪ U_{2}/(U_{1} ∪ U_{2} − C_{1} ∪ C_{2})) → H^{p+1}(U_{1} ∩ U_{2}/(U_{1} ∩ U_{2} − C_{1} ∩ C_{2})) → ...

passando al limite per C_{1} compatto in U_{1} e C_{2} compatto in U_{2} ed osservando che C_{1} ∩C_{2} e C_{1} ∪C_{2} danno ogni possibile compatto di U_{1} ∩U_{2} e di U_{1} ∪U_{2} se ne deduce la successione di Mayer-Vietoris per la coomologia a supporto compatto:

... → H_{c}^{p}(U_{1} ∩ U_{2}) → H_{c}^{p}(U_{1}) ⊕ H_{c}^{p}(U_{2}) → H_{c}^{p}(U_{1} ∪ U_{2}) → H^{p+1}(U_{1} ∩ U_{2}) → ...

Teoremi di dualità

Convenzione. L’omologia (e coomologia) studiata sino ad ora è quella che usualmente viene detta ridotta o augmentata. Infatti normalmente non si introduce il simplesso ∅ e nel complesso delle catene (e cocatene) non compare la componente di grado −1 ; ciò nelle nostre notazioni corrisponde a considerare il complesso delle catene (e cocatene) relativo S(X/∅) . Nella teoria svolta sino ad ora si sono ottenute dimostrazioni più ”brevi” giovandosi del fatto che allora il complesso di uno spazio contrattile è ”aciclico” . Nel trattare i prodotti ed i teoremi di dualità, i vantaggi sono maggiori per il linguaggio classico; tra l’altro anche la definizione data di cup product per le cocatene simpliciali, era valida solo tra cocatene di grado non negativo e continuando con il nostro linguaggio l’anello di coomologia di uno spazio non possiederebbe l’identità moltiplicativa. D’ora in poi quindi torneremo al linguaggio classico, definendo come moduli di omologia (e coomologia) quelli sino ad ora chiamati di omologia (e coomologia) relativa modulo il sottoinsieme vuoto. La traduzione dei risultati ottenuti sinora nel nuovo linguaggio si farà con le seguenti formule, ottenute dalle successioni esatte lunghe della coppia (X, ∅) che danno per ogni X : H_{−1}(X/∅) ≃ (0) H^{i}(X/∅) ≃ H^{i}(X) H_{i}(X/∅) ≃ H_{i}(X) per i ≥ 0 e successioni esatte canoniche: 0 → H_{0}(X) → H_{0}(X/∅) → R → 0 e 0 → R → H^{0}(X/∅) → H^{0}(X) → 0. L’omologia e coomologia studiate sino ad ora saranno chiamate ridotte o augmentate. Le due teorie danno comunque gli stessi moduli relativi.

Prodotti Ricordiamo che nella teoria simpliciale, per α ∈ S^{p} , β ∈ S^{q} ed s = (i_{0}, ..., i_{p+q}) abbiamo posto:

(α ∪ β)(i_{0}, ..., i_{p+q}) = α(i_{0}, ..., i_{p}) · β(i_{p}, ..., i_{p+q})
(i_{0}, ..., i_{p+q}) ∩ α = α(i_{0}, ..., i_{p}) · (i_{p}, ..., i_{p+q})

che definiscono applicazioni bilineari ∪ : S^{p} × S^{q} → S^{p+q} dette cup-product ed altre ∩ : S_{p+q} × S^{p} → S_{q} dette cap-product. Si noti che ∩ è stato definito in modo tale che sia:

∫_{x∩α} β = ∫_{x} α ∪ β

Si ha inoltre che:

δ(α ∪ β) = δ(α) ∪ β + (−1)^{p}α ∪ δ(β)

che permette di definire i prodotti a livello di omologia:

∪ : H^{p} × H^{q} → H^{p+q} ∩ : H_{p+q} × H^{p} → H_{q}

Infatti se ad esempio x è un (p + q)−ciclo e α un p−cociclo , per mostrare che d(x ∩ α) = 0 basterà verificare che su esso si annulla ogni (p − 1)−cocatena β; applicando due volte la formula di Stokes si ha:

∫_{d(x∩α)} β = ∫_{x∩α} δβ = ∫_{x} α ∪ δβ = (−1)^{p} ∫_{x} δ(α ∪ β) = (−1)^{p} ∫_{dx} α ∪ δβ che è nullo essendo dx = 0. Analogamente si mostra che la classe di x ∩ α dipende solo da quelle di x e di α. Siccome le definizioni dei prodotti cup e cap sono fatte con costruzioni simpliciali, esse si estendono in omologia singolare ed hanno le stesse proprietà. Esse sono bilineari e associative) e lo 0−cociclo 1 (quello che vale 1 su ogni 0−simplesso) è l’identità moltiplicativa. Quindi H^{∗}(X) è un anello graduato e H(X) un modulo graduato su esso.

Se f : X → Y è una applicazione continua tra due spazi topologici, allora f^{∗} : H^{∗}(Y) → H^{∗}(X) è un omomorfismo di anelli. Inoltre se x ∈ H_{p+q}(X) e β ∈ H_{q}(Y) si ha:

f_{∗}(x ∩ f^{∗}(β)) = f_{∗}(x) ∩ β

Si definiscono prodotti anche per i moduli relativi; così H^{∗}(X/A) diviene pure un anello graduato e H(X/A) un modulo graduato su esso. Questi prodotti sono anzi ”restrizioni” (per gli omomorfismi H(X) → H(X/A)) di prodotti cap:

H_{p+q}(X/A) × H^{p}(X/A) → H_{p}(X) H_{p+q}(X/A) × H^{p}(X) → H_{q}(X/A)

di cui il primo è ben definito perché gli elementi di H^{p}(X/A) sono nulli sui simplessi di A e quindi le ambiguità delle componenti in A di un elemento di H_{p+q}(X/A) spariscono; il secondo invece conserva invece tali ambiguità. Si hanno infine, per restrizione, prodotti cup indotti in coomologia relativa:

∪ : H^{p}(X/A) × H^{q}(X) → H^{p+q}(X/A)

Nei prodotti cup non esistono relazioni semplici tra α ∪ β e β ∪ α. Queste esistono comunque a livello di coomologia. Infatti si può dimostrare che α∪β = (−1)^{pq}β ∪ α ; la dimostrazione di questo fatto è un pò laboriosa e non verrà esposta. Dimostreremo invece un risultato più facile che è quello che di solito occorre:

Teorema 19 Se α ∈ H^{p} e β ∈ H^{q} ed x ∈ H_{p+q} si ha :

∫_{x} α ∪ β = (−1)^{pq} ∫_{x} β ∪ α

Dim. Sia c ∈ S^{p+q} e sia c_{σ} ottenuta da c riparametrizzando ogni simplesso ϕ : Δ_{p+q} con la trasformazione affine di Δ_{p+q} in se stesso associata alla permutazione σ che inverte l’ordine dei vertici di Δ_{p+q}. Se c è un ciclo anche c_{σ} lo è e la sua classe x in H_{p+q} è (−1)^{p+q} quella di c_{σ}; ciò si può dedurre dal fatto che l’omologia di uno schema coincide con quella non degenere oppure si può verificare direttamente trasformando una rappresentazione ϕ : |P | → X di c con dei prismi che permettano di permutare i vertici dei simplessi, in modo analogo a quello seguito nella dimostrazione del teorema di Hopf. Quindi se α, β sono cocicli, anche α ∪ β lo è e si ha:

∫_{c} α ∪ β = (−1)^{pq} ∫_{c_{σ}} α ∪ β = (−1)^{pq} ∫_{x} β ∪ α

Dualità di Poincarè. Sia X una varietà triangolabile orientata di dimensione n. Per ogni compatto C ⊂ X esiste una classe θ ∈ H_{n}(X/X−C) la cui immagine in H_{n}(X/X − {x}) è l’orientazione in x che per ogni x ∈ C: basta prendere la catena somma di tutti gli n−simplessi orientati di X che intersecano C. Il cap product con θ definisce omomorfismi H^{p}(X/X − C) → H_{n−p}(X); essi sono compatibili con gli omomorfismi associati alle inclusioni C ⊂ C′ di compatti in X (ossia danno diagrammi commutativi) e quindi passando al limite si ottiene un omomorfismo θ∩ : H_{c}^{p}(X) → H_{n−p}(X) che è chiamato omomorfismo di Poincaré; si può dimostrare (per induzione controllando la commutatività delle successioni di Mayer-Vietoris relative a buoni ricoprimenti standard di X ... : è un pò di lavoro) che essi sono isomorfismi e tale risultato è detto Teorema di dualità di Poincaré. Se X non è orientabile, il risultato rimane vero se nell’anello dei coefficienti si ha 1 + 1 = 0 (ossia ”è” di caratteristica due).

Relazione con la coomologia delle forme. Sia X una varietà differenziabile. Per p ∈ ℕ viene definito lo spazio A^{p}(X) delle forme differenziali di grado p ed una differenzazione esterna d : A^{p} → A^{p+1} il cui nucleo Z^{p}(X) è costituito dalle p−forme chiuse e la cui immagine B^{p+1}(X) dalle (p+1)−esatte o integrabili. Essendo d∘d = 0 si ha B^{p} ⊂ Z^{p} ed il quoziente Z^{p}/B^{p} viene detto p−hesimo spazio di coomologia delle forme od anche di de Rham ed indicato con H_{dR}^{p}(X). Il sottospazio A_{c}^{p}(X) ⊂ A^{p}(X) delle forme che svaniscono fuori di qualche compatto sono stabili per la differenzazione esterna e definiscono la coomologia a supporto compatto (delle forme o di de Rham) indicata con H_{c;dR}^{p}(X). Il prodotto esterno dà applicazioni bilineari A^{p}(X) × A^{q}(X) → A^{p+q}(X) che inducono prodotti H^{p} × H^{q} → H^{p+q} e H_{c}^{p} × H^{q} → H_{c}^{p+q}. Se X è orientata di dimensione n, l’integrazione su X definisce un funzionale ∫_{X} : H_{c}^{n}(X) → ℝ. Enunciamo alcuni teoremi dandone solo brevi indicazioni della dimostrazione

Teorema 20 (Teorema di de Rham)

Se X è una varietà differenziabile si hanno isomorfismi (canonici):

H_{dR}^{p}(X) ≃ H^{p}(X, ℝ) H_{c; dR}^{p}(X) ≃ H_{c}^{p}(X, ℝ)

Teorema 21 (Dualità di Poincaré differenziabile)

Sia X una varietà differenziabile orientata. La forma bilineare

H_{c; dR}^{p}(X) × H^{n−p}(X) → ℝ

ottenuta componendo il prodotto esterno tra forme con l’integrazione su X identifica H_{c; dR}^{p}(X) con il duale di H^{n−p}(X)

Indicazioni della dimostrazione. 1. Si vede facilmente che per A, B aperti in X si hanno successioni esatte che danno le successioni di Mayer-Vietoris per la coomologia delle forme e per quella a supporto compatto.

2. si dimostra che ogni varietà differenziabile possiede ricoprimenti semplici (ossia tali che l’intersezione di un numero finito dei suoi elementi è vuota o diffeomorfa ad ℝ^{n}).

3. Si dimostrano i due teoremi per X = ℝ^{n} (lemmi locali di Poincaré).

4. I teoremi sono ora veri se X ha un ricoprimento semplice finito; in particolare se è compatta. Il caso generale si ottiene con opportuni passaggi al limite.

5. Si dimostra anche che gli isomorfismi di de Rham trasformano (a livello di coomologia) il prodotto esterno nel cup product.