PROGRAMMA DEL CORSO: "Geometria analitica e algebra lineare"

Spazi vettoriali, sottospazi, operazioni con i sottospazi. Spazi vettoriali di matrici. Indipendenza lineare, spazi finitamente generati, basi, dimensione, formula di Grassmann.

Applicazioni lineari, nucleo e immagine, isomorfismi. Passaggio alle coordinate, matrici associate alle applicazioni lineari, cambiamenti di base. Rango di un'applicazione lineare e di una matrice, composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici.

Sistemi lineari, algoritmo di Gauss, teorema di Rouche'-Capelli. Lo spazio vettoriale Hom(V,W), duale di uno spazio vettoriale, annullatore di un sottospazio.

Spazi affini, sottospazi, sistemi di riferimento affini, equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine, affinita'.

Teoria del determinante e applicazioni: caratterizzazione assiomatica del determinante, formule esplicite, formula di Binet, formula di Cramer, formula dell'inversa di una matrice invertibile, determinante della trasposta. Determinazione del rango di una matrice per mezzo del determinante.

Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Endomorfismi coniugati e matrici simili. Autovalori e autospazi. Sottospazi invarianti. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili e di quelli triangolabili. Teorema di Hamilton-Cayley. Ideale di un endomorfismo. Polinomio minimo di un endomorfismo. Decomposizione in somma diretta di sottospazi invarianti associata ad una decomposizione di un polinomio nell'ideale in fattori coprimi. Forma canonica di Jordan.

Forme bilineari e forme quadratiche. Forme isometriche e matrici congruenti. Rango di una forma, forme non degeneri. Ortogonalita', esistenza di basi ortogonali. Procedimenti di ortogonalizzazione. Classificazione delle forme bilineari simmetriche sul campo reale e complesso. Teorema spettrale. Prodotti Hermitiani. Classificazione affine e metrica delle coniche e delle quadriche reali e complesse.

Spazio vettoriale libero su di un insieme. Prodotto tensoriale fra spazi vettoriali. Algebra tensoriale su di uno spazio vettoriale. Forme multilineari. Potenza esterna di uno spazio vettoriale e forme multilineari alternanti. Dimensione della potenza esterna di uno spazio vettoriale di dimensione finita.

Docenti: Rita Pardini, Michele Grassi

Anno Accademico: 2006-2007 Laurea: Matematica, Anno di Corso: I, Semestre: I e II Numero crediti: 14

Testi di riferimento: M. Abate, "Geometria", McGraw-Hill; E. Sernesi, "Geometria 1", Bollati Boringhieri

Obiettivi formativi: Apprendimento dei concetti dell'algebra lineare e della geometria affine e euclidea e sviluppo della capacita' di calcolo in tali ambiti.

Metodi didattici: Il corso consta di 60 ore di lezione e di 60 ore di esercitazione.

Modalita' di verifica dell'apprendimento: L'esame consta di una prova scritta e una prova orale. Durante l'anno si svolgeranno tre prove intermedie che daranno la possibilita' di esonero dalla prova scritta.