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ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD - Corso della laurea specialistica magistrale - I semestre 2012/2013.
NEWS: A
partire da fine Febbrario 2013 sono in congedo per motivi di ricerca
fino al 31 Gennaio 2014. In questo periodo sara' presidente della
Commissione di Esame per il corso "Ultrafiltri e Metodi Nonstandard" il
Prof. Alessandro Berarducci.
Una sessione straordinaria di esami e' stata fissata dal Prof. Berarducci per il giorno Lunedi 8 Aprile,
dalle ore 9,30 alle ore 13. Se necessario, la sessione proseguira'
il giorno successivo Martedi 9 Aprile a partire dalle ore 11 alle ore
13. Chi intendesse partecipare agli esami e' pregato di inviare una email al Prof. Berarducci ed a me per conoscenza.
Scopo
del corso č quello di presentare alcuni fondamentali risultati della
teoria combinatoria dei numeri e di Ramsey, con particolare attenzione all'uso di due strumenti originati dalla logica matematica, e cioč gli ultrafiltri e l'analisi nonstandard.
Il programma svolto puo' essere consultato sul registro delle lezioni presso il sito UNIMAP; questo e' il link.
Alcuni
miei appunti sulla prima parte del corso sono scaricabili qua sotto. Gli studenti sono pregati di
segnalarmi eventuali imprecisioni, errori, omissioni. Dispensa 1, Dispensa 2, Dispensa 3, Dispensa 4.
Appunti del corso presi a lezione sono disponibili qua: Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4. Un'altra versione degli appunti disponibile in rete e' scaricabile qua. Esercizi risolti da studenti sono scaricabili qui.
ESAMI:
L'esame consistera' in un seminario di circa 40 minuti seguito da un colloquio. Gli
argomenti per il seminario sono scelti dallo studente all'interno
degli argomenti specificati e discussi nell'ultima lezione del
corso. Ecco una lista riassuntiva: Lemma
di regolarita' di Szemeredi; Teorema di Roth sulla regolarita' per
partizioni di equazioni diofantee; Dimostrazione elementare del Teorema
di van der Waerden; Teorema di Hales-Jewett; Teorema di Knonecker e
generalizzazioni con l'uso di limiti lungo ultrafiltri; Esistono
ultrafiltri di Hindman che non sono idempotenti + K(betaN) non e'
chiuso; Insiemi centrali e loro proprieta'; Tutti i gruppi abeliani
sono amenabili; Esistenza
di ultrafiltri non RK-comparabili, L'iipotesi del continuo implica
l'esistenza di P-points non selettivi. Altri possibili seminari si
possono ricavare dai seguenti articoli: Beiglboeck "Arithmetic
progressions in abudandance..."; Beiglboeck "Ultrafilter proof of Jin's
theorem"; Bergelson
"Ergodic theory and diophantine problems"; Bergelson "Sets of
recurrence of Z^m-actions ..."; Bergelson "Minimal idempotents and
ergodic Ramsey theory"; Bergelson-Rusza "Sumsets in difference
sets"; Bergelson-Hindman "Non-metrizable ..."; Bergelson-Hindman
"Partition regular structures"; Bergelson-Hindman-McCutcheon "Notions
of size ..."; Blass "Ultrafilters" where
dynamics=algebra=combinatorics"; Blumlinger "Levy group action and
invariant measures on betaN"; Furstenberg "Poincare recurrence and
number theory"; Hindman "Monochromatic sums equal to products in N";
Jin "Nonstandard methods for additive and combinatorial number
theory a survey"; Jin "Nonstandard methods for upper Banach density
problems"; Jin "Ultrapower of N and density problems", Resta inteso che lo studente puo' anche
scegliere come tema del seminario un qualunque altro argomento, purche' attinente
al programma svolto, e previa mia autorizzazione. Si richiede di
preparare un resoconto scritto, possibilmente in formato pdf, dove siano presentati gli argomenti
oggetto del seminario e siano specificate le fonti bibliografiche. Il colloquio che
seguira' il seminario sara' incentrato sulle nozioni e i risultati
fondamentali presentati nel corso. Ecco
un elenco dei teoremi che considero fondamentali: Teorema di Ramsey,
Principio di compattezza, Teorema dei 3 colori, Proprieta' universale
dello spazio betaN, Esistenza di ultrafiltri idempotenti e Teorema di
Hindman, L'ideale bilatero minimo K degli ultrafiltri minimali e il
Teorema di van der Waerden, Analisi nonstandard: varie
caratterizzazioni nonstandard, Teorema di Jin, Sistemi dinamici
discreti e Teorema di Birkhoff. Resta inteso che la profondita'
dell'orale dipendera' da quanto gia' dimostrato dallo studente con la
risoluzione di esercizi durante il corso, e dalla presentazione del
seminario. In particolare, in assenza o scarsita' di esercizi risolti,
in sede di orale verra' chiesta la soluzione di alcuni degli esercizi
gia' proposti durante il corso. Come riferimento puo' essere utile consultare gli appunti e il registro delle lezioni indicati sopra.
Le date fissate per i seminari ed esami sono le seguenti: Martedi
8 Gennaio, Lunedi 14 Gennaio, Martedi 15 Gennaio, Mercoledi 13 Febbraio,
Lunedi 18 Febbraio, Venerdi 22 Febbraio, Sabato 23 Febbraio.
Una
volta scelto l'argomento del seminario, e la data in cui sostenere
l'esame, siete pregati di comunicarmelo per email per avere conferma.
Buone vacanze!
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TESTI e ARTICOLI di RIFERIMENTO:
R. McCutcheon – Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory, LNM 1722,
Springer, 1999
I. Protasov – Combinatorics of Numbers, VNTL Publishers, 1997
V.
Bergelson – Ergodic Ramsey Theory - an update, in “Ergodic Theory of
Zd-actions" (M. Pollicott and K. Schmidt eds.), London Math. Soc.
Lecture Note 228, 1996, pp. 1-61
N.B.
Molti articoli interessanti di Bergelson e Hindman sono scaricabili dalle loro rispettive homepages: http://www.math.ohio-state.edu/~vitaly http://mysite.verizon.net/nhindman/
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