Mauro Di Nasso
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Bacheca di ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD


ULTRAFILTRI E METODI NONSTANDARD - Corso della laurea specialistica magistrale - I semestre 2012/2013.

NEWS:
A partire da fine Febbrario 2013 sono in congedo per motivi di ricerca fino al 31 Gennaio 2014. In questo periodo sara' presidente della Commissione di Esame per il corso "Ultrafiltri e Metodi Nonstandard" il Prof. Alessandro Berarducci.

Una sessione straordinaria di esami e' stata fissata dal Prof. Berarducci per il giorno Lunedi 8 Aprile, dalle ore 9,30 alle ore 13. Se necessario, la sessione proseguira' il giorno successivo Martedi 9 Aprile a partire dalle ore 11 alle ore 13.
Chi intendesse partecipare agli esami e' pregato di inviare una email al Prof. Berarducci ed a me per conoscenza.



Scopo del corso č quello di presentare alcuni fondamentali risultati della teoria combinatoria dei numeri e di Ramsey, con particolare
attenzione all'uso di due strumenti originati dalla logica matematica, e cioč gli ultrafiltri e l'analisi nonstandard.

Il programma svolto puo' essere consultato sul registro delle lezioni presso il sito UNIMAP; questo e' il link.

Alcuni miei appunti sulla prima parte del corso sono scaricabili qua sotto. Gli studenti sono pregati di segnalarmi eventuali imprecisioni, errori, omissioni.
Dispensa 1, Dispensa 2, Dispensa 3, Dispensa 4.

Appunti del corso presi a lezione sono disponibili qua: Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4.
Un'altra versione degli appunti disponibile in rete e' scaricabile qua.
Esercizi risolti da studenti sono scaricabili qui.


ESAMI:

L'esame consistera' in un seminario di circa 40 minuti seguito da un colloquio.
Gli argomenti per il seminario sono scelti dallo studente all'interno degli argomenti specificati e discussi nell'ultima lezione del corso. Ecco una lista riassuntiva:
Lemma di regolarita' di Szemeredi; Teorema di Roth sulla regolarita' per partizioni di equazioni diofantee; Dimostrazione elementare del Teorema di van der Waerden; Teorema di Hales-Jewett; Teorema di Knonecker e generalizzazioni con l'uso di limiti lungo ultrafiltri; Esistono ultrafiltri di Hindman che non sono idempotenti + K(betaN) non e' chiuso; Insiemi centrali e loro proprieta'; Tutti i gruppi abeliani sono amenabili;
Esistenza di ultrafiltri non RK-comparabili, L'iipotesi del continuo implica l'esistenza di P-points non selettivi. Altri possibili seminari si possono ricavare dai seguenti articoli: Beiglboeck "Arithmetic progressions in abudandance..."; Beiglboeck "Ultrafilter proof of Jin's theorem"; Bergelson "Ergodic theory and diophantine problems"; Bergelson "Sets of recurrence of Z^m-actions ..."; Bergelson "Minimal idempotents and ergodic Ramsey theory"; Bergelson-Rusza "Sumsets in difference sets"; Bergelson-Hindman "Non-metrizable ..."; Bergelson-Hindman "Partition regular structures"; Bergelson-Hindman-McCutcheon "Notions of size ..."; Blass "Ultrafilters" where dynamics=algebra=combinatorics"; Blumlinger "Levy group action and invariant measures on betaN"; Furstenberg "Poincare recurrence and number theory"; Hindman "Monochromatic sums equal to products in N";  Jin "Nonstandard methods for additive and combinatorial number theory a survey"; Jin "Nonstandard methods for upper Banach density problems"; Jin "Ultrapower of N and density problems",
Resta inteso che lo studente puo' anche scegliere come tema del seminario un qualunque altro argomento, purche' attinente al programma svolto, e previa mia autorizzazione.
Si richiede di preparare un resoconto scritto,
possibilmente in formato pdf, dove siano presentati gli argomenti oggetto del seminario e siano specificate le fonti bibliografiche. Il colloquio che seguira' il seminario sara' incentrato sulle nozioni e i risultati fondamentali presentati nel corso.
Ecco un elenco dei teoremi che considero fondamentali: Teorema di Ramsey, Principio di compattezza, Teorema dei 3 colori, Proprieta' universale dello spazio betaN, Esistenza di ultrafiltri idempotenti e Teorema di Hindman, L'ideale bilatero minimo K degli ultrafiltri minimali e il Teorema di van der Waerden, Analisi nonstandard: varie caratterizzazioni nonstandard, Teorema di Jin, Sistemi dinamici discreti e Teorema di Birkhoff. Resta inteso che la profondita' dell'orale dipendera' da quanto gia' dimostrato dallo studente con la risoluzione di esercizi durante il corso, e dalla presentazione del seminario. In particolare, in assenza o scarsita' di esercizi risolti, in sede di orale verra' chiesta la soluzione di alcuni degli esercizi gia' proposti durante il corso.
Come riferimento puo' essere utile consultare gli appunti e il registro delle lezioni indicati sopra.

Le date fissate per i seminari ed esami sono le seguenti:
Martedi 8 Gennaio, Lunedi 14 Gennaio, Martedi 15 Gennaio, Mercoledi 13 Febbraio, Lunedi 18 Febbraio, Venerdi 22 Febbraio, Sabato 23 Febbraio.

Una volta scelto l'argomento del seminario, e la data in cui sostenere l'esame, siete pregati di comunicarmelo per email per avere conferma.

Buone vacanze!





TESTI e ARTICOLI di  RIFERIMENTO:
R. McCutcheon – Elemental Methods in Ergodic Ramsey Theory, LNM 1722, Springer, 1999
I. Protasov – Combinatorics of Numbers, VNTL Publishers, 1997
V. Bergelson – Ergodic Ramsey Theory - an update, in “Ergodic Theory of Zd-actions" (M. Pollicott and K. Schmidt eds.), London Math. Soc. Lecture Note 228, 1996, pp. 1-61

N.B. Molti articoli interessanti di Bergelson e Hindman sono scaricabili dalle loro rispettive homepages:

http://www.math.ohio-state.edu/~vitaly 

http://mysite.verizon.net/nhindman/



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