Proprietà dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e principio di induzione. Elementi di calcolo combinatorio. Definizione di gruppo, anello e campo. Numeri complessi e teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Numeri interi e polinomi a coefficienti in un campo: teorema di divisione, divisibilità e massimo comun divisore, algoritmo di Euclide, identità di Bé zout, teorema di fattorizzazione unica. Teorema di Ruffini. Congruenze tra numeri interi e tra polinomi. Equazioni e sistemi di congruenze: teorema cinese del resto, interpolazione di Lagrange. Classi resto. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero.

Anelli (commutativi con unità): elementi invertibili e divisori di zero, domini di integrità. Caratteristica di un dominio di integrità. Anello delle frazioni e campo quoziente di un dominio d'integrità. Ideali. Operazioni con gli ideali. Omomorfismi tra anelli, anello quoziente e teorema di omomorfismo. Prodotto diretto di anelli. Teorema cinese del resto per gli anelli. Anelli euclidei, anelli a ideali principali e anelli a fattorizzazione unica.

Moduli: moduli su un campo, sull'anello degli interi, sull'anello dei polinomi in una variabile. Sottomoduli, quozienti e omomorfismi, somma diretta. Generatori di un modulo,moduli ciclici. Teorema di struttura per i moduli finitamente generati su un anello a ideali principali (dimostrazione solo nel caso euclideo).

Gruppi e sottogruppi. Gruppi abeliani, gruppi di permutazioni e gruppi diedrali. Ordine di un elemento in un gruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Gruppi ciclici. Classi laterali e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Omomorfismi e isomorfismi. Teorema di omomorfismo per gruppi. Azione di un gruppo su un insieme. Automorfismi interni. Classi di coniugio. Formula delle classi. Prodotti diretti di gruppi.

Derivata di un polinomio e fattori multipli. Lemma di Gauss e fattorizzazione unica dei polinomi a coefficienti in un anello a fattorizzazione unica. Metodi di fattorizzazione. Estensioni di campi, numeri algebrici e numeri trascendenti. Estensioni algebriche ed estensioni finite. Estensioni semplici. Campo di spezzamento di un polinomio ed estensioni normali. Teorema dell'elemento primitivo. Campi finiti. Gruppo di Galois. Corrispondenza di Galois. Calcolo del gruppo di Galois di polinomi di grado basso.

TESTI DI RIFERIMENTO

Elementi di teoria degli insiemi.

• Operazioni e notazioni. Principio di induzione. Prodotto cartesiano di insiemi. Applicazioni. Composizione di due applicazioni. Applicazione inversa.

Proprietà dell'insieme R dei numeri reali.

• R è un corpo commutativo (campo). R è un corpo ordinato. Valore assoluto; intervalli di R. R è un corpo archimedeo e un continuo. Sottoinsiemi limitati di R; estremo superiore ed estremo inferiore. Retta reale estesa.

Numeri complessi.

• Definizioni e proprietà. C non è un continuo ordinario. Forma polare dei numeri complessi. Porenze intere e radici di un numero complesso. Considerazioni conclusive.

Funzioni reali di variabile reale. Limiti.

• Preliminari. Struttura vettoriale e di algebra dell'insieme delle applicazioni di un insieme A nei reali. Struttura reticolare di questo insieme. Successioni di numeri reali. Limite di una successione di numeri reali. Limite di successioni monotone. Algebra delle successioni reali convergenti. Successioni reali divergenti. Massimo e minimo limite di successioni reali. Spazi metrici e spazi topologici. Struttura metrica e topologia di R e della retta reale estesa. Limite di un'applicazione; completezza, compattezza. Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Alcuni teoremi sui limiti di funzioni reali. Limiti per x tendente a pi o meno infinito. Funzioni reali divergenti in un punto della retta reale estesa. Limiti di funzioni monotone. Massimo e minimo limite di funzioni reali. Confronto tra due infinitesimi. Confronto tra due infiniti.

Funzioni continue e semicontinue.

• Definizioni e prime proprietà. Teoremi sulle funzioni reali continue e semicontinue. Funzioni continue con inversa continua. Funzioni uniformemente continue. Funzioni esponenziali e funzioni logaritmiche.

Calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale.

• Definizione di derivata. Alcuni teoremi sulle funzioni derivabili. Differenziabilità e derivabilità di una funzione composta. Una tabella di derivate. Retta tangente a un grafico. Derivate di ordine superiore. Funzioni crescenti e decrescenti in un punto; massimi e minimi relativi. Proprietà delle funzioni derivabili in un intervallo. Teoremi di Hospital. Formula di Taylor. Ricerca dei massimi e minimi di una funzione. Funzioni convesse. Funzioni convesse in un punto. Punti di flesso.

Calcolo integrale per le funzioni reali di una variabile.

• Funzioni semplici. Integrali di funzioni semplici. Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi di funzioni integrabili. Integrale di funzioni definite su un intervallo. Osservazioni relative all'integrale di una funzione continua. Funzione integrale. Primitive. Integrale indefinito. Alcune regole di integrazione. Forma integrale del resto nella formula di Taylor. Funzioni integrabili in senso generalizzato. Propriet dell'integrale in senso generalizzato.

Serie numeriche.

• Preliminari. Alcune proprietà sulle serie numeriche. Serie a termini di segno costante. Criteri di convergenza e divergenza. Per serie a termini non negativi. Serie assolutamente convergenti.

INTRODUZIONE

Definizione operativa delle grandezze fisiche. Misure ed errori di misure. Unità di misura. Dimensioni delle grandezze fisiche: principio di omogeneità dimensionale. Grandezze scalari e vettoriali.

ELEMENTI DI PROGRAMMAZIONE IN FORTRAN DEI CALCOLATORI ELETTRONICI

Struttura dei calcolatori. La numerazione binaria. Variabili costanti e istruzioni aritmetiche. Come si scrive un programma in fortran: istruzioni di controllo, schema a blocchi di un programma. Variabili, costanti e dimensioni. Istruzioni di entrata e uscita. Sottoprogrammi. Esempi di programmi utili in Fisica Generale.

CINEMATICA

Misure di spazi e tempi. Misure di velocità medie. Diagrammi orari. Equazioni delle traiettorie. Velocità scalare e accelerazione scalare. Il vettore spostamento. Velocità vettoriale e accelerazione vettoriale. Coordinate curvilinee. Moto piano in coordinate polari.

DINAMICA

Riferimenti: nozione di quiete e di moto. La composizione delle velocità. Punto materiale e sistemi di punti materiali. Definizione di quantità di moto. La conservazione della quantità di moto e i riferimenti inerziali. La definizione di forza. Il primo Principio della dinamica newtoniana. Il proncipio di indipendenza delle azioni simultanee. La legge fondamentale della dinamica.

IL PRINCIPIO DI RELATIVITA'

Relatività galileiana. Relatività ristretta: le trasformazioni di Lorentz. Contrazioni delle lunghezze, dilatazione dei tempi. Simultaneità. Composizioni delle velocità. Spazio quadridimensionale. I quadrivettori. Equazioni relativisticamente covarianti delle leggi fisiche. Quadrivelocità. La legge del moto. Il quadrivettore impulso. Il teorema delle forze vive. Equivalenza tra massa ed energia.

MECCANICA DEL PUNTO MATERIALE

Il secondo principio della dinamica newtoniana. Il concetto di massa inerziale. la forza peso. Il problema generale dello studio del moto di un punto materiale. Vincoli senza attrito. Applicazioni dell'equazione del moto: a) F=0, moto rettilineo uniforme, b) F=costante, moto uniformemente accelerato. Forza centripeta, moto circolare uniforme. Forza elastica, l'oscillatore armonico, il moto armonico. Il piano inclinato. Il prblema semplice: misura dell'accelerazione di gravità. Il teorema dell'impulso e della quantità di moto. Moto impulsivo. Lavoro di una forza. Il teorema delle forze vive. Campi di forze conservativi: energia potenziale, la conservazione dell'energia meccanica. Equivalenza tra massa e energia. Tipi di equilibrio, moti di ritazione: momento angolare e momenti di inerzia. Il teorema del momento della quantità di moto. Forze centrali: conservazione della vlocità angolare. Vincoli con attrito: attrito statico e dinamico.

MECCANICA DEI SISTEMI

Il principio di azione e reazione. La prima equazione cardinale. La conservazione della quantità di moto. Densità e peso specifico. Il centro di messa a baricentro. Il teorema del centro di messa. La seconda equazione cardinale con polo fisso e mobile. Il problema della meccanica dei sistemi: equazioni e incognite. Studi del moto di un sistema rigido. Equilibrio di un sistema rigido. Sistema rigido con un asse fisso: momenti assiali. Momenti di inerzia rispetto ad un asse. Teorema di Steiner. Cons. del momento angolare assiale. Moto di puro rotolamento. Giratori di inerzia. Ellissoide di inerzia. Momenti principali e centrali di inerzia. Teorema delle forze vive. Il teorema di Koenig. Conservazione dell'energia meccanica. Conservazione del momento angolare. Le relazioni di Poisson, moti relativi e forze fittizie. Sistemi a massa variabile. Le equazioni di Eulero. principio dell'effetto giroscopico: giroscopi. Problemi di urto.

GRAVITAZIONE UNIVERSALE

La forza di Newton. L'ipotesi di Newton. La massa gravitazionale. Il campo gravitazionale terrestre. Valutazione della massa della terra e del sole. Energia del campo gravitazionale. I teorema di Gauss.

ONDE MECCANICHE

Propagazione ondosa. Onde sinusoidale su una corda: interferenza, onde stazionarie. La riflessione e la rifrazione. Il principio di Huygens. L'effetto Doppler. Caratteristiche dei suoni. La risonanza.

MECCANICA DEI MEZZI CONTINUI

Forze a distanza e forze di contatto. La nozione di sforzo. Lo sforzo specifico. Il teorema di Cauchy. Il tensore degli sforzi. La definizione di pressione. Il principio di Pascal. La legge di Stevino. La formula barometrica. Il principio di Archimede. Misure delle pressioni. Il teorem di Bernoulli e sue applicazioni. Fenomeni molecolari: la tensione superficiale, la formula di Laplace, le lamine sottili, la capillarità.

TERMOLOGIA

Termometria. Il principio ``O'' e l'equilibrio termico. I gas perfetti e reali. Calorimetria. Sistemi termodinamici. Stati di equilibrio. Equazioni di stato. Trasformazioni di un sistema termodinamico. Il primo principio della termodinamica. Il secondo principio: le macchine termiche, la definizione assoluta di temperatura. La funzione entropia. La teoria cinetica dei gas. L'equazione di Claperyon. L'energia libera. L'entalpia.

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA'

Nozione di probabilità. Probabilità totali e composte. Variabili casuali. Speranza matematica. Frequenza e probabilità. Legge empirica del caso. Il teorema di Laplace.

ELEMENTI DI STATISTICA

Medie. Frequenze. Scarti. Distribuzioni. Momenti. Stime.

TEORIA DELLA MISURA

Errori di osservazione. Il principio della media. La legge degli errori di osservazione. Errore quadratico medio. La propagazione degli errori. Errore quadratico medio della media. Calcolo dell'errore quadratico medio usando gli scarti. Medie pesate. Il metodo dei minimi quadrati. Errore probabile. Errore massimo assoluto e relativo.

ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

Lo spazio delle fasi. Il teorema di Liuville. Medie temporali e medie in fase.

ELEMENTI DI TERMODINAMICA-STATISTICA

La distribuzione di Boltmann. La legge di distribuzione delle velocità delle molecole di un gas. La velocità media. La velocità quadratica media. Il principio di equipartizione dell'energia. L'energia interna. L'entropia. I caloro specifici.

ALGEBRA LINEARE

Sistemi lineari e matrici. Metodo di Gauss, Rango e determinante di una matrice. Spazi vettoriali, applicazioni lineari. Autovalori ed autovettori, polinomio caratteristico. Problema della diagonalizzazione, classi di similitudine. Forma canonica di Jordan. Prodotti scalari definiti positivi, prodotti hermitiani. Classi di ongruenza di matrici simmetriche. Il teorema di Sylvester e il teorema spettrale.

GEOMETRIA ANALITICA

TEORIA DELL' INTEGRAZIONE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE

• Integrale secondo Riemann per funzioni limitate su un intervallo compatto; criterio di integrabilità; integrabilità delle funzioni continue; proprietà degli integrali; integrale su un intervallo orientato; teorema fondamentale del calcolo integrale e la primitiava di una funzione continua; integrali indefiniti; integrazione per parti e regole di integrazione; integrazione delle funzioni razionali; cambiamento di variabili nell' integrale; integrazione di alcuni funzioni irrazionali e di funzioni trascendenti.
• Integrali impropri; integrali di funzioni illimitate su intervalli; integrale improprio per funzioni su una semiretta; criteri di confronto per l'esistenza.

SERIE NUMERICHE

• Serie a termini positivi, criterio del confronto convergenza e divergenza; serie geometrica; criterio del rapporto e della radice; criterio di condensazione di Cauchy; riordinamento e di ragruppamento dei termini di una serie a termini positivi e la convergenza; divergenza della serie armonica; serie a termini di segno alterno ed il teorema di Leibniz; operazioni sulle serie convergenti; serie a termini di segno arbitrario; convergenza assoluta di una serie; assoluta convergenza e riordinamento dei termini; serie condizionalmente convergente

SUCCESSIONE E SERIE DI FUNZIONI

• Successioni di funzioni; convergenza puntuale ed uniforme, teoremi sulla convergenza uniforme: limitatezza, continuità, derivabilità e integrabilità; convergenza puntuale, uniforme e totale di una serie di funzioni; serie di potenze, raggio di convegenza e teorema di Hadamard; serie di Taylor; svilppi in serie di Taylor di alcuni funzioni elementari; teorema di approssimazione di Weierstrass.

SERIE DI FOURIER

• Sistemi ortonormali e completezza, disugualianza di Bessel, funzioni periodiche e serie di Fourier; teoremi su convergenza puntuale, uniforme e totale di serie di Fourier.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

• Gneralità sulle equazioni differenziali; integrale generale; il problema di Cauchy, funzioni lipschitziane e teorema di contrazione; teorema di Cauchy - Lipschitz sull'esistenza e l'unicità della soluzione locale; teorema di peano per l'esistenza locale; prolungabilità delle soluzioni e soluzioni globali; studio qualitativo delle solzioni; risoluzione esplicità di alcuni equazioni del primo ordine; equazioni a variabili seperabili.
• Equazioni differenziali lineari - Proprietà generali, sistemi fondamentali di soluzioni e Wronskiano; equazioni omogenee a coefficienti costanti, polinomio caratteristico e costruzione d'un sistema fondamentale; equazioni particolari delle equazioni non omogenee e metodo della variazione delle costanti arbitrarie; equazioni con termini noti di tipo particolare; equazione di Eulero.

FUNZIONI DI PIU VARIABILI

• Spazi metrici e spazi normati - Spazi metrici, successioni, convergenza e completezza; spazi normati, spazi di Banach e di Hilbert. Richiami di topologia in spazio Euclideo n-dimensionale, limiti e continuità, insiemi connessi e semplicemente connessi, funzioni continue su insiemi aperti e conessi.
• Calcolo differenziale - Derivate parziali e derivata direzionale, funzioni differenziabili e loro proprietà, gradiente; teorema di differenziale totale; derivate successive ed il teorema di Schwarz; formula di Taylor; forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite; punti stazionari, massimi e minimi relativi e assoluti, e punti di sella; condizioni necessarie e condizioni sufficiente per un massimo o minimo relativo o di sella.
• Funzioni definite implicitamente, il teorema del Dini nel piano e in spazio tre dimensionale; funzioni a valori vettoriali, Jacobiano ed il teorema delle funzioni implicite; funzioni localmente invertibili e diffeomorfismi fra aperti.

CURVE E SUPERFICI

• Curve semplici, curve chiuse e curve regolari, orientazione d'una curva; lunghezza di una curva, integrale curvilineo di una funzione; curvatura; campi vettoriali e campi conservatori; forme differenziali lineari, forme esatte e forme chiuse, forme differenziali esatte nel piano ed in aperti semplicementi connessi; campi irrotazionali nello spazio.
• Superfici regolari in spazio euclideo tre dimensionale, piano tangente e versore normale; superfici equivalenti; superfici orientati e curvatura di una superficie.
• Massimi e minimi vincolati per funzioni di pi\`u variabili, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

INTEGRALI MULTIPLI

• Integrali doppi su domini normali; formule di riduzioni per integrali doppi; cambiamento di variabili in integrali doppi; area di una superficie e integrali di superfice; la formula di Gauss - Green e il teorema della divergenza; nozioni fondamentali su varietà differenziabili.

MISURA DI LEBESGUE

• Plurirettangoli in spazio euclideo, misura di aperti e compatti; misurabilità degli insiemi limitati e misura di Lebesgue; proprietà della misura di Lebesgue - additività e subadditività finità; insiemi misurabili illimitati secondo Lebesgue e loro proprietà; insiemi di misura nulla e proprietà quasi ovunque.

TEORIA DELL'INTEGRALE DI LEBESGUE

• Integrale secondo Lebesgue per funzioni limitate e nulle fuori di un compatto; funzioni semplici; funzioni integrabili e criterio per l'integrabilità secondo Lebesgue; integrabilità di funzioni continue e generalmente continue e limitate.
• Funzioni misurabili e limitate, proprietà della famiglia di funzioni misurabili rispetto le operazioni algebriche, rispetto le operazioni di inf. e sup. di una successione, rispetto a passaggio al limite; integrale di Lebesgue di una funzione positiva come misura del sottografico positivo; integrale di Lebesgue per funzioni definite su insieme limitato e misurabile.
• Teoremi sul passaggio al limite per integrale di Lebesgue: teoremi di Beppo Levi, Fatou e di Lebesgue sulla convergenza dominata.
• Funzioni definite su un insieme misurabile ma non limitate in un sotto insieme di misura nulla; integrabilità di funzioni definite su insiemi non limitati.
• Misura di Lebesgue sul prodotto di due insiemi misurabili, teorema di Fubini; misurabilità di insiemi normali.
• Cambiamento di variabili negli integrali multipli ed applicazioni.

Elettrostatica

La legge di Coulomb. Unità di misura. Campo Elettrico. Il principio di sovrapposizione ed il campo Elettrico prodotto da distribuzioni discrete e continue di cariche. Flusso del campo Elettrico. Teorema di Gauss. Leggi di trasformazione del campo Elettrico per rotazioni, traslazioni e riflessioni delle sorgenti. Il campo Elettrico di distribuzioni simmetriche: distribuzione a simmatria sferica; distribuzione lineare su un filo rettilineo; distribuzione piana. Il campo Elettrico in un condensatore a facce piane parallele. Discontinuità del campo Elettrico attraverso una distribuzione superficiale di carica. Teorema della divergenza. Potenziale del campo Elettrico. Rotazione del campo Elettrico. Potenziale prodotto da diverse distribuzioni di carica. Il dipolo. Comportamento del potenziale a grandi distanze: sviluppo in multipoli. Forza e momento esercitate da un campo Elettrico su una distribuzione rigida di cariche in approssimazione del dipolo. Energia di una distribuzione di cariche (discreta o continua). Densità di energia. Circuitazione del campo Elettrico. Teorema di Stokes. Forza su un elemento di superficie carico. Assenza di posizioni di equilibrio stabile nel vuoto.

Elettrostatica dei conduttori

Definizione di conduttore. Il campo Elettrico e la distribuzione di carica dentro e sui conduttori. Proprietà delle linee di forza del campo Elettrico. L'induzione elettrostatica. Il problema di Dirichlet e il problema di Neumann. Gabbia di Faraday. Riduzione del problema di Neumann al problema del Dirichlet: coefficienti di capacità e coefficienti di potenziale. Lo schermo elettrostatico. Capacità e condensatori. Metodi di soluzione dell'equazione di Laplace: cariche immagine.

Corrente elettrica

Corrente elettrica. Densità di corrente. Conservazione della corrente. Correnti stazionarie. Legge di Ohm. Potenza dissipata. Teoria di Lorentz-Drude della conduzione elettrica. Scarica e carica di un condensatore attraverso una resistenza. Concetto di forza elettromotrice (f.e.m.). Generatori di f.e.m. La pila.

Magnetismo (I)

Fenomenologia. Campo Magnetico. Forza di Lorentz. Campi elettrici e magnetici e cambiamenti di riferimento.

Elementi di teoria della Relatività

Il principio di Relatività. Leggi di trasformazione delle grandezze fisiche. Trasformazioni di Lorentz. Dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze e trasformazione delle velocità. Geometria dello spazio-tempo. Dinamica relativistica. Teorema delle forze vive. Leggi di trasformazione dell'impulso e dell'energia. Trasformazione delle forze. Leggi di trasformazione della carica, della densità di carica e di corrente. Trasformazione del campo Elettrico. Campo Elettrico prodotto da una carica in moto uniforme. Forza su una carica in moto dovuta ad un filo percorso da corrente. Campo Magnetico prodotto da un filo rettilineo percorso da corrente.

Magnetismo (II)

• Elementi di topologia generale.
• Gruppo fondamentale e rivestimenti.
• Geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio.
• Alcuni fatti elementari sulle curve algebriche piane.

1. Precisazioni sul calcolo vettoriale. Tensori del II ordine.

2. Cinematica standard del punto mobile. Moti centrali. Cinematica rigida.

3. Eventi ed osservatori. Rapporto di causalità e di contemporaneità: il tempo assoluto. Cinematica relativa. Moti di precessione.

4. Fondamenti di dinamica della particella. Osservatori inerziali e non. La seconda legge di Newton e le sue conseguenze. Il principio di relatività galileiana.

5. Dinamica dei sistemi estesi: il caso discreto, quello continuo ed il loro collegamento.

6. Dinamica dei corpi rigidi.

7. Sistemi conservativi di forze. Stabilità dell'equilibrio. Vincoli lisci, principio dei lavori virtuali ed equazioni di Lagrange.

Programma indicativo

INTRODUZIONE

• Equazioni del primo ordine e formulazione debole.
• Equazione delle corde vibranti.
• Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
• Equazione del calore: nucleo di Gauss-Weierstrass.
• Problemi di approssimazione: teorema di Stone-Weierstrass.
• Teorema delle contrazioni.
• Criteri di esistenza di soluzioni: Ascoli-Arzelà , semicontinuità Baire, e Brouwer.

INTEGRAZIONE ALLA LEBESGUE 1)

• Le funzioni integrabili come completamento.
• Misura di Lebesgue e spazi di misura.
• Proprietà topologiche e definizione misura di Hausdorff.
• Funzioni: funzioni misurabili, funzioni boreliane.
• Integrale: teoremi di passaggio al limite e di derivazione sotto segno di integrale, caratterizzazione delle funzioni Riemann integrabili.
• Misure prodotto: teoremi di Fubini-Tonelli, prime proprietà della convoluzione.
• Spazi di funzioni: gli spazi di Lebesgue e di Sobolev, convoluzione e criteri di compattezza.

SPAZI DI HILBERT

• Teoria geometrica: teorema di Riesz, teorema di Lax-Milgram.

FORMULAZIONE DEBOLE HILBERTIANA PER I PROBLEMI ELLITTICI

• Esistenza: Poincarè, Rellich.

INTEGRAZIONE ALLA LEBESGUE 2)

• Teoremi di derivazione (cenni).
• Dualità di spazi di funzioni: spazi di Lebesgue, spazi di funzioni continue.
• Teoremi di cambiamento di variabile (cenni).

SPAZI DI HILBERT 2)

• Teoria dell'approssimazione: diseguaglianza di Bessel, teorema di Riesz-Fischer.
• Spettro di operatori compatti autoaggiunti: operatori integrali, operatori ellittici su domini limitati, formulazione astratta dell'equazione del calore.

TRASFORMATA DI FOURIER

• Spettro continuo.
• Spazi di Schwartz, lemma di Riemann-Lebesgue.
• Proprietà algebriche della trasformata di Fourier.
• Spazi di distribuzioni, e soluzioni fondamentali.

ANALISI FUNZIONALE

• Spazi vettoriali topologoci: perdita di compattezza.
• Spazi di distribuzioni.
• Teorema di Hahn-Banach e convessità.
• Dualità e topologie deboli: compattezza, esistenza, applicazioni.
• Riflessività e separabilità.
• Completezza: teorema del grafico chiuso della mappa aperta e applicazioni.

SPAZI DI SOBOLEV (cenni)

• Teoremi di immersione, teoria della regolarità locale, regolarità al bordo.
• Proprietà di reticolo e principio del massimo in spazi di Sobolev.

CENNI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI

CENNI DI TEORIA SPETTRALE

PREREQUISITI: gli argomenti dei corsi del primo biennio, in particolare: algebra lineare, forma di Jordan, sistemi di equazioni differenziali ordinarie, serie di potenze di una variabile complessa, teoremi di passaggio al limite e di derivazione sotto segno di integrale per gli integrale di Riemann ed impropri, teorema della divergenza, formula di cambiamento di variabile, completezza per la convergenza uniforme.

BIBLIOGRAFIA:

• Parte introduttiva: appunti del corso; L.C.Evans Partial Differential Equations vol. 3A; G.Folland Introduction to P.D.E.; D.Gilbarg-N.S.Trudinger Elliptic P.D.E. of Second Order; M.H.Protter-H.F.Weinberger Maximum Principles in Differential Equations; F.Treves Basic Linear P.D.E,; L.V.Ahlfors Complex Analysis; J.B.Conway Functions of one complex variable voll. 1-2; H.Cartan Thèorie èlèmentaire des fonctions analytiques; E.Zeidler Applied functional analysis voll. 1-2;
• per notizie generali: Yu.V.Egorov-M.A.Shubin (a cura di) P.D.E. vol. 1: volume 19 della serie `Encyclopaedia of Mathematical Sciences'.
• in particolare sull'equazione del calore: D.V.Widder The Heat Equation.
• Teoria della misura: R.Wheeden-A.Zygmund Measure and Integration; W.Rudin Analisi Reale e complessa (esercizi); L.C.Evans-R.F.Gariepy Lecture Notes on Measure Theory and Fine properties of Functions.
• Spazi di Hilbert e Banach: E.Zeidler Applied functional analysis voll. 1-2; H.Brezis Analisisi Funzionale.
• Trasformate di Fourier: A.A.Kirillov- A.D.Gvisiani Teoremi e problemi dell'analisi funzionale; G. Fol land Introduction to P.D.E.; J.Rauch P.D.E.
• Analisi Funzionale: W.Rudin Functional Analysis; A.A.Kirillov- A.D.Gvisiani Teoremi e problemi dell'analisi funzionale; H.Brezis Analisisi Funzionale; E.Zeidler Applied functional analysis voll. 1-2;
• Spazi di Sobolev: H.Brezis Analisisi Funzionale; L.C.Evans Partial Differential Equations voll. 3A-3B; G.Folland Introduction to P.D.E.; L.C.Evans-R.F.Gariepy Lecture Notes on Measure Theory and Fine properties of Functions.
• per notizie generali: N.K.Nikol'skij (a cura di) Functional Analysis vol. 1: volume 30 della serie `Encyclopaedia of Mathematical Sciences'.
• Teoria spettrale: appunti del corso; A.A.Kirillov- A.D.Gvisiani Teoremi e problemi dell'analisi funzionale; T.Kato Perturbation Theory of Linear Operators.

1. Misura di Lebesgue in R.
2. Integrazione sugli spazi misurabili.
3. Derivazione.
4. Spazi Lp.
5. Spazi di Banach.
6. Spazi di Hilbert.
7. Serie di Fourier.
8. Trasformata di Fourier.

Problemi unilaterali in teoria dell'elasticità. Filo teso, trave, membrana e piastra vincolati al di sopra di un ostacolo. Formulazione del problema dell'equilibrio tramite una disequazione variazionale. Disequazioni variazionali in spazi di Hilbert. Il teorema di Lions-Stampacchia. Operatori monotoni. Teoremi di perturbazione singolare per disequazioni variazionali. Risultati di regolarità. Il teorema di Lewy-Stampacchia. Applicazioni della teoria delle disequazioni variazionali a problemi di frontiera libera. La disequazione variazionale di Reynolds e le proprietà del suo insieme di coincidenza. Il problema della diga. La torsione elasto-plastica di una sbarra di sezione qualsiasi.

Testi di riferimento:

• D. Kinderlehrer & G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, Academic Press, 1980.
• J.F. Rodrigues, Obstacle Problems in Mathematical Physics, North- Holland, 1987.

Sistemi dinamici in dimensione finita. La teoria di Floquet. Oscillazioni nonlineari. Soluzioni periodiche. La risonanza parametrica. Applicazioni alla teoria dei circuiti elettrici e alla dinamica delle popolazioni. Sistemi dinamici in dimensione infinita. Insiemi invarianti e attrattori. Attrattori per le equazioni di evoluzione dissipative del primo ordine nel tempo. Equazioni di reazione diffusione. Il sistema di Navier-Stokes. Attrattori per le equazioni della elettroidrodinamica.

Testi di riferimento:

• J. Cronin, Differential Equations: Introduction and Qualitative Theory, Marcel Dekker, 1994.
• R. Teman, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, 1988.

Calcolo Tensoriale

• Elementi di calcolo tensoriale in coordinate cartesiane.

Studio dei continui. I fluidi ideali e viscosi.

• La meccanica dei continui a tre dimensioni, dei continui sottili a una dimensione. La meccanica dei continui unidimensionali con struttura. Esempi ed applicazioni. Fluidi perfetti e fluidi viscosi. Equazioni di moto dei fluidi. Studio di particolari moti.

Teoria matematica della conduzione del calore.

• Conduzione del calore. Problemi connessi; metodi di risoluzione. Cenni sui metodi numerici di risoluzione dell'equazione di conduzione.

Equazioni alle derivate parziali della Fisica Matematica.

• Modelli classici per le equazioni della fisica matematica: equazioni della corda vibrante, del calore e potenziale. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine: equazioni iperboliche, paraboliche ed ellittiche.

Si fa riferimento alle dispense a stampa.

Calcolo Tensoriale

• Elementi di calcolo tensoriale in coordinate generali; i simboli di Christoffel di prima e di seconda specie.

Ulteriore studio dei continui. Onde di discontinuità.

• La meccanica dei continui sottili a due dimensioni (membrane). Le onde di discontinuità. Il problema della validità delle equazioni di moto nei continui sottili e il problema della validità del teorema delle forze vive nei fili perfettamente flessibili, in presenza di discontinuità. Onde straordinarie ed ordinarie nei fili perfettamente flessibili e in una classe di membrane. La meccanica e lo studio della validità del teorema delle forze vive anche nei continui bidimensionali con struttura in presenza di discontinuità. L'ampiezza dell'onda di discontinuità nei fili perfettamente flessibili.

Teoria matematica della convezione del calore.

• Convezione libera e forzata del calore. Problemi connessi; metodi di risoluzione. Cenni sui metodi numerici di risoluzione.

Relatività.

• Primi cenni di relatività generale.

Vengono messe a disposizione degli studenti le dispense del Corso.

Si fa riferimento alle dispense a stampa.

• Funzioni di una variabile complessa (Teoria elementare come svolta ad esempio nel libro di H. CARTAN).
• Cenni su piu' variabili complesse e spazi analitici complessi.
• Calcolo differenziale locale: singolarità di applicazioni differenziali, teorema di divisione di MALGRANGE-MATHER, deformazioni versali, forme normali.
• Calcolo differenziale globale: intorni tubolari, trasversalità. forme differenziali e loro integrali, teoremi tipo DE RHAM e HODGE.
• Topologia differenziale: classificazione superficie.
• Introduzione alla topologia algebrica e all'algebra omologica.

• Serie di potenze in una variabile. Serie formali. Serie convergenti. Funzioni analitiche.
• Funzioni olomorfe. Richiami sugli integrali curvilinei. Forme differenziali, primitiva di una forma differenziale. Forme chiuse. Indice di un cammino chiuso. Derivata complessa. Condizioni di Cauchy-Riemann. Teorema di Cauchy. Formula di Cauchy. Sviluppo in serie di una funzione olomorfa. Principio di simmetria.
• Sviluppi di Taylor e di Laurent. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Proprietà della media, principio del massimo. Lemma di Schwarz. Serie di Laurent. Sviluppo di Laurent di una funzione olomorfa in una corona. Punti singolari, funzioni meromorfe. Teorema dei residui nel piano e nella sfera di Riemann. Teorema di Rouchè. Applicazioni.
La topologia compatto-aperta. Topologia dello spazio delle funzioni continue. Convergenza di successioni di funzioni olomorfe. Serie di funzioni meromorfe. Esempi. Prodotti infiniti. Fattorizzazione di Weierstrass. I compatti dello spazio delle funzioni olomorfe.
• Trasformazioni olomorfe. Studio locale di una trasformazione olomorfa. Apertura delle trasformazioni olomorfe. Problema della rappresentazione conforme. Automorfismi del piano complesso. Automorfismi della sfera, il gruppo delle omografie. Automorfismi del semipiano e del disco. Il teorema fondamentale della rappresentazione conforme. Proprietà del gruppo delle omografie.
• Lo spazio iperbolico

• Gruppi discreti di isometrie
• Gruppi piani. Gruppi piani. Invarianti dei gruppi piani. Le 17 classi di gruppi piani. Tassellazioni piane. Le 3 tassellazioni regolari. Tassellazioni archimedee.
• Gruppi spaziali.
• Definizione di gruppo spaziale. Proprietà topologiche dei gruppi spaziali. Proprietà algebriche dei gruppi spaziali. Strategia per la classificazione. Il teorema di classificazione. Altri criteri per classificare.
• I gruppi puntuali.
• Gruppi finiti di isometrie. Sottogruppi finiti di SO(3). Sottogruppi finiti di O(3). Applicazione: i gruppi di simmetria dei poliedri regolari. La restrizione cristallografica. Gruppi puntuali cristallografici in dimensione 3. Descrizione delle classi geometriche.
• Le classi aritmetiche.
• Classificazione dei reticoli. Reticoli minimali. Classi aritmetiche.

(*) Anelli di valutazione discreta e domini di Dedekind. Anelli topologici. Filtrazioni e completamenti. Anelli e moduli graduati. Il lemma di Artin-Rees. I valori assoluti dei campi globali e i loro completamenti. Il lemma di Hensel. Teoria della dimensione. Grado, profondità e altezza degli ideali. Funzioni di Hilbert, Il teorema dell'ideale primcipale di Krull. Anelli locali regolari. Successioni regolari. Anelli di Cohen-Macaulay. Cenni sui metodi omologici relativi alla teoria della dimensione. Il complesso di Koszul e la dimensione omologica. (*) Basi di Gröbner.

Nota: Lo svolgimento degli argomenti contrassegnati con asterisco verrà deciso in seguito alla verifica dell'eventuale intersezione con altri corsi nei piani di studio degli studenti interessati.

Il principale testo di riferimento è:

Il corso tratterà alcuni argomenti di analisi "non lineare", sia in spazi di dimensione finita, sia in spazi di Banach. Negli spazi di dimensione finita saranno scelti alcuni enunciati particolarmente "elementari" e significativi. Negli spazi di funzioni sarà dato particolare spazio all'uso di metodi topologici e geometrici nello studio delle equazioni differenziali.

In particolare saranno svolti i seguenti argomenti.

Calcolo differenziale e teoremi relativi in spazi di Banach. Il caso della applicazioni fra spazi di funzioni: gli operatori di Nemitzki.

Teoria del grado in spazi di dimensione finita ed in spazi di Banach. Il teorema del punto fisso di Brower, il teorema di Jordan, il teorema dell'applicazione aperta, il teorema di Borsuk.

Alcune proprietà degli spazi "di Sobolev". Studio di qualche equazione differenziale non lineare mediante i metodi della teoria del grado.

Alcuni teoremi di esistenza di tipo variazionale: il teorema della sella, il teorema dell'allacciamento, il teorema delle sfere complementari. Per dimostrare l'esistenza di punti stazionari (diversi dai punti di minimo o di massimo) gioca un ruolo essenziale la struttura "topologica" del funzionale.

Studio di alcune equazioni differenziali non lineari (di tipo variazionale) mediante la ricerca dei punti stazionari di opportune funzioni (i "funzionali") definite su spazi di funzioni.

Elementi di topologia generale. Gruppo fondamentale e rivestimenti. Geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio. Alcuni fatti elementari sulle curve algebriche piane.

Altri argomenti potranno essere sviluppati durante lo svolgimento del corso secondo considerazioni di tempo e di convenienza.

1. Rappresentazione in base ed errori. Rappresentazioni in base di numeri reali, rappresentazione in virgola mobile, aritmetica di macchina, errore di cancellazione. Errore inerente, errore algoritmico, condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo. Analisi diretta ed inversa dell'errore. Esempi significativi: sommatoria, produttoria e prodotto scalare. Costo di un algoritmo e complessità di un problema.
2. Sistemi di equazioni non lineari. Il caso di una singola equazione: il metodo di bisezione, metodi di iterazione funzionale, teoremi del punto fisso, criteri di arresto, analisi della propagazione degli errori, ordine di convergenza di un metodo. I metodi di Newton, di Aitken. Il caso di sistemi di equazioni: norme e raggio spettrale, teoremi di convergenza, il metodo di Newton-Raphson, ordine di convergenza.Il problema del calcolo numerico delle radici di un polinomio: condizionamento numerico, teoremi di localizzazione, sequenze di Sturm, varianti del metodo di Newton, metodi di deflazione esplicita, metodi di deflazione implicita, iterazioni simultanee, metodi di Durand-Kerner e di Aberth.
3. Sistemi di equazioni lineari. Norme di vettori e matrici, teorema di equivalenza; numero di condizionamento di na matrice , forma canonica di Schur, matrici normali, matrici riducibili e forte connessione del grafo associato. Localizzazione degli autovalori, teoremi di Gerschgorin. Matrici elementari di Gauss e di Householder, fattorizzzione LU, QR, LL^T. I metodi di eliminazione di Gauss, di Householder, di Cholesky, analisi della stabilità numerica e del costo computazionale: strategie del massimo pivot parziale e totale. Calcolo dellínversa e del rango di una matrice. Generalità sui metodi iterativi: i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel, teoremi di convergenza.
4. La trasformata discreta di Fourier. Radici n-esime dell'unità, trasformata diretta (DFT) e inversa (IDFT), gli algoritmi di trasformata veloce (FFT) in base 2, algoritmo di Cooley-Tukey, algoritmo di Sande-Tukey. Complessità computazionale e stabilità numerica. L'algoritmo FFT su campi finiti. Trasformate trigonometriche: la trasformata dei seni, dei coseni, e di Hartley. Applicazioni della DFT nel filtraggio di segnali, in operazioni con polinomi e con numeri interi.

Il corso di Analisi Numerica è integrato da un corso di esercitazioni in cui vengono sviluppati elementi del linguaggio di programmazione FORTRAN 90 in ambiente UNIX. Verranno implementati, analizzati e sperimentati i principali algoritmi introdotti durante il corso.

Testi di riferimento:

• D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna 1988.
• R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna 1992.

1. Elementi avanzati di algebra lineare numerica. Equivalenza computazionale dei problemi del calcolo del determinante, del calcolo dellínversa e del calcolo del prodotto di matrici, l'algoritmo di Strassen. Metodi iterativi; teorema di Stein-Rosenberg, caso delle matrici tridiagonali a blocchi; metodi di rilassamento, determinazione del parametro ottimo; il caso delle M-matrici, il teorema di Perron-Frobenius; i metodi del gradiente, gradiente coniugato, tecniche di precondiziionamento; il caso delle matrici di Toeplitz. Calcolo di autovalori e autovettori di matrici, teoremi di perturbazione, teoremi di localizzazione, teoremi di condizionamento. Caso delle matrici hermitiane: il teorema di Courant-Fischer e sue applicazioni, il teorema di separazione di Cauchy. Riduzione di una matrice hermitiana in forma tridiagonale, metodi di Householder, Givens e Lanczos. Calcolo di autovalori di matrici hermitiane tridiagonali, successioni di Sturm e metodi di bisezione, il metodo di Newton, metodi delle potenze, metodo di Wielandt, metodo del quoziente di Rayleigh, metodi LR e QR, strategie divide et impera. Riduzione in forma di Hessenberg. Il problema dei minimi quadrati, analisi e metodi di risoluzione. La decomposizione a valori singolari (SVD).
2. Risoluzione numerica di equazioni differenziali di tipo ellittico. Operatori differenziali ellittici, il problema modello dell'equazione di Poisson sul rettangolo. Discretizzazione mediante le differenze finite, valutazione dell'errore locale di discretizzazione. Valutazione dell'errore globale in norma euclidea e in norma infinito. Il principio del massimo, formulazione discreta. Formule di discretizzazione su altri domini.
3. Interpolazione e integrazione numerica. Interpolazione mediante polinomi, la formula di Lagrange, il polinomio di Newton, il resto nell'interpolazione. Matrici di Vandermonde, differenze divise. Interpolazione trigonometrica, interpolazione razionale, interpolazione spline. Formule di integrazione numerica, formule di Newton-Cotes, formule composte, tecniche di estrapolazione, integrazione gaussiana, polinomi ortogonali, polinomi di Laguerre, Hermite, Chebishev.

Testi di riferimento:

• D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna 1988.
• R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna 1992.

I programmi del I e del II modulo saranno parti del seguente insieme di argomenti da definire insieme con gli studenti, tenendo conto dei loro interessi.

• Nozioni introduttive di analisi convessa, di algebra lineare, di teoria dei grafi e di combinatoria
• Formulazione di alcuni problemi riguardanti l'ingegneria delle strutture, la produzione industriale, la progettazione e gestione dei calcolatori e loro reti, come modelli di estremo vincolato.
• Studio di condizioni necessarie e/o sufficienti per problemi di estremo vincolato Moltiplicatori di Lagrange e generalizzazioni, in particolare i problemi convessi Teoria della dualità per problemi di estremo vincolato
• Algoritmi risolutivi per problemi di estremo vincolato convessi, per problemi differenziabili/
• Algoritmi risolutivi per problemi di estremo vincolato su grafi, Problemi di cammino minimo e flusso massimo su un grafo Problemi di assegnazione, inclusione, partizione e copertura ottimale
• problemi di ottimizzazione di tipo stocastico.

Libri consigliati:

Il corso e' rivolto agli studenti dell'indirizzo didattico e si propone di fornire l'occasione, soprattutto attraverso seminari, per soffermarsi su alcuni problemi classici della matematica. Fra l'altro, sara' esaminata la risolubilita' di problemi con l'uso della riga e del compasso e, fra quelli non risolubili con tali strumenti, saranno studiati i problemi relativi alla duplicazione del cubo e alla trisezione dell'angolo.

In questo modulo agli studenti saranno presentate alcune delle problematiche connesse allo svolgimento di un'attivita' didattica per la matematica in classi, di scuola elementare e media, in cui siano presenti alunni stranieri. L'attenzione sara' particolarmente rivolta ai casi in cui il paese di provenienza presenta - rispetto all'Italia - significative differenze di natura sociale e/o culturale: in tale circostanza infatti le strategie didattiche degli insegnanti dovranno tenere conto non solo delle difficolta' dovute alla lingua ma anche di quelle dovute a tali differenze, come chiaramente emerso negli ultimi anni da studi condotti in altri paesi.

Campi di numeri e anelli di numeri. Traccia norma e discrimiante. Struttura additiva degli anelli di numeri. Domini di Dedekind. Gruppo degli ideali frazionari. Fattorizzazione degli ideali. Estensioni di Galois. Gruppo di decomposizione e gruppo di inerzia. Automorfismo di Frobenius. Gruppo delle classi di ideali. Gruppo delle unità.

Testi di riferimento:

Il corso, di carattere monografico, ha per tema la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Sono previste l'implementazione e la sperimentazione, mediante calcolatore, di alcuni degli algoritmi trattati e l'analisi e la risoluzione di problemi del mondo reale modellizzabili da equazioni differenziali ordinarie (moto di corpi nello spazio soggetti a forze gravitazionali, dinamica di popolazioni, ecc.).

• Richiami di teoria delle equazioni differenziali ordinarie: problema ai valori iniziali, esistenza e unicità, condizionamento. Richiami sulle equazioni alle differenze lineari.
• Metodo di Eulero: convergenza, stabilità assoluta, stima di Richardson dell'errore locale. Metodi ad un passo espliciti ed impliciti, metodo di Eulero implicito. Metodi di Runge-Kutta: metodi classici, metodo di Fehlberg, stabilità assoluta, metodi impliciti.
• Metodi a piu' passi lineari: metodi ricavati da formule di quadratura, ordine, predittori-correttori, convergenza, metodi di Adams, metodi BDF, stabilità.
• Estrapolazione.
• Sistemi di equazioni del primo ordine, sistemi stiff, equazioni di ordine superiore al primo.
• Problemi ai limiti: metodo di shooting, metodi alle differenze.

Per un maggiore approfondimento della materia:

Il corso è rivolto agli studenti dell'indirizzo didattico. Vengono sviluppati elementi di analisi numerica con particolare attenzione agli aspetti algoritmici e modellistici della matematica. I metodi numerici presentati nel corso verranno utilizzati per risolvere semplici problemi del mondo reale, in un processo che parte dalla descrizione del modello matematico, affronta la costruzione e l'analisi di algoritmi specifici di risoluzione, procede alla implementazione in linguaggio Pascal degli algoritmi stessi e si conclude con la esecuzione dei programmi (simulazione) e con la analisi critica dei risultati. Le lezioni, che si svolgono nell'aula informatica, prevedono l'uso interattivo dei personal computers in ambiente Turbo Pascal.

1. Elementi di algoritmica numerica.
   • Rappresentazione in base di numeri reali, numeri di macchina, errore di rappresentazione, errore inerente, errore algoritmico. I tipi numerici in Pascal. Algoritmi per il cambio di base.
   • Risoluzione numerica di singole equazioni, i metodi di bisezione, i metodi del punto fisso. Teoremi di convergenza, ordine di convergenza e derivabilità. I metodi delle corde, delle secanti e di falsa posizione, il metodo delle tangenti. Il caso di sistemi di equazioni, il metodo di Newton-Raphson.
   • Risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Analisi del condizionamento numerico. Norme su Rⁿ. Metodo di eliminazione Gaussiana, strategie di pivoting. I metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel.
   • Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Risoluzione numerica di equazioni differenziali ai valori iniziali: il metodo di Eulero e di Runge-Kutta. Equazioni differenziali con valori al contorno: il metodo delle differenze finite. Il caso della propagazione di un onda: il metodo di Crank-Nicolson.
2. Elementi di algoritmica grafica. Il sistema di riferimento reale, il sistema di riferimento schermo. Algoritmi per tracciare grafici di funzioni da R in R. Il caso di funzioni da R in R ². Il caso di funzioni da R² in R: trasformazioni assonometriche e prospettiche.
3. Modellizzazione e risoluzione numerica di alcuni problemi del mondo reale.
• Problemi modellizzabili mediante sistemi di equazioni lineari: configurazione di equilibrio di punti materiali sottoposti a forze elastiche; caso monodimensionale e bidimensionale; il problema discreto della bolla di sapone.
• Problemi modellizzabili mediante semplici equazioni differenziali. Propagazione di un onda in un sistema discreto, propagazione di una epidemia in una popolazione, moto di un punto materiale soggetto a piu' forze centrali, costruzione di una lente "perfetta".
• Problemi modellizzabili con equazioni alle differenze lineari.
• Simulazioni grafiche: riflessione di specchi sferici e parabolici; rifrazione con lenti sferiche.
• Simulazione di eventi legati al caso mediante generazione di numeri pseudo casuali.
• Realizzazione di aritmetiche razionali, intere in multiprecisione; realizzazione di semplici sistemi crittografici.

• Introduzione: eventi legati al risultato di un esperimento aleatorio; scelta dello spazio probabilizzato.
• Il linguaggio della misura: concetto di misura; proprietà di una misura; tribú generata da una classe d'insiemi; criterio per la coincidenza di due misure; concetto di applicazione misurabile; misura immagine.
• Il linguaggio della probabilità: misure di probabilità su uno spazio discreto; ripartizione uniforme su un insieme finito; nozione di variabile aleatoria; variabili aleatorie discrete; legge di una variabile aleatoria; densità discreta di una variabile aleatoria discreta; rincollamento di variabili aleatorie; probabilità condizionale.
• Indipendenza: indipendenza di una variabile aleatoria da un'altra; criteri d'indipendenza; simmetria dell'indipendenza; indipendenza di due eventi e di due tribú; blocco di una famiglia di variabili aleatorie; legge congiunta e leggi marginali; indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie; indipendenza a due a due; indipendenza e misura prodotto; criterio per l'indipendenza di una successione; proprietà associativa dell'indipendenza; indipendenza e composizione; schema delle prove indipendenti; processo di Bernoulli; legge 0-1 di Kolmogorov.
• Leggi discrete: legge binomiale; legge geometrica; assenza di memoria della legge geometrica; paradosso di Borel; istanti di successo in un processo di Bernoulli; legge di Pascal; legge di Poisson; legge ipergeometrica.
• La speranza nel caso discreto: speranza di una variabile aleatoria semplice; formula della speranza di una funzione composta; linearità della speranza; isotonia della speranza; principio d'inclusione-esclusione; speranza di una variabile aleatoria discreta positiva; speranza di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti; funzione generatrice di Laplace; funzione generatrice di una somma di variabili aleatorie indipendenti; derivate della funzione generatrice; calcolo esplicito di alcune funzioni generatrici.
• Riassunto di teoria dell'integrazione (senza dimostrazioni): tribú boreliana della retta reale; funzioni misurabili su uno spazio misurabile; approssimazione con funzioni semplici; integrale di una funzione misurabile positiva; funzioni integrabili e semintegrabili; l'integrale delle funzioni reali integrabili; integrale esteso a un insieme; funzioni equivalenti; misura di Lebesgue sulla retta; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrali di funzioni continue su intervalli non compatti; integrazione per parti; prodotto di misure; tribú boreliana dello spazio euclideo; misura di Lebesgue nello spazio euclideo; teorema di Fubini; invertibilità dell'ordine d'integrazione; misura di un insieme secondo una misura prodotto; interpretazione di un integrale come area; concetto di diffeomorfismo; cambiamento di variabili; integrazione in coordinate polari; misura definita da una densità teorema di Radon-Nikodym; funzione di ripartizione; significato fisico della densità; integrazione rispetto a una misura definita da una densità; integrazione rispetto a una misura immagine.
• La speranza nel caso generale: definizione generale di speranza; formula della speranza di una funzione composta; speranza come baricentro; speranza di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti.
• Disintegrazione: formula della disintegrazione; formula di Bayes; identità di Wald; funzione generatrice della somma di un numero aleatorio di variabili aleatorie.
• Leggi sulla retta: pseudoinversa di una funzione di ripartizione; ripartizione uniforme; legge esponenziale; assenza di memoria della legge esponenziale; convoluzione di leggi; convoluzione di densità; legge Gamma; processo di Poisson; indipendenza degli incrementi in un processo di Poisson.
• Vettori aleatori: densità congiunta e densità marginali; vettori aleatori con componenti indipendenti; composizione di un vettore aleatorio con diffeomorfismi; ripartizione uniforme.
• Leggi condizionali e speranza condizionale: definizione di legge condizionale; questioni di esistenza e di unicità; legge condizionale rispetto a una variabile aleatoria discreta; legge condizionale in presenza di una densità congiunta; legge condizionale e indipendenza; legge condizionale di una funzione composta; schema di Bayes; speranza condizionale e sue proprietà elementari.
• Varianza e covarianza: lo spazio L²; varianza e scarto quadratico medio; diseguaglianze di Markov e di Cebiscev; covarianza e coefficiente di correlazione; variabili aleatorie non correlate; varianza di una somma; calcolo esplicito di alcune varianze.
• Funzioni caratteristiche e legge normale: iniettività della trasformazione di Fourier; proprietà elementari di una funzione caratteristica; derivabilità di una funzione caratteristica; funzione caratteristica di un prodotto di convoluzione; legge normale ridotta; la famiglia delle leggi normali; calcolo esplicito di alcune funzioni caratteristiche.
• Convergenze: teorema di Scheffè; convergenza debole di leggi sulla retta; teorema di Paul Lévy; richiami sul logaritmo principale nel campo complesso; convergenza debole di leggi concentrate sugli interi; vari tipi di convergenza per variabili aleatorie reali; legge dei grandi numeri per variabili aleatorie non correlate; legge dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti e isonome; teorema di Lindeberg-Lévy.

Testo consigliato:

• Primo e secondo lemma di Borel-Cantelli
• Uniforme integrabilità: definizione; proprietà elementari; teorema di Vitali.
• Successioni stazionarie: tribú degli eventi invarianti; teorema ergodico (o legge dei grandi numeri per successioni stazionarie); caso particolare dell'indipendenza (legge forte di Kolmogorov).
• Martingale discrete: generalità sui processi; lemma di misurabilità di Doob; proprietà della speranza condizionale; martingale e sottomartingale; esempi elementari; processi prevedibili; trasformazione di uàna martingala secondo Burkholder; tempi d'arresto; teorema d'arresto; interpretazione nell'ambito delle scommesse; diseguaglianza di Doob sul numero degli attraversamenti; convergenza quasi certa per una sottomartingala limitata in L¹; compensatore prevedibile di un processo; compensatore del quadrato di una martingala; convergenza di serie di variabili aleatorie indipendenti; leggi dei grandi numeri; problema dei segni aleatori; martingale con incrementi maggiorati in L¹; estensione del secondo lemma di Borel-Cantelli; lemma di Wald; rovina del giocatore; martingale chiuse e loro caratterizzazione mediante l'uniforme integrabilità dimostrazione probabilistica del teorema di Radon-Nikodym.
• Nuclei: nozione di nucleo; trasformazione di una funzione o di una misura mediante un nucleo; composizione di nuclei; le nozioni di misura definita da una densità e di misura immagine col linguaggio dei nuclei; teoremi delle classi monotone; loro applicazione al concetto di nucleo e al principio per la coincidenza di due misure; le leggi condizionali col linguaggio dei nuclei; schema di Bayes; la misura prodotto e il teorema di Fubini col linguaggio dei nuclei; enunciato del teorema di Ionescu-Tulcea.
• Catene di Markov: definizione di catena di Markov; realizzazione canonica di un nucleo markoviano; forma forte della proprietà di Markov; funzioni invarianti e funzioni eccessive; legami col concetto di martingala; caso di uno spazio degli stati discreto; comunicazione tra stati; stati transitori e stati ricorrenti; caso irriducibile; esistenza di misure invarianti.
• Il teorema di Ionescu-Tulcea: dimostrazione; applicazione alla costruzione del prodotto di una famiglia infinita di misure di probabilità.
• Esistenza di leggi condizionali: il teorema di Irina; casi topologici di sua applicabilità spazi misurabili ``regolari"; sistemi proiettivi di leggi e loro limiti.
• Moto browniano: processi additivi; lemma di continuità di Kolmogorov; costruzione di un moto browniano; misura di Wiener; proprietà delle traiettorie.

Saranno disponibili note dattiloscritte fornite dal docente. Il seguente libro potrà servire come testo di consultazione:

L'EQUAZIONE DELLE ONDE - L'equazione di D'Alembert e il problema di Cauchy; soluzione fondamentale per l'operatore delle onde, determinazione del supporto e supporto singolare; l'esistenza e l'unicità e contiuità sui dati della soluzione (buona positura) del problema di Cauchy; il dominio di dipendenza e sue conseguenze.

IL PROBLEMA DI CAUCHY PER SISTEMI FORTEMENTE IPERBOLICI IN SPAZIO UNIDIMENSIONALE - Sistemi lineari di tipo fortemente iperbolici a coefficienti regolari; risoluzione con il metodo delle caratteristiche; stima di energia e l'unicità, propagazione delle singolarità.

EQUAZIONI IPERBOLICHE IN SPAZI DI DIMENSIONE ARBITRARIA - Sistemi lineari e simmetrici di Friedrichs e stima di energia; l'esistenza e l'unicità, curve bicaratteristiche e propagazione della discontinuità.

INTRODZIONE ALL'ANALISI MICROLOCALE - Il problema di Cauchy con dati iniziali distribuzionali e metodo della ottica geometrica; operatori integrali definite tramite integrali oscillanti; fronte d'onda di una distribuzione; varietà lagrangiana in spazio delle fasi, flusso hamiltoniano; teorema di Hörmander sulla propagazione delle singolarità.

EQUAZIONI DELLE ONDE NONLINEARI - L'esistenza locale; soluzioni periodiche in spazio unidimensionale; il problema dell'esistenza globale in tempo e il fenomeno dell' esplosione della soluzione; analisi microlocale nonlineare delle singolarità deboli, la nozione di distribuzioni conormali rispetto ad una iper superficie e propagazione della singolarità.

Il corso sarà dedicato ad illustrare un certo numero di argomenti, tratti soprattutto dalla geofisica, la fisica spaziale e l'astronomia, in cui diverse tecniche matematiche permettono di comprendere e "modellare" fenomeni e processi del mondo reale. Gli studenti potranno scegliere uno degli argomenti discussi, o magari qualche problema specifico collegato con essi, per approfondirlo e scrivere una "tesina", oppure per realizzare appropriate simulazioni numeriche. Il programma del corso e` coordinato con quelli di Meccanica Celeste e Meccanica Superiore.

Argomenti previsti:

• Forma e rotazione della Terra. La forma dei corpi fluidi autogravitanti in rotazione. Forma degli asteroidi e dei satelliti naturali.
• Le maree. Lo sviluppo di Fourier del potenziale mareale. Il limite di Roche e gli anelli planetari.
• La propagazione delle onde sismiche. Modelli dell'interno della Terra e degli altri pianeti.
• La struttura e la dinamica dell'atmosfera terrestre. Evoluzione delle atmosfere planetarie.
• Probabilità di collisione in orbita. Applicazione agli asteroidi e ai detriti spaziali.
• Modelli semplificati della struttura interna delle stelle. Politrope, nane bianche e limite di Chandrasekhar.

Insiemi algebrici reali e complessi.

• Varietà algebriche.
• Applicazioni regolari e razionali.
• Anello locale di un punto.
• Fascio delle funzioni regolari.
• Punti regolari e punti singolari.
• Nullstellensatz.
• Anelli regolari, sistemi regolari di parametri.
• Dimensione, lemma di normalizzazione di Noether.
• Alcune costruzioni: scoppiamenti e contrazioni
• Alcuni tratti caratteristici della geometria su un corpo non algebricamente chiuso.
• Elementi di teoria dei corpi reali. (Teoria dei corpi ordinati di Artin Schreier)
• Teorema di Sturm sulle radici di un polinomio.
• Prime nozioni sui semialgebrici. Proiezioni di semialgebrici.
• Eliminazione dei quantificatori. Teorema di Tarski Seidenberg.
• Model completezza della teoria dei corpi algebricamente chiusi e dei corpi reali chiusi.
• Teorema di Artin Lang.
• Teoremi di struttura per i semialgebrici.
• Nullstellensatz reale.
• Positivstellensatz, criterio del cambiamento di segno.

Il programma di questa seconda parte puo' subire variazioni.

Argomenti possibili sono ad esempio i seguenti:

Chiusura reale di un corpo ordinato, Spettro reale, Teorema di Artin Lang, Cenni sulla teoria delle forme quadratiche su un campo formalmente reale e relazioni con lo spazio degli ordini, criteri di separazione, criteri di basicità. Applicazioni al caso analitico locale e globale.

Varietà riemanniane

Il corso riguarderà la teoria delle foliazioni di varietà differenziabili. Il programma esatto potrà essere concordato tenendo conto delle conoscenze e degli interessi degli studenti. Il programma di massima prevede:

Foliazioni su superfici (eventualmente cenni su foliazioni singolari) Definizione generale di foliazione e olonomia Teoremi di stabilità locali e globali Il caso di codimensione 1 Teorema di Novikov Teorema di Sacksteder

Bibliografia:

Il corso non ha prerequisiti: occorre una certa conoscenza della matematica ordinaria, in quanto si giunge da zero a trattare gli elementi fondamentali alla base della ricerca logica contemporanea.

1. LOGICA ELEMENTARE

2. TEORIA DEGLI INSIEMI

3. TEORIA DEI MODELLI

Testi consigliati:

L'argomento del corso sarà deciso dopo una discussione con gli studenti interessati: la scelta verterà su una delle due opzioni seguenti, all'interno delle quali sono poi possibili sostituzioni e/o aggiunte di argomenti collegati.

Testi consigliati:

Opzione 2: Il calcolo dei sequenti e la consistenza di logica e aritmetica

Il corso non ha prerequisiti specifici, ma richiede una discreta maturità matematica.

La deduzione naturale e il calcolo dei sequenti "alla Gentzen". Teorema dell'eliminazione del taglio e forma normale. La consistenza della logica elementare e dell'aritmetica senza induzione.

La consistenza dell'aritmetica e problemi connessi.

Testi consigliati:

Obiettivo generale del corso consiste nell'affrontare i problemi dell'insegnamento- apprendimento della matematica dal punto di vista psico-pedagogico. Il corso si divide in due parti, tra loro connesse, ma che potranno essere seguite anche indipendentemente. Una prima parte, che puo' essere considerata di approccio ai problemi generali dell'insegnamento e apprendimento della matematica, trattero' questioni generali riguardanti l'apprendimento - insegnamento in matematica. Saranno trattate le linee generali delle piu' importanti teorie psicologiche che forniscono il quadro di riferimento classico alla ricerca in didattica della matematica. La seconda parte, che puo' considerarsi di approfondimento, tratterà temi specifici seguendo una suddivisione classica per settori disciplinari. In questa seconda parte, un posto particolare verrà riservato all'analisi del rapporto tra l'educazione matematica e l'uso del computer, inteso come particolare supporto didattico. Verrà analizzato un particolare software per la didattica della geometria rispetto alla sua utilizzazione pratica in un curriculum regolare. Il corso si articolerà nel modo seguente.

Primo semestre

• La matematica come disciplina teorica e i processi "intuitivi" coinvolti nel far matematica. Il problema didattico del rapporto tra intuizione e rigore.
• Processi cognitivi, cenni ai differenti approcci della psicologia al problema dell'insegnamento e dell'apprendimento.
• Fenomeni didattici. La nozione di sistema didattico e di situazione didattica.
• La nozione di contratto didattico.
• La nozione di Campo concettuale.
• Interazione sociale ed educazione matematica. Il ruolo del linguaggio e della comunicazione linguistica nella costruzione del sapere matematico.
• Il problema della rappresentazione e dei modelli.

Secondo semestre

• Geometria. Rappoto tra geometria e realt=E0: concetti figurali e loro dinamica. Utilizzazione di un software per la didattica della geometria.
• Analisi di un percorso di geometria per la scuola secondaria superiore; obiettivi, motivazioni, analisi dei processi di apprendimento attraverso lo studio degli elaborati degli allievi.
• Il problema della 'dimostrazionè. Aspetti logici e didattici. moltiplicative. Sistemi numerici, i successivi ampliamenti: dai naturali ai reali.
• Algebra. Il simbolismo algebrico come strumento per pensare.

Riferimenti bibliografici di base

• Arzarello F., Bazzini L. & Chiappini G. Algebra come strumento di pensiero, CNR quaderno n. 6, 1994
• Fischbein E., Intuition in science and mathematics. Reidel 1987 Kilpatrick J.(ed) Mathematics and Cognition, 1990

Il Corso è diviso in due moduli semestrali e seguirà il programma indicato. Il primo modulo non costituisce prerequisito per il secondo. Gli studenti avranno la possibilità di affrontare un particolare problema che verrà valutato ai fini dell'esame. Potranno anche proporre propri argomenti affinchè vengano trattati a lezione, a condizione che rientrino nel tema generale affrontato nel semestre.

• Osservazione del cielo, sistemi di riferimento e coordinate celesti
• Il tempo. Sistemi recenti di misura: accuratezza, stabilità, sincronizzazione ed effetti relativistici
• Moto della Terra come punto massa. Asfericità e moti della Terra (sviluppo in multipoli, equazioni di Eulero, precessione libera, nutazioni e precessione forzata)
• I corpi del Sistema Solare visti da tre diversi punti di vista: la Terra, le ``stelle fissè', le sonde spaziali
• Le maree e gli effetti della evoluzione mareale nel sistema Terra-Luna e nel Sistema Solare (perchè la Luna ci volge la stessa faccia, perchè Mercurio e Venere non hanno satelliti, perchè Phobos sta cadendo verso Marte ....)

• Principi di navigazione spaziale (razzi, missili balistici, satelliti artificiali, orbite di trasferimento e dinamica di sonde interplanetarie)
• Effetti della asfericità della Terra sul moto dei satelliti artificiali (risonanze, effetti secolari e misura del campo gravitazionale terrestre)
• Perturbazioni non gravitazionali: dinamica e accumulazione degli effetti nel tempo
• Missioni spaziali per la misura della costante di gravitazione universale (dinamica e perturbazioni)
• Verifica del principio di equivalenza in un satellite spinnato (dinamica della rotazione supercritica, moti di whirl e loro stabilizzazione)

Orario: Martedi' 11-12 Aula 1 (Dip. Mat.); Mercoledi' 15-16 Aula 2 (Dip. Mat); Giovedi' 9-10 Aula 1 (Dip. Mat)

Il Corso seguirà il programma indicato. Il tempo da dedicare ai vari argomenti dipenderà dagli interessi degli studenti e dalla loro preparazione di partenza. Il Corso è diviso in due moduli semestrali. Il primo modulo non costituisce prerequisito per il secondo per il quale si richiedono conoscenze al livello dei corsi del primo bienno.

• Il problema dei due corpi. Equazione dell'orbita, elementi kepleriani, equazione di Keplero e legge oraria.
• Soluzione numerica dell'equazione di Keplero; il problema dei due corpi come banco di prova per integratori numerici
• Il problema dei tre corpi ristretto circolare in due e in tre dimensioni. Integrale di Jacobi e criterio di stabilità di Hill.
• Formulazione Hamiltoniana. Variabili di Delaunay. Variabili di Poincarè.
• Piccoli divisori e moti caotici; relazione tra caos e instabilità macroscopica.
• Il problema dei tre corpi ristretto ellittico. Applicazioni al sistema solare.

• Il problema degli N corpi con N>2. Topologia del problema dei tre corpi generale. Criterio di stabilità di Zare-Smale.
• Passaggio al limite dal problema generale al problema ristretto dei 3 corpi ; relazione tra il criterio di Zare-Smale e il criterio di Hill; quantificazione degli effetti destabilizzanti.
• Integrazione numerica del problema dei 3 corpi ristretto. Superfici di sezione di Poincarè e rappresentazione del moto nel piano delle fasi.
• Integrazione numerica delle equazioni del moto degli N-corpi. Sorgenti di errore, analisi degli errori e loro accumulazione.

PROGRAMMAZIONE LINEARE

Formulazioni di problemi. Modelli matematici. Risoluzione geometrica per la programmazione lineare. Coni, poliedri, politopi. Teorema di rapresentazione dei poliedri. Linealita' e cono di recessione. Teorema sulla caratterizzazione dell'ottimalita'. Teorema fondamentale della PL. Teoremi di Tucker e di Farkas. Teorema di dualita' (debole e forte). Teorema degli scarti complementari. Struttura algebrica della PL. Soluzioni di base. Algoritmo del simplesso (correttezza).

PROBLEMI DI FLUSSO

Complessita' computazionale. Algoritmi polinomiali. Elementi di teoria dei grafi (cammini, cicli, alberi, matrice di incidenza). Formulazioni di problemi e modelli matematici. Visita dei grafi. Problemi di flusso di costo minimo e problemi di potenziali. Soluzioni di base ed alberi. Visite anticipate e posticipate degli alberi. Integralita' delle soluzioni di base. I costi ridotti. Teorema di Bellman. Simplesso per flussi: cambio di base ed aggiornamento del flusso. Il problema dell'albero dei cammini minimi: formulazioni e proprieta'. Algoritmo del simplesso per cammini. Algoritmo di Dijkstra: correttezza e complessita'. Il problema del flusso massimo: formulazioni e proprieta'. Teorema del "flusso massimo-taglio minimo". Algoritmo di Ford e Fulkerson: correttezza.

PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA: Formulazioni di problemi tramite variabili intere (zaino, commesso viaggiatore), modelli matematici. Proprieta' di unimodularita'. Valutazioni superiori ed inferiori. Il metodo del "Branch and Bound". Regole di visita implicita. I tagli di Gomory.

PROGRAMMAZIONE LINEARE INTERA:

Formulazioni di problemi: carico fisso, vincoli disgiuntivi, variabile a valori prefissati, unione di insiemi, partizione, copertura, riempimento. Teorema di equivalenza tra PL e PLI. La teoria delle disuguaglianze valide: arrotondamento intero, disuguaglianze disgiuntive, disuguaglianze superadditive. Combinatorica poliedrale: il politopo dell'accoppiamento perfetto, il politopo del ricoprimento per archi, il politopo dell'assegnamento. Il 1 teorema di Edmonds. Teoria della dualita' nella PLI: teorema di dualita' debole per accoppiamento. Teorema di Konig-Egervary. Il 2 teorema di Edmonds.

PROGRAMMAZIONE NONLINEARE:

Caratteristiche generali: problemi vincolati e non vincolati. Metodi di convergenza locale o globale. Metodo di discesa, metodo del gradiente. Ricerca esatta ed inesatta. Regole di Armijo-Goldstein. Teorema di Wolfe. Teorema di convergenza globale. Tecnica del "backtracking". Metodi per la programmazione nonlineare vincolata. Penalizzazione esatta e asintotica. Il teorema di Courant. Lagrangiane aumentate. Teorema di convergenza globale. Il metodo dei moltiplicatori. Lemma astratto di convergenza per metodi di PNL. I metodi di linearizzazione. Il metodo di Frank-Wolfe: teorema di convergenza globale. Cenni di ottimizzazione nondifferenziabile.

PROBLEMI E MODELLI

E' un corso di base sull'inferenza statistica, che richiede come prerequisito un corso semestrale di Calcolo delle Probabilità.

• Cenni di Statistica Descrittiva.
• Modelli Statistici Modelli dominati, dominanti privilegiate. Riassunti esaustivi, completezza; i modelli esponenziali.
• Teoria della Stima Il criterio quadratico; stima ed esaustività. Stime di massima verosomiglianza. Modelli lineari; teorema di Gauss Markov.
• Teoria dei Test. Criteri di preferibilità; livello e potenza. Test unilateri. Test del rapporto di verosomiglianza. Test su campioni gaussiani. Test del chi-quadro.
• Il modello statistico Bayesiano. Le decisioni in un modello Bayesiano. Stima e test dal punto di vista Bayesiano.

Si tratta di un corso monografico dedicato ai processi stocastici di Levy. Come prerequisiti richiede due semestri di Calcolo delle Probabilità.

Il corso è diviso in due moduli, largamente indipendenti.

Il primo modulo sarà dedicato allo studio dell'opera di Archimede in generale e ad un'analisi dettagliata di alcuni dei suoi testi. Si affronterà anche il problema della trasmissione dell'opera archimedea e quello dell'impatto che la riscoperta dei suoi testi ebbe sulla nascita della matematica moderna. In particolare verrà discusso il ruolo di tale riscoperta nella rivoluzione concettuale operata da Galileo. Nel secondo modulo si affronterà piu' da vicino lo studio della tradizione archimedea nel corso del XVI secolo. In particolare verrà discussa l'opera di Francesco Maurolico e di Federico Commandino e la loro influenza sulla matematica successiva: Luca Valerio, Bonaventura Cavalieri, Torricelli e Galileo stesso.

Il corso si prefigge di introdurre gli elementi essenziali della programmazione: nozioni sintattiche e semantiche per la descrizione dei linguaggi di programmazione, nozioni metodologiche per l'analisi e la derivazione di semplici programmi. Vengono trattati i paradigmi di calcolo imperativo e ricorsivo attraverso metodi formali.

Concetti introduttivi

Elementi di sintassi

Semantica assiomatica

Progetto di programmi iterativi

Il paradigma di calcolo funzionale

Materiale didattico: appunti distribuiti dal docente.

Testi di consultazione:

Scopo del corso è fornire i concetti di base per "capire" un linguaggio di programmazione e una sua particolare realizzazione, al fine di usarne coscientemente caratteristiche e strutture e di valutarne l'adeguatezza ad una particolare area di applicazione. A tale scopo è cruciale dare una descrizione matematica dei linguaggi di programmazione, ovvero definire la loro semantica. Nel corso verrano presentati e confrontati tra loro i modelli semantici piu' diffusi, cioè quello operazionale e quello denotazionale.

Materiale didattico:

Testo di riferimento:

Testi di consultazione:

Dimostrazioni dell'esistenza di infiniti numeri primi. Il problema delle formule per l'n-esimo numero primo. I primi in alcune progressioni aritmetiche.

Nota: Le parti contrassegnate con asterisco sono da intendersi senza dimostrazione.

Testi di riferimento:

Coomologia singolare. Prodotti. Orientazione delle varieta'. Coomologia a supporto compatto. Teoremi di dualita' di Poincare', Alexander, Lefschetz. Teoremi di Lefschetz.

Geometria e topologia delle curve algebriche reali.

• Curve algebriche reali piane affini e proiettive, complessificazione di una curva reale, curve irriducibili, curve ridotte, punti sigolari. Poligono di Newton. Spazio delle curve. Discriminante.

• Topologia di una curva non singolare proiettiva piana reale e complessa. Classificazione per isotopia e per isotopia rigida. Diseguaglianza di Harnack. Costruzione delle curve di Harnack e di Hilbert. Costruzione di Viro. Alcune proibizioni. Tipo di una curva. Formule di Rokhlin e Mishachev. Introduzione alla topologia delle superfici algebriche reali.

Geometria dei Poliedri Convessi.

• Varietà Toriche. Teorema di Bernstein - Kouchnirenko. Triangolazioni convesse e politopo secondario. Relazioni con la geometria e topologia delle ipersuperfici algebriche reali. Risoluzione delle singolarità.

Il corso ha una durata di 40 ore: 4 ore settimanali. Le lezioni avranno inizio il 2/02/98, nei giorni Martedi, Mercoledi' ore 17-19 Aula Mancini.

• Calcolo delle forme differenziali nel caso Euclideo.
• Sottovarietà dello Spazio Euclideo (applicazioni del Teorema delle funzioni Implicite).
• Gruppi di matrici. "Repres mobiles" e teoremi classici sulle superfici.
• Varietà differenziabili (Gruppi classici, varietà Grassmanniane, varietà di bandiere, varietà proiettive).
• Fibrato tangente e fibrati vettoriali. Campi vettoriali, forme differenziali. Calcolo differenziale sulle varietà. Derivata di Lie.
• Il formalismo Langrangiano e Hamiltoniano.
• Metriche Riemanniane. Spazi iperbolici e metrica di Lorentz. La metrica di Fubini-Study.
• Integrazione sulle varietà orientate. Teorema di Stokes.
• Connessioni e curvatura. Connessione di Levi-Civita.
• SU(2) e la formulazione geometrica della teoria di Gauge.

Il corso ha una durata di 40 ore. Le lezioni avranno inizio il 15/11/97 , il Mercoledi' ore 11-13 Aula Tonelli.

• Polinomi in più variabili e teoria elementare dell'eliminazione.
• Spazi Proiettivi e funzioni razionali.
• Forme covarianti per n-uple di punti sulla retta proiettiva e invariante j.
• Curve piane, intersezione con rette e cono tangente.
• Punti singolari e molteplicità.
• Teorema di Bezout.
• Flessi di una cubica liscia e teorema delle 27 rette.
• Sviluppi di Puiseaux e risoluzione delle singolarità
• Varietà affini e teorema degli zeri.
• Varietà proiettive e prodotti.
• Anelli di valutazione discreta.
• Grado di un morfismo fra curve liscie proiettive.
• Divisori, divisori principali, divisori speciali, divisore canonico.
• Serie lineari, genere e teorema di Riemann-Roch (forma debole).
• Estensioni separabili e differenziali razionali su una curva.
• Residui astratti secondo Tate.
• Teorema dei residui e caratterizzazione del divisore canonico.
• Teorema di Riemann-Roch (forma forte) ed applicazioni.
• Curve ellittiche.

Il corso ha una durata di 40 ore.

I. Geometria Riemanniana e geometria Hermitiana.

• Varietà reali e complesse.
• Metriche Riemanniane e Hermitiane.
• Connessini; derivazione covariante; geodetiche.
• Curvatura: tensore di curvatura, curvatura di Ricci, curvatura scalare.
• Teorema di Myers
• Varietà complete.

II. Gruppi e algebre di Lie.

• La teoria di Lie.
• Geometria Riemanniana dei gruppi di Lie.
• Gruppi di Lie compatti e semisemplici.

III. Teoria degli spazi simmetrici.

Il corso ha una durata di 24/26 ore: 2 ore settimanali. Le lezioni avranno inizio il 19/01/98, nel giorno Lunedi' ore 17-19 Aula Fermi. (Particolarmente adatto come corso di Geometria per studenti di Analisi).

• Geometria Riemanniana locale.
• Curvatura, geodetiche, applicazione esponenziale.
• Operatore stella su varietà compatte.
• Geometrie 2-dimensionali di curvatura costante.
• Operatore di Laplace e teoria armonica.
• Dualità di Poincaré.
• Strutture quasi-complesse e integrabilità.
• Geometria Kaehleriana locale.
• Operatore stella per forme a valori in un fibrato.
• Operatore Laplaciano per il delta-bar.
• Dualità di Serre.
• Teorema di svanimento di Kodaira.
• Teorema di immersione di Kodaira.
• Varietà abeliane.

Il corso ha una durata di 24/26 ore: 2 ore settimanali. Le lezioni avranno inizio il 20/01/98, nel giorno Martedi' ore 17-19 Aula Fermi.

• Spazio di Teichmüller e spazio dei moduli.
• Gruppo modulare di Teichmüller, gruppo delle trecce e gruppo di Torelli.
• Differenziali di Strebel e triangolazioni dello spazio dei moduli.
• Teoria dell' intersezione per le varietà orbitali.
• Il modello matriciale nel caso Hermitiano e enumerazione dei grafi a nastro.
• Caratteristica di Eulero-Poincaré dello spazio dei moduli.
• Integrazione di Selberg.
• Numeri di intersezione secondo Witten-Kontsevich.
• Il caso delle matrici reali simmetriche.
• Carattestica di Eulero degli spazi di moduli di curve reali.
• Funzioni simmetriche di Jack, polinomi zonali e relazioni tra spazi di moduli di curve reali e complesse.

Giovedi', 16:00-19:00; inizio: 30/10/97, Aula Fermi.

Seminario di Geometria per il Corso di Perfezionamento. (50/60 Ore)

Alcuni tra i possibili argomenti trattati saranno:

• L'applicazione di Abel-Jacobi.
• Jacobiane intermediarie e problema di Lüroth.
• Variazioni di Strutture di Hodge.
• Funzioni normali.
• Equazione di Picard-Fuchs.
• Le congetture di Witten e il caso della gravità pura.
• Algebra di Virasoro.
• Coomologia equivariante.
• Coomologia quantistica equivariante.
• La congettura della simmetria speculare.
• Lavori di Givental.
• Sistemi Hamiltoniani completamente integrabili e curve spettrali.
• Supersimmetria.
• Teoria di Yang-Mills supersimmetrica.