1. Algebra concreta
Numeri interi e numeri naturali.
Caratterizzazione assiomatica, principiodel minimo, del
massimo e di induzione.
Divisione, divisibilità e massimocomun divisore,
algoritmo di Euclide, identità di Bézout, teorema di attorizzazione
unica.
Classi di resto, congruenze e sistemi dicongruenze:teorema
cinese del resto, ordine moltiplicativo.
Piccolo teoremadi Fermat e funzione di Eulero.
Numeri razionali e numeri reali: caratterizzazione assiomatica.
Polinomi a coefficienti in un campo: divisione, fattorizzazione
e teoremadi Ruffini. Numeri complessi e teorema fondamentale dell'algebra.
Fattorizzazione irriducibile su R.
2. Teoria degli insiemi
Insiemistica ingenua ed assiomatica di Zermelo. Elementi
di combinatoria finita e infinita. Aritmetica cardinale, teoremi di
Cantor e di Koenig-Zermelo. Proprietà dei buoni
ordinamenti. Assioma di scelta, teorema di Zermelo e tricotomia dei cardinali.
I problemi delcontinuo e dell'esponenziale.
3. Teoria dei gruppi
Sottogruppi e omomorfismi. Ordine di un elemento
in un gruppo. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Gruppi ciclici,
gruppi liberi, gruppi abeliani, gruppi di permutazioni e gruppi diedrali.
Classi laterali e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali e gruppi quoziente.
Teoremi di omomorfismo per gruppi. Gruppi finiti, teorema di Cauchy e teoremi
di Sylow. Azione di un gruppo su un insieme. Automorfismi interni. Classi
diconiugio. Formula delle classi. Prodotti diretti e semidiretti di gruppi.
4. Teoria degli anelli
Anelli (commutativi con unità): elementi invertibili,
divisori di zero e nilpotenti, domini di integrità. Sottoanello
fondamentale e caratteristica.
Anello delle frazioni e campo quoziente di un dominio
d'integrità. Ideali ed operazioni con gli ideali. Omomorfismi, quozienti
e teorema di
omomorfismo.
Prodotto diretto di anelli. Anelli euclidei, principali
e fattoriali.
Anelli di polinomi. Derivata di un polinomio e fattori
multipli. Lemma di Gauss e fattorizzazione unica dei polinomi a coefficienti
in un anello fattoriale. Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert.
5. Teoria dei moduli
Moduli su un campo, sull'anello degli interi, sull'anello
dei polinomi in una variabile. Sottomoduli, quozienti e omomorfismi, somma
diretta. Generatori di un modulo, moduli ciclici.
6. Teoria dei campi
Estensioni algebriche e trascendenti. Estensioni
finite e semplici. Campi finiti. Campo di spezzamento di un polinomio ed
estensioni normali. Teorema dell'elemento primitivo. Gruppo di Galois.
Corrispondenza di Galois.
Calcolo del gruppo di Galois di polinomi di grado basso.
Risolubilità con riga e compasso.
TESTI DI RIFERIMENTO
B. Scimemi, Algebretta, Ed. Decibel (Zanichelli)
C.Procesi, Teoria dei gruppi, Ed. Decibel (Zanichelli)
C.Procesi, Teoria degli anelli, Ed. Decibel (Zanichelli)
S.Abeasis e C.Procesi, Teoria di Galois, Ed. Decibel
(Zanichelli)
N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti
L. Childs, Algebra un'introduzione completa
Elementi di teoria degli insiemi.
Gruppi e azioni di gruppo su un insieme.
Corpi, campi, matrici, determinante di una matrice.
Numeri complessi, quaternioni. Spazi vettoriali.
Applicazioni lineari. Determinante di un endomorfismo.
Sistemi lineari.
Dualità negli spazi vettoriali di dimensione finita.
Spazi affini. Incidenza, appartenenza, parallelismo.
Rapporto semplice. Insiemi convessi negli spazi affini
reali.
Prodotti tensoriali. Algebra esterna di uno spazio vettoriale.
Endomorfismi lineari negli spazi vettoriali di dimensione
finita: polinomio minimo e polinomio caratteristico, decomponibilità
e riducibilità; forma canonica razionale; decomposizione spettrale;
forma di Jordan; endomorfismi semisemplici e nilpotenti.
Alcune proprietà del gruppo lineare.
Elementi di geometria proiettiva. Birapporto. Teoremi
di Desargues e di Pappo.
Forme bilineari e sesquilineari. Prodotti scalari, norme,
distanze. Spazi ortogonali. Struttura dei gruppi ortogonali e unitari.
Teoremi di estensione e cancellazione di Witt.
Endomorfismi negli spazi ortogonali e unitari.
Quadriche proiettive e polarità. Quadriche affini.
Geometria delle coniche. Proprietà metriche delle quadriche.
Elementi di geometria iperbolica.
Testo: M.Nacinovich "Elementi di geometria analitica" Liguori, Napoli, 1996.
1) SERIE E SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Convergenza uniforme. Il teorema di Ascoli-Arzelà.Il teorema di Weierstrass-Stone.Derivazione e integrazione per serie. Serie di potenze nel campo complesso. Funzioni olomorfe in una variabile. Funzioni periodiche. Sviluppi in serie di Fourier. Convergenza delle serie di Fourier.
2) CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ' VARIABILI
Derivata parziali. Funzioni differenziabili. Derivate successive. Funzioni composte. Formula di Taylor. Massimi e minimi per funzioni di più variabili. Funzioni omogenee.
3) EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Introduzione. Il problema di Cauchy. Prolungamento delle soluzioni. Il teorema di Peano. Equazioni differenziali lineari. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Cenni sul calcolo delle variazioni. Cenni a equazioni a derivate parziali.
4) L'INTEGRAZIONE DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Introduzione. La misura secondo Peano-Jordan. Cambiamento di variabili negli integrali multipli.Derivazione sotto il segno di integrale.
5) CURVE E SUPERFICI
Curve. Lunghezza di una curva. Superfici. Area di una superficie. Integrali superficiali. Il teorema delle funzioni implicite in 2 o 3 variabili. Il teorema delle funzioni implicite in generale. Massimi e minimi vincolati.
6) FORME DIFFERENZIALI
Forme differenziali lineari. Forme chiuse e forme esatte. Forme differenziali e equazioni differenziali. Il teorema di Stokes. Cenni a forme differenziali di grado k.
Testi consigliati: E.Giusti "Analisi Matematica"
Vol. II ed Boringhieri.
G.Prodi "Lezioni di Analisi Matematica II", ed. ETS
Elettrostatica
La legge di Coulomb. Unità di misura. Campo Elettrico. Il principio di sovrapposizione ed il campo Elettrico prodotto da distribuzioni discrete e continue di cariche. Flusso del campo Elettrico. Teorema di Gauss. Leggi di trasformazione del campo Elettrico per rotazioni, traslazioni e riflessioni delle sorgenti. Il campo Elettrico di distribuzioni simmetriche: distribuzione a simmatria sferica; distribuzione lineare su un filo rettilineo; distribuzione piana. Il campo Elettrico in un condensatore a facce piane parallele. Discontinuità del campo Elettrico attraverso una distribuzione superficiale di carica. Teorema della divergenza. Potenziale del campo Elettrico. Rotazione del campo Elettrico. Potenziale prodotto da diverse distribuzioni di carica. Il dipolo. Comportamento del potenziale a grandi distanze: sviluppo in multipoli. Forza e momento esercitate da un campo Elettrico su una distribuzione rigida di cariche in approssimazione del dipolo. Energia di una distribuzione di cariche (discreta o continua). Densità di energia. Circuitazione del campo Elettrico. Teorema di Stokes. Forza su un elemento di superficie carico. Assenza di posizioni di equilibrio stabile nel vuoto.
Elettrostatica dei conduttori
Definizione di conduttore. Il campo Elettrico e la distribuzione di carica dentro e sui conduttori. Proprietà delle linee di forza del campo Elettrico. L'induzione elettrostatica. Il problema di Dirichlet e il problema di Neumann. Gabbia di Faraday. Riduzione del problema di Neumann al problema del Dirichlet: coefficienti di capacità e coefficienti di potenziale. Lo schermo elettrostatico. Capacità e condensatori. Metodi di soluzione dell'equazione di Laplace: cariche immagine.
Corrente elettrica
Corrente elettrica. Densità di corrente. Conservazione della corrente. Correnti stazionarie. Legge di Ohm. Potenza dissipata. Teoria di Lorentz-Drude della conduzione elettrica. Scarica e carica di un condensatore attraverso una resistenza. Concetto di forza elettromotrice (f.e.m.). Generatori di f.e.m. La pila.
Magnetismo (I)
Fenomenologia. Campo Magnetico. Forza di Lorentz. Campi elettrici e magnetici e cambiamenti di riferimento.
Elementi di teoria della Relatività
Il principio di Relatività. Leggi di trasformazione delle grandezze fisiche. Trasformazioni di Lorentz. Dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze e trasformazione delle velocità. Geometria dello spazio-tempo. Dinamica relativistica. Teorema delle forze vive. Leggi di trasformazione dell'impulso e dell'energia. Trasformazione delle forze. Leggi di trasformazione della carica, della densità di carica e di corrente. Trasformazione del campo Elettrico. Campo Elettrico prodotto da una carica in moto uniforme. Forza su una carica in moto dovuta ad un filo percorso da corrente. Campo Magnetico prodotto da un filo rettilineo percorso da corrente.
Magnetismo (II)
Proprietà del campo Magnetico prodotto dal filo percorso da corrente: le equazioni del rotatore e della divergenza. Potenziale vettore. Campo Magnetico prodotto da una distribuzione di corrente. Campo prodotto da un filo percorso da corrente. Forza esercitata dal campo su un circuito percorso da corrente. Forza fra due circuiti. Leggi di trasformazione del campo Magnetico e del potenziale vettore per rotazioni, traslazioni e riflessioni delle sorgenti. Campo Magnetico di una spira circolare. Campo Magnetico di un solenoide. Discontinuità del campo Magnetico attraverso una distribuzione superficiale di corrente. Campo Magnetico di una lamina di corrente. Il ``condensatorè' magnetico. Forza agente su un elemento di corrente di superficie. Potenziale vettore a grandi distanze. Momento di dipolo magnetico. Forza e momento su un dipolo magnetico in campo magnetico.
1. Sistemi dinamici discreti. Il teorema di Hartman-Grobman per i diffeomorfismi, stabilità di punti fissi e soluzioni periodiche, i teoremi di Liapunoff, diffeomorfismi che conservano i volumi, il teorema del `ritorno' di Poincarè, applicazioni ai sistemi hamiltoniani, l'equazione logistica e il suo significato nella dinamica delle popolazioni, sistemi dinamici caotici secondo Devaney, il teorema della varietà stabile e instabile.
2. Sistemi dinamici continui. Teoremi di esistenza unicità e dipendenza continua dai dati, sistemi lineari, sistemi autonomi, il piano delle fasi e i suoi fenomeni,soluzioni periodiche, il teorema di linearizzazione, teoremi di stabilità,applicazioni, oscillatori elettrici, le equazioni di Volterra-Lotka, il triodo oscillante e l'equazione di Van der Pol, il sistema di Lorenz.
3. Calcolo delle variazioni. Problemi classici, la brachistocrona, superfici di rotazione di area minima, il problema di Didone, minimi forti e deboli, i lemmi fondamentali, l'equazione di Eulero, le condizioni di Erdman-Weierstrass, regolarità degli estremali, condizioni naturali, la diseguaglianza isoperimetrica, funzionali che dipendono da derivate di ordine superiore, il problema della trave elastica incastrata e appoggiata.
4. Vettori e tensori. Cinematica. Cinematica relativa. I principi della dinamica del punto e dei sistemi estesi. Dinamica dei corpi rigidi. I vincoli lisci; principio di D'Alambert e dei lavori virtuali: equazioni di Lagrange. Stabilita dell'equilibrio e periodi delle piccole oscillazioni.
Spazi di misura. Esempi: misura di Lebesgue in Rn, misure di Hausdorff. Dimensione di Hausdorff.
Funzioni misurabili e loro proprietà. Funzioni essenzialmente limitate. Misurabilità e continuità. Convergenza in misura.
L'integrale: proprietà, passaggio al limite sotto il segno di integrale, confronto fra gli integrali di Riemann e di Lebesgue. Assoluta continuità, lo spazio L1, teoremi di densità in L1.
Misure prodotto, teoremi di integrazione successiva, completamento delle misure prodotto.
Derivazione: punti di Lebesgue, funzioni assolutamente continue, funzioni a variazione limitata, teorema fondamentale del calcolo integrale.
Spazi normati, spazi di Banach, prodotti scalari, operatori lineari, operatori limitati.
Spazi di Hilbert, proiezioni su convessi chiusi, dualità, sistemi ortonormali, completezza. Trasformata di Fourier.
Spazi Lp e loro proprietà. Dualità.
Analisi funzionale: estensione di operatori lineari, uniforme limitatezza, applicazioni aperte ed a grafico chiuso. Riflessività, convergenze deboli, compattezza sequenziale.
Il corso consiste di 5 ore settimanali, di cui 2 di esercitazioni.
Durante il corso verranno distribuite delle dispense che rispecchieranno
quanto svolto a lezione; il contenuto di tali dispense costituisce l'effettivo
programma d'esame. L'esame comprende una prova scritta ed una prova orale.
Funzioni convesse. Semicontinuità. Coniugata di una funzione convessa. Sottodifferenziale. Operatori monotoni. Operatori massimali monotoni. Esempi.
Equazione di Eulero di un funzionale. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di un'estremale. Esempi ed applicazioni.
Disequazioni variazionali. Teoremi di esistenza. Esempi ed applicazioni.
Teoremi di punto fisso (Banach, Brouwer, Schauder). Applicazioni.
Multifunzioni. Selezioni. Teorema di punto fisso di Kakutani. Esempi ed applicazioni.
Il corso consiste di 5 ore settimanali, 2 delle quali dedicate ad esercizi od a chiarimenti. Durante il corso verranno distribuite delle dispense che rispecchieranno quanto svolto a lezione; il contenuto di tali dispense costituisce l'effettivo programma d'esame. L'esame comprende una prova orale.
1) ANALISI DIMENSIONALE.
Dimensioni di una grandezza fisica. I gruppi adimensionali. Enunciato del teorema pi-greco e sua applicazione alla ricerca delle dipendenze possibili fra grandezze assegnate.
2) ANALISI TENSORIALE.
Tensori, tensori invarianti o pseudoinvarianti, operazioni tensoriali. Funzioni isotrope e pseudoisotrope e - in dettaglio - funzioni (pseudo) isotrope di vettori a valori vettoriali o scalari.
3) I FONDAMENTI DELLA RELATIVITÀ RISTRETTA.
Il concetto di osservatore. Rapporto di casualita. Il
principio d'inerzia e il problema della sincronizzazione. Linearita delle
trasformazioni spazio-temporali fra osservatori (teorema di Hegerfeldt).
Il principio di relatività. Cinematica relativistica. Esistenza
di una velocita invariante e altre importanti conseguenze del principio
di relatività. Formulazione tensoriale quadridimensionale nello
spazio di Minkowski. Dinamica relativistica della particella. Cenni sulla
dinamica dei sistemi di particelle.
1) L'EQUAZIONE DELLE ONDE DI D'ALAMBERT IN UNA DIMENSIONE.
Soluzione generale e soluzioni particolari. Richiamo dei principali risultati della teoria delle serie e degli integrali di Fourier e loro applicazione all'equazione delle onde.
2) I FONDAMENTI DELL'ELETTRODINAMICA DI MAXWELL-LORENZT.
I concetti e le equazioni di base nella formulazione tridimensionale. Le forze ponderomotrici. Conservazione della carica elettrica. Unità di carica elettrica. Invarianza relativistica della carica. Formulazione quadridimensionale. Il tensore energia-impulso. I sistemi chiusi e i principi di conservazione. Equazione delle onde e.m. ed onde piane in particolare. Onde periodiche con applicazione della teoria della serie di Fourier. Pacchetti d'onde ed applicazione della teoria degli integrali di Fourier.
Calcolo Tensoriale
I MODULO: Parte I - Pagg. 1 - 9 . Parte II - Pagg. 1 - 16 , 32 - 33 , 39 - 43 , 57 - 68 . Parte III - Pagg. 1 - 10 . Parte IV - Pagg. 1 - 7 .
Calcolo Tensoriale
Si fa riferimento alle dispense a stampa.
II MODULO: Parte I - Pagg. 9 - 16 . Parte II - Pagg. 16 - 31 , 33 - 39 , 43 - 56 , 69 - 87 . Parte III - Pagg. 10 - 15 . Parte V - Pagg. 98 - 109 .
ll corso tratta diverse nozioni di Algebra Commutativa che sono di base nella Geometria Algebrica e nella Teoria dei Numeri.
Programma:
Richiami di algebra elementare: anelli, ideali, ideali primi e massimali, principali operazioni sugli ideali, moduli.
Anelli noetheriani, teorema della base di Hilbert.
Decomposizione primaria
Lemma di normalizzazione di Noether
Il teorema degli zeri di Hilbert.
Anelli di frazioni, localizzazione.
Dimensione di Krull di un anello.
Anelli locali, sistema regolare di parametri, dimensione di un anello locale, anelli regolari.
Dipendenza integrale, chiusura integrale, Anelli di valutazione, Anelli di valutazione discreta.
Spettro di Zariski.
Gli esempi e le applicazioni saranno
essenzialmente tratti dalla Geometria Algebrica Complessa.
Sono previste anche alcune lezioni
su aspetti computazionali dell'algebra commutativa, in particolare
sulle basi standard, che saranno svolte dal Prof. Carlo Traverso.
Bibliografia ( in ordine non alfabetico):
Miles Reid: Undergradued Commutative Algebra London Math.
Soc Stud. Text 29
Cambridge Univ. press. 1995
D. Cox J. Little D.O'Shea: Ideals Varieties and Algoriths
UTM Springer 1996
M. F. Atiyah I.G. Mc Donald: Introduction to Commutative
Algebra
Addison-Wesley 1969
H.Matsumura: Commutative algebra Benjamin 1980
D Eisenbud: Commutative algebra with a view towards algebraic
geometry
Springer 1995
O. Zariski J.P.Samuel: Commutative Algebra Springer
Alcuni argomenti svolti nel primo modulo come ad esempio il teorema degli zeri si riferiscono al caso in cui il corpo di baseè algebricamente chiuso.
Un altro caso rilevante è quando il corpo base
è un corpo ordinato: il corso intende illustrare l'algebra
commutativa in questo caso tenedo presente in particolare
la sua relazione con la geometria su un corpo reale. È una teoria
che si è molto sviluppata negli ultimi anni, pur essendo
nata negli anni trenta a partire dal XVII problema di Hilbert.
Programma:
La teoria di Artin-Schreier sui corpi ordinati, corpi reali chiusi, chiusura reale, somme di quadrati e 17^ Problema di Hilbert.
Le varie forme del teorema di Artin-Lang e del Teorema di Tarski-Seidenberg.
Caratterizzazione degli ideali primi reali, Nullstellensatz reale e Positivstellensatz per l'anello dei polinomi.
Relazione tra l'esistenza di punti reali in una una varietà l'ordinabilità del suo corpo delle funzioni razionali
Spettro reale di un corpo e di un anello,
immersione di una varietà reale nello spettro reale del suo
anello delle coordinate..
Algebra reale: Anelli di valutazione,
valutazioni e posti. ordini valutazioni reali,
posti reali.
Teorema di Baer Krull sul sollevamento degli ordini
dal corpo residuo di un anello di valutazione,
Spazio degli ordini di un corpo, sottospazi finiti.
Applicazioni alla geometria dei semialgebrici.
Bibliografia (non in ordine alfabetico):
J. Bochnak M.Coste M-F Roy: Real algebraic geometry Springer1999
M.Coste: An introduction to semialgebraic geometry
to appear
in Quaderni del Dottorato-Pisa
M.Marshall: Space of orderings and abstract real spectra. Springer 1996
C.Andradas L.Broecker J.Ruiz Constructible Sets in real
Geometry Springer 1996
O. Zariski J.P.Samuel: Commutative Algebra Springer
H.Matsumura: Commutative Algebra Benjamin 1980
Il corso tratterà alcuni
argomenti di "Analisi non lineare" volti allo studio di certe classi di
equazioni differenziali non lineari.
Per dare un'idea del punto di vista
della moderna Analisi non lineare possiamo schematizzare l'equazione differenziale
da studiare con l'equazione astratta
* E(u)=h, u in X
nella quale u è la funzione incognita cercata
nello spazio di funzioni (con assegnate proprietà) X, e h
è una funzione data in uno spazio Y.
Lo studio per mostrare l'esistenza di soluzioni e valutarne
il numero, viene svolto considerando le proprietà di invertibilità
dell'operatore E fra gli spazi X ed Y,
con lo stesso punto di vista che si usa (ad esempio nel corso di Analisi
II) quando X ed Y sono spazi di dimensione finita.
Sarà considerato
soprattutto il caso variazionale , nel quale la rosoluzione
dell'equazione * coincide con la ricerca dei punti stazionari di
una opportuna funzione reale f definita sullo spazio di funzioni
X: si dice che l'equazione * è l'equazione
di Eulero del funzionale f.
Per lo studio dei punti stazionari
di una funzione f, sono noti dall'analisi"elementare" teoremi classici
di esistenza di punti di minimo o di massimo di f.
Invece lo studio dell'esistenza
di punti stazionari di tipo diverso costituisce una vera novità
di metodo perchné richiede l'analisi della struttura topologica
indotta dai livelli della funzione f sullo spazio X.
In particolare saranno svolti i seguenti argomenti.
Calcolo differenziale e teoremi relativi in spazi di Banach
Il caso delle applicazioni fra spazi: gli operatori di
Nemitzki
Alcuni teoremi di esistenza di tipo variazionale: il teorema della sella, il teorema dell'allacciamento, il teorema delle sfere complementari, ed altri.
Studio di alcune equazioni differenziali non lineari (di tipo variazionale) mediante la ricerca dei punti stazionari di opportune funzioni (i "funzionali") definite su spazi di funzioni.
La teoria delle categorie di Lusternik e Schnirelmann ed alcuni teoremi di esistenza anche per certe equazioni differenziali in presenza di simmetrie.
Studio del numero delle soluzioni di una equazione differenziale in dipendenza dalla struttura dell'insieme aperto di R^n sul quale sono definite le funzioni incognite.
Nella prima parte del corso saranno affrontate alcune
questioni di Geometria Riemanniana e (soprattutto) Lorentziana Globale;
in particolare si studierà la proprietà di completezza contrastando
il classico teorema di Hopf-Rinow in geometria Riemanniana con il suo ``fallimento''
Lorentziano. Uno spazio-tempo della relatività è (dal punto
di vista della
geometria e della cinematica) una varietà Lorentziana
che soddisfi qualche opportuna proprietà di causalità (per
esempio, la forma più immediata di causalità richiede che
non esistano linee di tipo tempo chiuse); il corso svilupperà un
po' di teoria elementare della causalità, soprattutto in relazione
alla completezza. Infine si intende illustrare qualche forma del Teorema
di Esistenza della Singolarità (Hawkings-Penrose): in modo molto
grossolano, esso afferma che uno spazio-tempo che soddisfi certe proprietà
``dinamiche''(soddisfi cioè le equazioni di campo di Einstein) e
plausibili ipotesi di ``positività dell'energia'' è necessariamente
incompleto (presenta delle ``singolarità'', dei ``buchi'').
Nella seconda parte del corso ci concentremo sugli spazio-tempo 2+1 - dimensionali, ``vuoti'' (senza materia) e di tipo topologico Sigma per R dove Sigma è una superficie compatta chiusa di genere assegnato. Benchè questi siano, dal punto di vista fisico, una sorta di ``modello giocattolo'' per il caso 3+1 - dimensionale, il loro studio coinvolge, a volte in modo sorprendente, molta bella geometria, anche abbastanza recente, di interesse e motivazioni propri (ricordiamo la teoria delle laminazioni geodetiche, delle azioni dei gruppi di superfici sugli ``alberi reali'', dei terremoti ecc. sviluppata principalmente da W.Thurston e continuatori) .
Il corso intenderebbe essere ``seguibile'' avendo come prerequisiti i contenuti normalmente acquisiti nel primo biennio di Matematica.
Testi di riferimento:
Il corso sarà incentrato su attività didattiche seminariali relative a tematiche di interesse specifico per l'insegnamento nelle scuole secondarie superiori, con corrispondenti approfondimenti teorici. Le attività seminariali saranno svolte dagli studenti del corso.
Più precisamente verranno presi in considerazione i seguenti aspetti: lettura ed esposizione critica di capitoli scelti di un testo di matematica per la scuola secondaria superiore; approfondimenti teorici a livello universitario; confronti con altre possibili impostazioni e con le trasposizioni didattiche attuate in altri testi scolastici (italiani e stranieri); problemi di correttezza, di rigore e di comprensione dei testi esaminati; aderenza alle indicazioni dei programmi ministeriali vigenti; modellizzazioni matematiche di situazioni non completamente formalizzate; problematiche relative alla valutazione dell'apprendimento.
Primo semestre
Si affronteranno contenuti aventi attinenza con l'analisi matematica.
Secondo Semestre
Si affronteranno contenuti di geometria del piano e dello spazio.
N.B. Per nessuno dei due semestri sono richiesti prerequisiti specifici. Tuttavia la frequenza del corso è vivamente sconsigliata a quanti non avessero ancora superato gli esami del primo biennio. I programmi dei due semestri sono indipendenti; quindi, su richiesta della maggioranza dei potenziali interessati al corso, è possibile un'inversione tra i programmi dei due semestri.
Il corso, di carattere monografico, ha per tema la risoluzione
numerica di equazioni differenziali ordinarie. Sono previste l'implementazione
e la sperimentazione, mediante calcolatore, di alcuni degli algoritmi trattati
e l'analisi e la risoluzione di problemi del mondo reale modellizzabili
da equazioni differenziali ordinarie (moto di corpi nello spazio soggetti
a forze gravitazionali, dinamica di popolazioni, ecc.).
Per un maggiore approfondimento della materia:
Inoltre i capitoli dedicati all'argomento sui più diffusi testi di Analisi Numerica.
Il corso è rivolto agli studenti dell'indirizzo
didattico. Vengono sviluppati elementi di analisi numerica con particolare
attenzione agli aspetti algoritmici e modellistici della matematica. I
metodi numerici presentati nel corso verranno utilizzati per risolvere
semplici problemi del mondo reale, in un processo che parte dalla descrizione
del modello matematico, affronta la costruzione e l'analisi di algoritmi
specifici di risoluzione, procede alla implementazione in linguaggio Pascal
degli algoritmi stessi e si conclude con la esecuzione dei programmi (simulazione)
e con la analisi critica dei risultati. Le lezioni, che si svolgono nell'aula
informatica, prevedono l'uso interattivo dei personal computers in ambiente
Turbo Pascal.
Problema di Cauchy per equazioni lineari a coefficienti analitici - Teorema di Cauchy - Kowalewsky sull' esistenza e l'unicità locale, teorema di Holmgren sull' unicità.
Equazioni lineari a coefficienti costanti - Buona positura del problema di Cauchy e la nozione dell' iperbolicità - teoremi di Hadamard e di Petrowsky, equazioni lineari fortemente iperboliche.
Il problema di Cauchy per sistemi fortemente iperbolici in spazio unidimensionale - Sistemi lineari di tipo fortemente iperbolico a coefficienti regolari; risoluzione del problema di Cauchy con il metodo delle cartteristiche, stima di energia e l'unicità:, dominio di dependenza, propagazione delle singolarità.
Problema di Cauchy in spazio di dimensione arbitraria - Caratteristiche e propagazione della discontinuità; sistemi simmetrici di Friedrichs e stima di energia; problema con dati iniziali distribuzionali e metodo della ottica geometrica.
Operatori integrale di Fourier - studio locale - Operatori integrali definite tramite integrali oscillanti; il supporto singolare e la fronte d'onda di una distribuzione; Cenno su nozioni fondamentali dell' analisi microlocale: funzione di fase e varietà lagrangiana in spazio delle fasi, distribuzioni lagrangiane, nucleo distribuzionale, relazione canonica, flusso hamiltoniano; teorema di H\"ormander sulla propagazione delle singolarità.
BIBLIOGRAFIA
R. Courant e D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol. II - Partial Differential Equations, Interscience Publishers (1962)
J.J. Duistermaat, Fourier integral operators, Lecture Notes, New York University (1973) Lars H\"ormander, Analysis of partial differential operators, vol III, Springer Verlag (1983 -1985)
Lars H\"ormander, Lectures on nonlinear hyperbolic differential equations, Mathematics and Applications, vol 26 (1996)
Fritz John, Partial differential equtions, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag P.D. Lax, Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems, Duke Math. Jr., 24 (1957), 627 - 646
I.G. Petrowsky, Partial differential equations, Interscience Publishers
Walter A. Strauss, Nonlinear wave equations, CBRM n. 73, Amer. Math. Soc. (1989)
F. Treves, Basic linear partial differential equations, Academic Press
Il corso è indirizzato agli studenti del terzo e del quarto anno che abbiano, oltre la conscenza del contenuto del corso di Analisi II, una discreta conoscenza della teoria dell' integrale di Lebesgue.
1. Elementi di Meccanica dei Continui
2. Proprieta dei campi termodinamici
3. Equazioni costitutive
4. Termoelasticita
5. Cenni sugli equilibri di fase
1. Proprieta elettromagnetiche dei solidi
2. Polarizzazione e Magnetizzazione
3. Il tensore degli sforzi elettromagnetici
4. I dielettrici elastici
5. I cristalli liquidi nematici.
6. Modelli macroscopici per materiali ferroelettirci,
ferromagnetici e per cristalli liquidi: analogie e differenze
7. Cenni sugli equilibri di fase
Introduzione alla geometria algebrica.
Richiami di algebra commutativa. Fattorizzazione unica nell'anello dei polinomi, anelli Noetheriani, il teorema della base di Hilbert.
Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert. Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini. Campo delle funzioni razionali, applicazioni razionali, applicazioni razionali dominanti, composizione di applicazioni razionali.
Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo, Nullstellensatz omogeneo, chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali, equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un'ipersuperficie. Prodotti. L'immagine di una varietà proiettiva è chiusa. Morfismi finiti.
Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in una varietà algebrica. Punti singolari, i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell'intersezione con un'ipersuperficie. I sottoinsiemi di codimensione $1$ dello spazio affine e proiettivo sono ipersuperfici. Il teorema sulla dimensione delle fibre.
Rette su una superficie. Rette su una generica superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.
Curve algebriche
Curve piane. Punti multipli e rette tangenti. Sistemi lineari di curve. Numeri di intersezione. Il teorema di Béezout. Il teorema $AF+BG$ di Noether. Applicazioni: teorema di Pascal, flessi, Hessiano di una curva, la curva duale. Cubiche piane: la forma di Weierstrass, la legge di gruppo. Risoluzione delle singolarità di una curva piana.
Curve nonsingolari. Domini di valutazione discreta, l'anello locale di un punto. Ogni applicazione razionale da una curva liscia a uno spazio proiettivo è un morfismo. Se due curve nonsingolari sono birazionali, allora sono isomorfe. Divisori, divisori principali, sistemi lineari. Il gruppo di Picard. Differenziali e divisori canonici. Il teorema di Riemann--Roch e applicazioni.
Riferimenti bibliografici
M. Atiyah - I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison - Wesley (1969). E. Arbarello, M. Cornalba, P. Griffiths, J. Harris, Geometry of algebraic curves I, Springer (1984).
W. Fulton, Algebraic Curves, Benjamin (1969). J.Harris, Algebraic Geometry, Springer (1992). R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer (1977).
M. Manetti, Corso introduttivo alla Geometria Algebrica, Scuola Normale Superiore Pisa (1998). M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge UNiversity Press (1988).
Safarevi\v c, Basic Algebraic Geometry 1, (Second edition), Springer (1994). R. Walker, Algebraic Curves, Springer (1978).
Teoria degli insiemi.
Cardinalità di un insieme. Insiemi numerabili e non numerabili. Teorema di Cantor-Bernstein. Somma, prodotto ed esponenziazione di numeri cardinali.
Tipo d'ordine di un insieme ordinato. Caratterizzazione del tipo d'ordine dei razionali e dei reali. Somma e prodotto di tipi d'ordine. Insiemi bene ordinati. Numeri ordinali. Confrontabilità dei numeri ordinali. Induzione e ricursione transfinita. Esponenziazione di numeri ordinali.
Assioma della scelta e teorema del buon ordinamento di Zermelo. Assiomatizzazione della teoria degli insiemi. Confrontabilità dei numeri cardinali. Buon ordinamento dei numeri cardinali. Funzione aleph. Conseguenze dell'assioma della scelta. Lemma di Zorn. Teorema di Hartog.
Risultati sulla aritmetica cardinale. Teorema di K\"onig. Cofinalità. Ipotesi del continuo. Insiemi perfetti. Teorema di Cantor-Bendixson. Cofinalità della potenza del continuo.
Teorie fondazionali. La teoria di Frege. La teoria dei tipi di Russell. Il problema della coerenza degli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Cenni ai modelli della teoria degli insiemi.
Bibliografia
Appunti del docente. George Cantor, Contributions to
the founding of the theory of transfinite numbers, The Open Court Publishing
Co., Le Salle, Illinois, 1941.
E. Kampke, Theory of sets, Dover 1950 (ristampa). P. Bernays, Axiomatic Set Theory, Dover 1991 (ristampa). E. Mendelson, Introduzione alla logica matematica, tr. italiana Boringhieri 1972.
W. Hatcher, Fondamenti della matematica, tr. italiana Boringhieri 1973.
R. M. Smullyan e M. Fitting, Set theory and the continuum problem, Clarendon Press, Oxford 1996.
T. J. Jech, Set theory, Academic Press, New York 1978.
Il corso intende affrontare i problemi dell'insegnamento-apprendimento della matematica dal punto di vista psico-pedagogico. Il corso si divide in due parti, tra loro connesse, ma che potranno essere seguite anche indipendentemente.
Nella prima parte, dopo un'introduzione generale riguardante
il tema dellintuizione, si tratteranno temi specifici seguendo
una suddivisione classica per settori
disciplinari. In questa prima parte, un posto particolare
verra riservato all'analisi del rapporto tra l'educazione matematica
e l'uso di software come supporto didattico .
Nella seconda
parte, che può considerarsi di approfondimento, saranno
trattate le linee generali delle più importanti "teorie" che
forniscono il quadro di riferimento classico alla ricerca
in didattica della matematica.Il corso si articolera
nel modo seguente.
I Modulo
* Il problema didattico del rapporto tra intuizione
e rigore.
- Cenni di
una teoria dell'intuizione
- Intuizione
e modelli intuitivi in matematica
* Matematizzare l'idea di spazio.
- Geometria
e realta: concetti figurali e loro dinamica.
- Il ruolo
del disegno nella concettualizzazione geometrica.
- Le costruzioni
geometriche: utilizzazione di un software per la didattica
della geometria.
* Il problema della 'dimostrazionè. Aspetti logici
e didattici.
- Analisi
di un percorso di geometria per la scuola secondaria superiore;
obiettivi, motivazioni, analisi dei processi di apprendimento attraverso
lo studio degli elaborati degli allievi.
*Aritmetica. Il concetto di numero.
- Sistemi
numerici, i successivi ampliamenti: dai naturali ai reali.
Il ruolo dei modelli primitivi .
- Le strutture
additive e le strutture moltiplicative.
* Algebra come sistema simbolico.
- Calcolo
letterale. Il simbolismo algebrico come strumento per pensare.
- Uso di un
software per l'introduzione dei concetti algebrici. Il caso
delle equazioni.
Riferimenti bibliografici di base
Arzarello F., Bazzini L. & Chiappini G. Algebra come
strumento di pensiero, CNR quaderno n. 6, 1994
Fischbein E., Intuition in science and mathematics. Reidel
1987
Kilpatrick J.(ed) Mathematics and Cognition, 1990
Hoyles C. & Noss R. Windows on Mathematical Meaning,
Kluwer 1997.
Il Corso di MECCANICA CELESTE (I° semestre) presso il Corso di Laurea in Matematica si rivolge a studenti del secondo biennio dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria Aerospaziale. Nell'anno accademico 1999/2000 verranno trattati i seguenti argomenti:
Problema dei 3-corpi ristretto circolare. Equazioni del moto, Integrale di Jacobi, criterio di stabilità di Hill. Validità e limiti di questo modello nella dinamica dle Sistema Solare
Moti della Terra come corpo esteso. Si scrivono e si risolvono le equazioni che descrivono il moto dei poli della Terra (precessione libera), la precessione Lunisolare e i loro effetti astronomici.
Potenziale mareale e teoria delle maree terrestri. Si ricava il potenziale che genera le maree terrestri (causate da Luna e Sole) e se ne evidenziano le diverse armoniche
Attrito delle maree nel Sistema Solare. Si calcolano gli effetti più importanti dell'attrito delle maree nel Sistema Solare (e.g.mancanza di satelliti di Mercurio e Venere, satelliti che rivolgono sempre la stessa faccia al pianeta, rotazione di Mercurio).
The 2-Body problem and perturbation equations. The 3-body restricted circular problem Motions of the Earth as an extended body. Theory of Earth tides. Tidal friction in the Solar System.Corso di Meccanica Celeste, Primo Semestre, a.a. 1999/2000-Sommario degli argomenti principali:
Il problema dei 2 corpi e le equazioni perturbative. Il problema dei 3-corpi ristretto circolare. I moti della Terra come corpo esteso. Le maree terrestri. L' attrito delle maree nel Sistema Solare.
Il Corso di MECCANICA CELESTE (II° semestre) presso il Corso di Laurea in Matematica si rivolge a studenti del secondo biennio dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica e Ingegneria Aerospaziale. Nell'anno accademico 1998/1999 verranno trattati i seguenti argomenti:
Verifica della Relatività Generale nello spazio. Missioni spaziali sul Principio di Equivalenza (GG e STEP), analisi delle perturbazioni agenti sull'orbita del satellite, sul suo assetto, sulle masse test e sull'apparato di misura. Dinamica di rotori supercritici nello spazio e loro utilizzo per la centratura delle masse test con grande precisione (posizioni di equilibrio, dissipazione, moti di whirl e stabilizzazione).
Principles of space navigation. Gravitational and non gravitational perturbations on the motion of artificial satellites. Analysis of space missions to test the Equivalence Principle.Corso di MECCANICA CELESTE, IIo Semestre, a.a. 1998/1999-Sommario degli argomenti principali:
Principi di navigazione spaziale. Perturbazioni gravitazionali e non gravitazionali sul moto dei satelliti artificiali. Analisi di missioni spaziali per la verifica del Principio di Equivalenza.
DETERMINAZIONE ORBITALE: TEORIA LINEARE
1. POSIZIONE DEL PROBLEMA. Il problema della determinazione orbitale. Esempi: pianeti, asteroidi, comete; satelliti artificiali; satelliti di altri pianetei; sonde interplanetarie.
2. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Flusso integrale, equazione alle variazioni, lemma di Gronwall, esponenti di Lyapounov. Esempi: problema dei due corpi, problema ridotto.
3. MINIMI QUADRATI. Caso quasi lineare, correzioni differenziali. Regione di confidenza: interpretazione ottimizzazione. Regione di confidenza: interpretazione probabilistica. Metodi di inversione per matrici simmetriche.
4. PROBLEMA DEGLI N CORPI. Equazioni di Lagrange; problema degli N corpi, coordinate baricentriche, eliocentriche, jacobiane. Sistemi gerarchici: accuratezza dei modelli dinamici del sistema solare.
5. PROBLEMA DIRETTO: DETERMINAZIONE DELL'ORBITA. Soluzione nominale, matrice di covarianza, degli elementi orbitali, elementi non singolari, variabili angolo.
6. PROBLEMA DEL SATELLITETeoria del potenziale, armoniche sferiche, metodi ricorsivi di calcolo. Perturbazioni non gravitazionali.
7. PROBLEMA INVERSO: MISSIONI GEODETICHE. Inseguimento
elettromagnetico. Satelliti geodetici, sistemi di
navigazione. Accelerometri e drag-free. Mascon e anomalie
locali. Il problema della lunghezza dell'arco.
8. METODO MULTIARCO. Separazione di variabili locali e globali. Metodi iterativi. Sistemi normali a diagonale dominante, rilassamento. Ortogonalità delle armoniche sferiche.
Le lezioni del primo semestre avranno inizio il 19 ottobre alle ore 14:30; in tale occasione sarà discusso l'orario, indicativamente Martedi' e Mercoledi' dalle 14:30 alle 16.
DETERMINAZIONE ORBITALE: TEORIA NON LINEARE
1. NONLINEARITÀ. Cause: determinazione iniziale,
propagazione orbitale, proiezione nello spazio delle
osservabili. Esempi: nonlinearità del problema
dei due corpi.
2. MINIMI QUADRATI NONLINEARI. Regione di linearità correzioni differenziali, controllo di convergenza. Linea delle variazioni, Il metodo delle soluzioni multiple (o degli asteroidi virtuali).
3. INTEGRAZIONE NUMERICA. Metodi multistep, calcolo dei coefficienti, stima dell'errore locale. Metodi di Runge-Kutta; cenni ai metodi simplettici. Trattamento numerico dell'equazione alle variazioni. Errore accumulato ed esponenti di Lyapounov.
4. APPROSSIMAZIONE SEMILINEARE Proiezione sul piano delle osservabili, contorni di confidenza. Predizioni di osservazioni. Piano bersaglio, predizioni di incontri ravvicinati.
5. NONLINEARITÀ ESTREMA. Ritorni risonanti, sciami. Impattori virtuali, metodo di Newton. Probabilità di collisione di un asteroide con la Terra. Immagini inverse di regioni da monitorare, il principio dlele osservazioni negative.
6. PROBLEMA DELL'IDENTIFICAZIONE. Popolazioni di corpi
celesti: asteroidi/comete, satelliti artificiali e debris
spaziale. Procedimenti di scoperta; predizione, ritrovamento,
identificazione. Cataloghi e proposte di identificazione.
7. APPLICAZIONI A MISSIONI SPAZIALI. Potenziale terrestre, della Luna, di Mercurio. Esperimenti di radio science. Protezione della stazione spaziale.
Il corso è diviso in due semestri, con 30-35 ore
di lezioni ciascuno, 3 ore alla settimana. Gli studenti possono scegliere
di
seguire soltanto il primo semestre e dare il relativo
esame, ma il secondo semestre presuppone il primo. Chi conosca già
la materia del primo semestre (almeno i punti da 1. a 5.) può' frequentare
soltanto il secondo semestre e dare il relativo esame, ma questo presumibilmente
vale solo per gli studenti del dottorato.
Si tratta di un corso base di Statistica Matematica che
richiede come
prerequisito un corso semestrale di Calcolo delle Probabilità.
Contenuti: Teoria classica delle stime.Test delle ipotesi.
Il modello statistico bayesiano:stime e tests dal punto
di vista bayesiano.
Cenni di Statistica non parametrica.
Serie storiche stazionarie: stima ed eliminazione della tendenza e della componente stagionale.
Processi stazionari e debolmente stazionari: teorema di
Herglotz-Bochner e rappresentazione spettrale per processi debolmente stazionari.
Applicazioni: previsione e filtraggio.
Stima della media e dell'autocovarianza.
Stima dei parametri nei processi ARMA.
Processi ARIMA: costruzione del modello e previsione.
Applicazioni econometriche.
PREREQUISITI: Primo modulo di Calcolo delle Probabilità,
nozioni di base di Istituzioni di Analisi Superiore.
Il corso, diviso in due moduli largamente indipendenti,
intende affrontare alcuni aspetti dell'opera galileiana e
delle difficoltà incontrate da Galileo nel costruire
un quadro teorico che gli permettesse di dedurre
matematicamente le sue scoperte riguardanti il movimento,
in particolare la legge oraria di caduta dei gravi
e la
traiettoria parabolica dei proiettili.
Il testo di riferimento saranno i Discorsi che Galileo pubblico nel 1638, il suo testamento scientifico.
Il primo modulo sara centrato sulla Terza e sulla
Quarta Giornata, in cui Galileo propone, rispettivamente,
la legge oraria del moto di caduta e la traiettoria
parabolica. Verranno, allo scopo, presentati e commentati
anche testi dei de motu giovanili e importanti
passi del Dialogo sui due massimi sistemi.
Il secondo modulo sarà invece centrato sulla Prima Giornata, testo complesso e affascinante, in cui lo scienziato pisano fece confluire gran parte delle sue riflessioni fisico matematiche su tutta una serie di fenomeni e di situazioni fisiche: dalla costituzione della materia, all'idrostatica, all'acustica. Per poter tentare una lettura di questo testo, alla lettura del testo si accoppierà la presentazione di una biografia scientifica di Galileo. Non sono richiesti particolari prerequisiti, salvo quelle derivanti dalla formazione ricevuta nel primo biennio e un'inclinazione per le problematiche di storia della scienza.
E' previsto l'uso di strumenti reperibili sul WEB; saranno
organizzate lezioni speciali pe rillustrare l'uso delle nuove tecnologie
informatiche nella ricerca bibliografica, in particolare in storia della
matematica e della scienza.
Geometria e topologia delle curve algebriche reali.
Geometria dei Poliedri Convessi.