Prof. Francesca Acquistapace

Funzioni di una variabile complessa

1. Differenziabilità complessa Funzioni a valori complessi L'esponenziale complessa Funzioni olomorfe Condizioni di Cauchy-Riemann Trasformazione degli angoli

2. Serie di potenze Serie formali Serie convergenti Funzioni analitiche Il teorema delle funzioni implicite Il teorema dell'applicazione aperta Il teorema del massimo

3. Funzioni olomorfe e forme differenziali Richiami sugli integrali curvilinei. Forme differenziali, primitiva di una forma differenziale. Forme chiuse Primitiva lungo un cammino Primitive locali per una funzione olomorfa Teorema di Cauchy Formula di Cauchy Sviluppo in serie di una funzione olomorfa Indice di un cammino Esistenza di primitive globali, il logaritmo complesso

4. Sviluppi di Taylor e di Laurent. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Serie di Laurent. Sviluppo di Laurent di una funzione olomorfa in una corona. Punti singolari, funzioni meromorfe. Teoremi di Weierstrass e di Picard. Teorema dei residui nel piano e nella sfera di Riemann. Teorema di Rouché. Applicazioni.

5. La topologia compatto-aperta. Topologia dello spazio delle funzioni continue. Convergenza di successioni di funzioni olomorfe. Serie di funzioni meromorfe. Esempi. Prodotti infiniti. Fattorizzazione di Weierstrass. I compatti dello spazio delle funzioni olomorfe.

6. Trasformazioni conformi Lemma di Schwarz Automorfismi del semipiano e del disco Altri esempi Automorfismi del piano complesso. Automorfismi della sfera, il gruppo delle omografie. Proprietà del gruppo delle omografie Il teorema di Rieman

7. Funzioni armoniche Definizione ed esempi Proprietà delle funzioni armoniche Costruzione di funzioni armoniche

8. Il principio di simmetria Principio di riflessione di Schwarz Riflessione attraverso archi analitici Applicazione: il teorema di Picard