Programma di Calcolo delle Probabilità Modulo 1 Prof. G. Letta
 

• Introduzione: eventi legati al risultato di un esperimento aleatorio; scelta dello spazio probabilizzato.
• Il linguaggio della misura: concetto di misura; proprietà di una misura; tribú generata da una classe d'insiemi; criterio per la coincidenza di due misure; concetto di applicazione misurabile; misura immagine.
• Il linguaggio della probabilità: misure di probabilità su uno spazio discreto; ripartizione uniforme su un insieme finito; nozione di variabile aleatoria; variabili aleatorie discrete; legge di una variabile aleatoria; densità discreta di una variabile aleatoria discreta; rincollamento di variabili aleatorie; probabilità condizionale.
• Indipendenza: indipendenza di una variabile aleatoria da un'altra; criteri d'indipendenza; simmetria dell'indipendenza; indipendenza di due eventi e di due tribú; blocco di una famiglia di variabili aleatorie; legge congiunta e leggi marginali; indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie; indipendenza a due a due; indipendenza e misura prodotto; criterio per l'indipendenza di una successione; proprietà associativa dell'indipendenza; indipendenza e composizione; schema delle prove indipendenti; processo di Bernoulli; legge 0-1 di Kolmogorov.
• Leggi discrete: legge binomiale; legge geometrica; assenza di memoria della legge geometrica; paradosso di Borel; istanti di successo in un processo di Bernoulli; legge di Pascal; legge di Poisson; legge ipergeometrica.
• La speranza nel caso discreto: speranza di una variabile aleatoria semplice; formula della speranza di una funzione composta; linearità della speranza; isotonia della speranza; principio d'inclusione-esclusione; speranza di una variabile aleatoria discreta positiva; speranza di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti; funzione generatrice di Laplace; funzione generatrice di una somma di variabili aleatorie indipendenti; derivate della funzione generatrice; calcolo esplicito di alcune funzioni generatrici.
• Riassunto di teoria dell'integrazione (senza dimostrazioni): tribú boreliana della retta reale; funzioni misurabili su uno spazio misurabile; approssimazione con funzioni semplici; integrale di una funzione misurabile positiva; funzioni integrabili e semintegrabili; l'integrale delle funzioni reali integrabili; integrale esteso a un insieme; funzioni equivalenti; misura di Lebesgue sulla retta; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrali di funzioni continue su intervalli non compatti; integrazione per parti; prodotto di misure; tribú boreliana dello spazio euclideo; misura di Lebesgue nello spazio euclideo; teorema di Fubini; invertibilità dell'ordine d'integrazione; misura di un insieme secondo una misura prodotto; interpretazione di un integrale come area; concetto di diffeomorfismo; cambiamento di variabili; integrazione in coordinate polari; misura definita da una densità teorema di Radon-Nikodym; funzione di ripartizione; significato fisico della densità; integrazione rispetto a una misura definita da una densità; integrazione rispetto a una misura immagine.
• La speranza nel caso generale: definizione generale di speranza; formula della speranza di una funzione composta; speranza come baricentro; speranza di un prodotto di variabili aleatorie indipendenti.
• Disintegrazione: formula della disintegrazione; formula di Bayes; identità di Wald; funzione generatrice della somma di un numero aleatorio di variabili aleatorie.
• Leggi sulla retta: pseudoinversa di una funzione di ripartizione; ripartizione uniforme; legge esponenziale; assenza di memoria della legge esponenziale; convoluzione di leggi; convoluzione di densità; legge Gamma; processo di Poisson; indipendenza degli incrementi in un processo di Poisson.
• Vettori aleatori: densità congiunta e densità marginali; vettori aleatori con componenti indipendenti; composizione di un vettore aleatorio con diffeomorfismi; ripartizione uniforme.
• Leggi condizionali e speranza condizionale: definizione di legge condizionale; questioni di esistenza e di unicità; legge condizionale rispetto a una variabile aleatoria discreta; legge condizionale in presenza di una densità congiunta; legge condizionale e indipendenza; legge condizionale di una funzione composta; schema di Bayes; speranza condizionale e sue proprietà elementari.
• Varianza e covarianza: lo spazio L²; varianza e scarto quadratico medio; diseguaglianze di Markov e di Cebiscev; covarianza e coefficiente di correlazione; variabili aleatorie non correlate; varianza di una somma; calcolo esplicito di alcune varianze.
• Funzioni caratteristiche e legge normale: iniettività della trasformazione di Fourier; proprietà elementari di una funzione caratteristica; derivabilità di una funzione caratteristica; funzione caratteristica di un prodotto di convoluzione; legge normale ridotta; la famiglia delle leggi normali; calcolo esplicito di alcune funzioni caratteristiche.
• Convergenze: teorema di Scheffè; convergenza debole di leggi sulla retta; teorema di Paul Lévy; richiami sul logaritmo principale nel campo complesso; convergenza debole di leggi concentrate sugli interi; vari tipi di convergenza per variabili aleatorie reali; legge dei grandi numeri per variabili aleatorie non correlate; legge dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti e isonome; teorema di Lindeberg-Lévy.

Testo consigliato:
 

1. G. Letta: Probabilità elementare. Compendio di teoria - Problemi risolti Zanichelli 1993.