• Ricerca Operativa e Ottimizzazione
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• Analisi Matematica
• Analisi Numerica
• Storia della Matematica
• Algebra e Teoria dei Numeri
• Probabilità  e Statistica
• Logica Matematica

      La Ricerca Operativa si occupa di studiare e di proporre modelli, metodologie ed algoritmi per problemi di natura ``decisionale''. La parte piu' cospicua dal punto di vista matematico e' quella relativa ai modelli
del tipo problemi di estremo vincolato (ottimizzazione). Le fasi salienti dello studio sono dunque:

      1) Formulazione del problema decisionale e raccolta dei dati.

      2) Costruzione del modello matematico che rappresenta il problema.

      3) Ricerca delle proprietà  teoriche del modello.

      4) Ricerca della soluzione del modello.

      5) Costruzione degli algoritmi e test sperimentali.
 

      Un settore occupazionale e' costituito dalla ricerca presso Università , enti del C.N.R. o industrie pubbliche o private.
 

 
RICERCA E DIDATTICA

    I settori di ricerca che vengono sviluppati nel Dipartimento di Matematica dell'Università  di Pisa sono:
 

    1) Condizioni di ottimalità  per problemi di estremo vincolato,
       scalare e vettoriale.
 
    2) Teoria della  regolarità , della dualità , della penalizzazione.

    3) Problemi di ``equilibrio'' su reti e disequazioni variazionali.

    4) Applicazioni nel campo dei problemi di trasporto e dell'ingegneria
       strutturale.
 

     Vi sono numerose collaborazioni nazionali ed internazionali di gruppi di Ricerca Operativa ed Ottimizzazione con quello del Dipartimento di Matematica dell'Università  di Pisa sia ufficiali che informali.
 

    Le discipline insegnate sono:

    1) Teoria e Metodi dell'Ottimizzazione Modulo I e II (Prof. Giannessi)
    2) Ricerca Operativa Modulo I e II (Prof. M. Pappalardo)

 
    Tesi di laurea discusse recentemente:

    1) Problemi di minimo vincolato e spazio immagine.
    2) Condizioni di regolarità  per problemi di estremo vincolato scallare e vettoriale.
 

     Il primo sbocco naturale per chi decide di fare ricerca in questo campo dopo la laurea e' la partecipazione ai concorsi per l'ammissione ai Dottorati di Ricerca; in particolare il Dottorato di Ricerca in Matematica dell'Univarsità  di Pisa e il Dottorato
 di Ricerca in Matematica Computazionale e Ricerca Operativa dell'Università  di Milano presentano un curriculum inerente agli studi di Ottimizzazione.
 
 
 
 
 

    La fisica matematica si propone lo scopo di ridurre la descrizione dei fenomeni naturali a questo schema: asserzione, come assiomi, di pochissime leggi universali; deduzione da esse, come teoremi, del piu' ampio spettro di altre leggi. Prototipo e' il capolavoro di Newton ``Principi matematici della filosofia naturale'' dove i moti dei gravi sulla terra e dei pianeti nel cielo sono descritti a partire dalle stesse leggi.

   Tradizionalmente in Italia prevale l'interesse per lo studio di campi relativamente classici della filosofia naturale (il campo complementare essendo occupato dalla fisica teorica). Lungi da essere esauriti, quei campi sono molto vivi, sia perche' la sistemazione razionale di molti settori e' recentissima o ancora da fare, sia perche' tecniche matematiche nuove consentono ora la trattazione di problemi lasciati aperti (si pensi all'uso delle disequazioni variazionali nella teoria della lubrificazione, in quella del filtraggio, all'uso della teoria delle perturbazioni singolari per lo studio dei fenomeni dello strato limite ecc.), sia perche' nuovi materiali recentemente sintetizzati, o nuovi usi di materiali noti, richiedono l'impostazione e soluzione di problemi nuovi (con ricorso non solo all'analisi matematica, ma anche alla Topologia, alla geometria differenziale ecc.). Un campo in grande espansione e' quello della Meccanica Computazionale; esso richiede competenze sia di Fisica Matematica che di Analisi Numerica ed Informatica.

   Le possibilità  occupazionali sono tutte quelle della matematica applicata in genere e ovviamente dipendono molto dallo specifico curriculum del laureato.
 
 

RICERCA E DIDATTICA
 
   I corsi attinenti al settore fisico-matematico tenuti presso il Dipartimento di matematica dell'Universita' di Pisa sono i seguenti:
 

   Fisica Matematica Modulo II (Prof. P. Farinella)
   Istituzioni di Fisica Matematica Modulo I 3 II (indirizzo generale, Prof. G.   Cimatti)
 
   Istituzioni di Fisica Matematica (indir. app. e did. Modulo I e II Prof. C. Silli)
   Meccanica Razionale (Prof. G. Pocci)
 

   Specifici temi di ricerca sono i seguenti:

1) Materiali nuovi, materiali granulari dei cristalli liquidi,  miscele,  materiali con proprieta' controllabili.

2) Fondamenti della meccanica, della relativita' ristretta e delle teorie alternative. Elettromagnetismo.

3) Studio delle onde di discontinuita' nei continui sottili anche con struttura
     Studio della stabilita' del moto dei corpi di massa variabile.

4) Meccanica dei fluidi e elettrodinamica dei mezzi continui.

5) Meccanica Computazionale
 

   A titolo esemplificativo si riportano alcuni titoli di tesi di laurea e di  dottorato discusse negli ultimi 5 anni:
 

     - Problemi di propagazione del calore;

     - Sul problema di un conduttore riscaldato elettricamente;

     - Miscele binarie di fluidi.
 

    La didattica della matematica affronta i problemi della trasmissione delle conoscenze nei suoi vari aspetti, in relazione anche ai diversi ordini scolastici: contenuti (cosa insegnare?), metodi (come insegnare?), valutazione (come verificarel'acquisizione  delle conoscenze e delle abilita' matematiche?), finalita' (perche' sono preferibili certi contenuti, certi metodi, certi tipi di valutazione rispetto ad altri?), motivazioni (come suscitare interesse e
favorire una partecipazione attiva degli allievi?), ecc.

   A titolo di esempio, si puo' citare un tema di indagine di particolare attualita': l'impatto dei calcolatori e dell'informatica sull'insegnamento-apprendimento della matematica.
 

RICERCA DIDATTICA

    I corsi attinenti al settore della didattica della matematica tenuti presso il Dipartimento di matematica dell'Universita' di Pisa sono i seguenti:

     Didattica della Matematica Modulo I e II (Prof. V. Villani)

     Matematiche Elementari da un Puntodi Vista Superiore Modulo I e II             (Prof. M.A. Mariotti)
 

     Matematiche Complementari Modulo I e II (Prof. F. Favilli)
 

   Specifici settori di ricerca nell'area della Didattica della Matematica sono i seguenti:

1) Problematiche curriculari nei vari ordini scolastici preuniversitari, con riferimento sia alla situazione italiana, sia a
     confronti   internazionali.

2) Problematiche relative all'insegnamento-apprendimento della matematica.
     In particolare, individuazione delle difficolta' di apprendimento e ``problem solving''.

3) Fondamenti e logica. In particolare, formazione dei concetti matematici e problemi di visualizzazione in geometria.

4) Uso di tecnologie informatiche come ausilio didattico nell'insegnamento della matematica.
 

   Il ``seminario didattico'', costituito dai docenti che operano nel settoredella didattica della matematica, si occupa anche dell'aggiornamento degli insegnanti in servizio e fornisce consulenza agli IRRSAE e al Ministero della  Pubblica Istruzione per tutti gli aspetti curriculari della matematica.
 

  Su queste fondamenta, al secondi biennio vengono trattati argomenti piu' avanzati, che, oltre a completare la cultura matematica di base, avranno anche lo scopo di approfondimento di particolari aree a seconda degli indirizzi, e potranno iniziare ad affrontare anche problematiche di ricerca pura o applicata.

   Una approfondita preparazione in ambito geometrico fa parte della formazione di un matematico, qualunque tipo di lavoro sia poi destinato ad affrontare.
L'affermazione non ha necessita' di essere giustificata quando si pensi all'insegnamento secondario. E' da notare inoltre come negli ultimi decenni si sia sempre maggiormente sviluppata l'interazione tra gli studi di carattere puramente  teorico e le problematiche di carattere applicato. Aree di ricerca quali l'Algebra e la Geometria Computazionale hanno dato grandi contributi nella direzione di applicazioni nell'ambito, per esempio, del Trattamento e Riconoscimento di Immagini, della Computer Graphics, della Robotica. Si e' quindi aperta una prospettiva di lavoro anche in laboratori ed industrie interessati in questi problemi.

   D'altronde, la ricerca scientifica in Geometria mantiene la sua natura essenzialmente teorica, e la formazione di un giovane nell'ambito dei gruppi di ricerca in Geometria esistenti a Pisa (elencati nel seguito) e' tale da portare spesso alla continuazione degli studi in ambito universitario.

  Nell'ambito della ricerca scientifica svolta presso il Dipartimento di matematica dell'Universita' di Pisa nel settore Geometria, si possono distinguere diverse sottoaree:
 

         Geometria Algebrica

         Teoria delle Singolarita'

         Geometria e Topologia delle varieta' reali

         Geometria e Topologia in dimensione bassa

         Geometria Differenziale
 
 
 

GEOMETRIA ANALITICA E ANALISI COMPLESSA
 

      La sezione geometria organizza ogni anno cicli di seminari periodici di ricerca e di studio, al quale partecipano anche studenti degli ultimi anni del corso di Laurea e studenti della Scuola di Dottorato, nell'ambito della quale e' aperto un indirizzo in Geometria.

   Le ricerche del gruppo si inseriscono nei progetti di Ricerca Nazionali del Ministero dell'Universita' e della Ricerca Scientifica. Sono attive collaborazioni con altri centri di ricerca italiani (Roma, Genova, Milano, Padova, Firenze, tra gli altri) e stranieri. Citiamo, tra questi, l'Institute for Advanced Study di Princeton, le Universita' di Harvard, Brandeis e il M.I.T., le Universita' di Parigi VI, VII, XI, l'Ecole Normale Supe'rieure di Parigi e di Lyon, l'Institut Fourier de Grenoble, Universita' di Rennes I, di Nizza e di Marsiglia, di Bonn, Regensburg, Gottinga, Munster, di Zurigo, Ginevra e Losanna, di Warwick, Oxford, Liverpool, di Madrid e Santander, di Amsterdam, di Oslo e di Stoccolma, di Mosca e San Pietroburgo, di Tokyo, Kyoto e Nagoya. Le collaborazioni sono spesso inquadrate in contratti europei all'interno del programma Capitale Umano e Mobilita' della Comunita' Europea, come del progetto ERASMUS, dedicato agli studenti.

   Gli insegnamenti attivati per l'anno accademico 1997/98 per questa area tematica sono:
 

  Geometria I                                                                         - Prof. F. Acquistapace

  Geometria II                                                                       - Prof. R. Benedetti

  Istituzioni di Geometria Superiore A                           - Prof. F. Lazzeri
 
  Istituzioni di Geometria Superiore B (Mod I e II)    - Prof. F. Acquistapace

  Geometria Algebrica (Mod I)                                       - Prof. F. Broglia

  Geometria Algebrica (Mod II)                                     - Prof. F. Broglia

  Geometria Superiore (Mod I)                                       - Prof. R. Benedetti

  Geometria Superiore (Mod II)                                     - Prof. R. Benedetti

  Geometria Differenziale (Mod I)                                 - Prof. M. Ferrarotti

  Geometria Differenziale (Mod II)                               - Prof. C. Petronio

  Topologia Algebrica     (Mod I)                                   - Prof. M. Salvetti

  Topologia Algebrica     (Mod II)                                 - Prof. M. Salvetti

  Topologia Differenziale (Mod I)                                 - Prof. M. Galbiati

  Topologia Differenziale (Mod II)                               - Prof. M. Galbiati
 

    La ``Meccanica spaziale'' si occupa della dinamica dei corpi nello spazio interplanetario: delle orbite dei corpi naturali del sistema solare, delle orbite dei satelliti artificiali e delle sonde interplanetarie, dei movimenti di rotazione e della dinamica interna degli stessi corpi, delle interazioni degli stessi corpi con l'ambiente spaziale (per esempio, pressione di radiazioni, oppure collisioni con meteoriti).

    La problematica affrontata va da aspetti estremamente generali di dinamica nonlineare (teoria del caos e dell'ordine), ad aspetti di astronomia del sistema solare, ad aspetti direttamente legati alle missioni spaziali (per esempio per scopi geodetici e geofisici, per l'esplorazione di corpi del sistema solare, per esperimenti di fisica della gravitazione). Percio' questa area tematica e' caratterizzata dall'interdisciplinarita' degli studi e dallo stretto rapporto tra teoria matematica ed applicazioni astronomiche, fisiche ed anche ingegneristiche.

    Gli sbocchi professionali, oltre alla ricerca piu' avanzata, sono specialmente legati al controllo di veicoli spaziali, all'analisi di missione, al trattamento dati di missioni spaziali; le migliori possibilita' di impiego sono alle dipendenze (dirette o indirette) delle agenzie spaziali, nell'industria aerospaziale, oltre che negli enti pubblici di ricerca.
 

RICERCA E DIDATTICA
 

    La ricerca attiva a Pisa copre numerosi argomenti, tra cui:
 

1) Ordine e caos nei sistemi dinamici della meccanica; stabilita' del sistema solare.

   Anche grazie al lavoro svolto in questo gruppo, oggi si sa che la maggior parte delle orbite dei pianeti e corpi minori del sistema sono caotiche, e ciononostante il sistema solare ha conservato la sua struttura dinamica per miliardi di anni. Questi sono i problemi fondamentali della ``Meccanica celeste'', e sono trattati con una peculiare combinazione di  metodi numerici ed analitici. (Rivolgersi a: Milani, Nobili)

2) Dinamica e fisica della fascia asteroidale, dei meteoriti, delle comete.
 
   L'evoluzione delle orbite, ma anche delle proprieta' fisiche (per es. per ef   fetto di collisioni) dei corpi minori del sistema solare e' oggetto di uno studio interdisciplinare. Particolarmente importanti gli studi sulle ``famiglie di ateroidi'', frammenti di collisioni verificatesi milioni di an   ni fa, ma ancora identificabili grazie a sofisiticate tecniche matematiche.                        (Milani, Farinella)

3) Geodesia spaziale.

   Le orbite di satelliti artificiali sono calcolate con precisione centimetrica, per dedurne la posizione delle stazioni a terra, i loro moti (cioe' a deriva dei continenti, gli effetti di marea), ed altre quantita' di interesse geofisico (come il potenziale gravitazionale terrestre). Piccolissime perturbazioni, come la pressione della luce, vengono studiate sia dal punto di vista fisico, che nei loro effetti sulle orbite; i dati di inseguimento di satelliti geodetici vengono analizzati da grandi programmi di
 calcolo. (Milani, Nobili, Farinella)

4) Esperimenti di fisica fondamentale nello spazio.

   Solo al di fuori dell'atmosfera terrestre, ed in caduta libera, e' possibile   misurare delle forze estremamente piccole, quali quelle che potrebbero risul   tare da una eventuale violazione del principio di equivalenza, o di qualche  altra proprieta' fondamentale delle presenti teorie della gravitazione. Ci si occupa di progettare le missioni spaziali che potrebbero compiere simili    esperimenti. (Nobili)

5) Rottami spaziali.

   Lo spazio attorno alla Terra e' ormai inquinato da un numero enorme di framm   enti e relitti prodotti dall'attivita' umana nello spazio. Si cerca di model   lare l'evoluzione del fenomeno, e di studiarne l'effetto sui programmi spazi   ali futuri. (Farinella)
 

6) Scoperta di asteroidi/meteoriti che incrociano l'orbita della terra.

   Si cerca di sviluppare un metodo automatizzato di scoperta di oggetti interplanetari a partire da immagini elettroniche, e di risolvere il problema dell'identificazione di tali oggetti; ci si pone poi il problema della evoluzione a lungo termine delle orbite del tipo dei meteoriti. (Milani, Farinella)
 

   I corsi che riguardano in modo particolare lo studio di questa area tematica sono:

     - Meccanica Celeste Modulo I e II (prof. A. Nobili)
 
     - Meccanica Superiore Modulo I e II (Prof. A. Nobili)
 

   E' previsto, tra i piani di studio consigliati per l'indirizzo applicativo del CDL in Matematica, un sottoindirizzo ``Meccanica Celeste ed Astronomia''.
E' anche prevista la prossima attivazione di un indirizzo Astronomico del CDL in Fisica, in cui questa area tematica avrebbe spazio. All'interno del corso di Dottorato in Matematica (consorziato, con sede a Pisa) si svolgono anche corsi di avviamento alla ricerca in questo campo.
 
 

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  La Meccanica Spaziale ha la sua sede presso il Dipartimento di Matematica,
Via Buonarroti 2, 56127 Pisa; rivolgersi alle stanze 118, 120, 126, Tel.
050-844254/844252; Fax 844224; E-mail milani@dm.unipi.it,
                                      nobili@dm.unipi.it
                                      paolof@dm.unipi.it
 
 

L'analisi matematica e' una disciplina fondamentale in molti campi delle scienze pure e applicate.  Essa si propone principalmente di fornire un linguaggio rigoroso e delle metodologie o tecniche di calcolo (esatto o approssimato) per lo studio di numerosi problemi e fenomeni di Matematica pura, Informatica, Fisica, Chimica e Biologia.
A molti di questi problemi l'Analisi matematica consente di dare una rigorosa formulazione, fornisce dei modelli matematici e propone dei metodi di soluzione.
 
 La didattica nel settore dell'Analisi matematica si svolge in due parti.
 
La  prima parte, di natura propedeutica, fornisce le basi essenziali del linguaggio e le metodologie necessarie alla  formulazione e risoluzione dei vari problemi. Essa costituisce un bagaglio indispensabile in molti settori della ricerca.  La seconda parte e'dedicata all'approfondimento di argomenti piu' specialistici ed alle connessioni con le altre discipline ed anche all'avviamento alla ricerca.
 
La ricerca in Analisi matematica puo' essere suddivisa grosso modo in tre sotto settori:
   
 Analisi infinitesimale, Analisi globale e Analisi funzionale.
 
La parte centrale dell'Analisi infinitesimale e' rappresentata dalla Teoria delle equazioni differenziali (sia ordinarie che alle derivate parziali), mentre il Calcolo delle Variazioni puo' essere considerato come l'Analisi globale. L'Analisi funzionale consente di dare un utile inquadramento a vari problemi di Equazioni differenziali o di Calcolo delle Variazioni.
 
   Vi sono poi altri importanti settori della ricerca matematica, che pur non facendo parte dell'Analisi, sono ad essa strettamente collegati. Fra questi, si possono citare la Geometria differenziale, l'Analisi complessa  e la Teoria dei Controlli.

  Al di fuori dell'ambito strettamente matematico, numerosi sono i settori della Fisica classica e della Fisica teorica che si basano su fondamenti di Analisi Matematica o sui quali l'Analisi esercita un ruolo primario. Possiamo citare ad esempio: La Meccanica razionale, la Meccanica analitica, la Meccanica dei fluidi, la Termodinamica, La Meccanica quantistica e relativistica, l'Elettromagnetismo, la Teoria dei campi  e la Teoria di gauge.
 
Inoltre, la Teoria delle Probabilita' e Statistica e' fondata sull'Analisi.  La teoria delle equazioni differenziali stocastiche e' un
campo che utilizza le tecniche dell'analisi insieme a quelle della teoria delle probabilita'.
 

 
 ATTIVITA' DIDATTICA
 
 
L'insegnamento propedeutico dell'Analisi matematica si svolge, nel primo biennio, in due corsi annuali fondamentali per tutti gli studenti di Matematica, Fisica e Informatica. Esso consiste nello studio delle funzioni di una e piu' variabili reali, con il calcolo differenziale e integrale, e nella teoria delle equazioni differenziali ordinarie.

Il secondo biennio si articola in alcuni corsi caratterizzanti del settore Analisi e in una vasta scelta di Corsi complementari aventi un carattere piu' specializzato. Istituzioni di Analisi Superiore, Analisi  Superiore, Equazioni Differenziali, Analisi Funzionale sono i corsi caratterizzanti del settore.
 

 PERSONALE DOCENTE
 

 Il personale docente del settore e' formato da otto professori ordinari, sei  professori associati e sei ricercatori.
Nell'insegnamento dei corsi complementari, ci si avvale anche di alcuni docenti della Facolta' di Ingegneria. Tutti gli studenti sono affidati ad un docente come tutore; questi ha il compito di consigliare gli studenti a lui affidati e di aiutarli nella loro
formazione universitaria.
 
 L'Analisi matematica rappresenta anche uno dei principali settori della Scuola di Dottorato di ricerca. Diversi tesi del dottorato di ricerca nel settore di Analisi sono state discusse, negli ultimi anni, sotto la guida di docenti del nostro Corso di Laurea. Il programma del dottorato di ricerca si svolge in consorzio con le universita' di Bari, Lecce e Parma.
 

 
ATTIVITA' DI RICERCA
 

 La ricerca nel settore dell'Analisi matematica, attualmente svolta nel nostro Dipartimento si rivolge alle principali problematiche della Teoria delle Equazioni alle Derivate Parziali, lineari o non lineari, del Calcolo delle  Variazioni e dell'Analisi funzionale.
 

 
 CALCOLO DELLE VARIAZIONI
 
 
  Il Calcolo delle Variazioni si occupa di problemi che descrivono fenomeni di carattere globale o "in grande" (come ad esempio l'energia totale di un sistema fisico) e studia la questione di minimizzare o massimizzare certe quantita' globali (detti "funzionali") che misurano significative grandezze geometriche o fisiche (ad esempio, l'energia), e di determinare, quando cio' appare possibile, anche i corrispondenti punti critici.
 
   A titolo d'esempio si puo' citare il problema delle superfici minime, che rappresenta uno dei problemi classici del Calcolo delle Variazioni. Esso consiste nella ricerca e nello studio delle superfici dello spazio la cui area e' la piu' piccola possibile fratutte le aree delle superfici aventi per bordo un'assegnata curvadello spazio.
 
  Varie generalizzazioni di questo problema, in particolare lo studio del moto di una superficie secondo la curvatura media, costituiscono la cosidetta Teoria Geometrica della Misura [L. Modica, G. Buttazzo, M. Giaquinta, V.M. Tortorelli]. Si possono considerare funzionali piu' generali che contengono informzioni di tipo geometrico come la curvatura gaussiana o di tipo fisico come tensori di ordini superiori. Applicazioni armoniche e il problema di Yamabe di interesse per la  Geometria Differenziale sono trattati con metodi del Calcolo delle Variazioni.

   Altri importanti problemi di Calcolo delle Variazioni, che provengono in modo naturale dalla Matematica applicata, sono il
problema di minimizzare certi "funzio nali di costo" (Teoria dell'Ottimizzazione) o certi funzionali dell'energia di sistemi fisici
soggetti a vincoli naturali, in particolare il problema dei cristalli liquidi [G. Buttazzo, L. Modica].
 
Rientrano poi nel Calcolo delle Variazioni vari problemi di Analisi non lineare, come lo studio dell'esistenza e della molteplicita' di soluzioni di equazioni differenziali non lineari o di disequazioni variazionali, i problemi di biforcazione, i problemi di "esponente critico" e vari altri problemi connessi [A. Marino, D. Passaseo, P.Majer]
 
 Vi sono inoltre diversi problemi matematici di stretto significato fisico o chimico, come i problemi di "transizione  di fase" in
materiali composti, i problemi di "omogenizza zione" o "rilassamento", il problema del controllo ottimo di dominio che sono studiati nell'ambito del Calcolo delle Variazioni.  [L.  Modica, G. Buttazzo].
 
Infine, sono oggetto di studio certe classiche questioni di tipo variazionale che originano dalla Geometria differenziale, come il  problema delle geodetiche su varieta' riemanniane [A. Marino, D. Passaseo].
 
   I principali metodi usati per lo studio dei problemi di esistenza nel Calcolo delle Variazioni sono le tecniche dell'Analisi funzionale nonlineare, e strumenti della Topologia (punti fissi, grado topologico di Leray e Schauder) o di Topologia  algebrica. In particolare la teoria di Lusternik - Schnirelman, la teoria di Morse con le sue varie generalizzazioni dovute a Palais, Smale, Bott ed altri. I problemi di regolarita' delle soluzioni sono invece principalmente trattati facendo uso della teoria di equazioni differenziali.
 

 EQUAZIONI DIFFERENZIALI
 
 
 La motivazione principale per lo studio delle equazioni differenziali deriva da varie questioni di Geometria o di Fisica. Le leggi che descrivono i fenomeni fisici "in piccolo" sono per lo piu' formulate nel linguaggio delle equazioni differenziali.
 
Molte equazioni differenziali (come le equazioni di Eulero) derivano da principi variazionali, e cioe' da un funzionale (la Lagrangiana) che rappresenta l'energia di un sistema fisico. Le equazioni differenziali che si ottengono in questa maniera si dicono di tipo variazionale. Come e' gia' stato accennato all'inizio vari problemi connessi con la Geometria locale e con la Fisica sono alle base della teoria diequazioni differenziali sia di tipo lineare che di tipo nonlineare. I problemi di esistenza (locale o globale), unicita' e regolarita' delle soluzioni sono le questioni fondamentali della Teoria delle  equazioni differenziali. Le piu' comuni equazioni (o sistemi di equazioni) possono venire classificate nei tre tipi: equazioni  ellittiche, paraboliche e iperboliche. Tale classificazione consente di trattare equazioni e sistemi dello stesso tipo nella stessa maniera e con tecniche comuni.  Vi sono comunque moltissime equazioni che non appartengono a nessuna di queste tre classi, come ad esempio l'equazione di Schrodinger di importanza fondamentale nella teoria quantistica, l'equazione di Korteweg - de Vries.
  
 Inoltre, la classificazione in tipi corrispondono in molti casi alla natura fisica dei fenomeni descritti da questi equazioni. Ad esempio, le equazioni di tipo ellittico descrivono fenomeni stazionari, che nascono in problemi di Elasticita', della eletrostatica, della teoria dei campi magnetici, etc., le equazioni paraboliche descrivono invece i fenomeni di diffusione, come  la trasmissione del calore, infine le equazioni di tipo iperbolico caratterizzano i fenomeni di propagazione delle onde (Acustica, Ottica, elettromagnetica). Questioni di tipo  diffrazione, rifrazione delle onde in ottica e in elettromagnetismo  conducono a problemi di tipo misto, dove le tecniche moderne di ottica  geometrica e di analisi microlocale giocano un ruolo fondamentale.
 
 I principali temi di ricerca nel campo delle equazioni differenziali sono i seguenti:
 
  Esistenza e regolarita' di soluzioni diequazioni ( o sistemi) lineari di tipo ellittico o parabolico, con coefficienti discontinui o di equazioni o sistemi non lineari [S.Campanato, A. Tarsia]
 
Sistemi ellittici sovra determinati e vari altri problemi di Geometria e Analisi complessa [M.  Nacinovich]
 
Equazioni di tipo parabolico, equazioni astratte di evoluzione lineari e nonlineari, teoria dei semi-gruppi, teoria dei controlli
deterministici o stocastici [P. Acquistapace, Carminati]
 
Problemi dell' unicita' e della risolubilita' locale per equazioni di tipo iperbolico o di tipo principale. Risolubilita' nella classe
delle funzioni analitiche reali, o nelle classi di Gevrey, di equazioni lineari debolmente iperboliche [F. Colombini, S. Spagnolo]
 
Risolubilita' locale e regolarita' analitica delle soluzioni di equazioni debolmente iperboliche semi-lineari. La risolubilita' globale di problemi di Cauchy iperbolici non lineari con dati iniziali piccoli. La risolubilita' e la regolarita' per equazioni di tipo
Kirchhoff [M. Ghisi, S. Spagnolo]
 
Applicazioni del calcolo para-differenziale a problemi iperbolici non lineari. Analisi microlocale e propagazione delle singolarita' di soluzioni di equazioni iperboliche lineari. Proprieta' degli operatori integrali di Fourier associati a varieta' lagrangiane o simboli singolari e applicazioni per problemi di scattering ed altri problemi inversi.
[F. Colombini, M.K.V. Murthy]
 
Problemi della propagazione e interazione nonlineare delle singolarita' per equazioni semilineari e quasilineari.  Studio di
onde conormali rispetto superfici (e varieta') associate in modo naturale con operatori iperbolici nonlineari e analisi microlocale nonlineare. Studio di punti singolari dei sistemi differenziali nella categoria analitico reale (o olomorfa) - sistemi differenziali con punti singolari (di tipo Fuchsiano) e sistemi olonomi di equazioni micro-differenziali e collegamento dell' indice di irregolrita' di tali sistemi con sistemi di equazioni micro-differenziali che operano fra spazi di funzioni e funzionali generalizzati di tipo Gevrey. Teoria delle funzioni risorgenti e equazioni a derivate parziali di tipo Fuchsiano.[M.K.V.  Murthy]
 
Negli ultimi anni si e' evidenziato una stretta connessione sia per la metodologia che per i risultati che si derivano fra diversi campi di ricerca matematica quali i sistemi differenziali, geometria algebrica e differenziale, analisi complessa, analisi funzionale ed anche alcuni aspetti della fisica teorica come la teoria di gauge, cosmologia e meccanica quantistica.
 

 
ANALISI FUNZIONALE
 
 
Problemi di geometria classica si sono posti e studiati in cosi' detti spazi euclidei - nel linguaggio matematico uno spazio vettoriale di dimensione finita, munito  con una struttura hilbertiana, che consente misurare le distanze, angoli  ecc. Tutta via le formulazioni matematiche delle questioni di analisi  richiedono studio di funzioni (funzionali e operatori, lineari e nonlineari)  in spazi di dimensione infinita. Spazi di Hilbert e di Banach sono spazi di questo tipo che permettono estensioni naturali delle nozioni fondamentali  di geometria euclidea.
 
 L'analisi funzionale si occupa di questo tipo di problematiche e quindi  studia spazi di Hilbert e loro generalizzazioni, funzioni e  operatori limitati e illimitati su tali spazi.  La teoria di Riesz -Fredholm per certi classi di operatori lineari e limitati (operatori  compatti) ha conseguenze importanti nello studio di equazioni e sistemi differenziali di tipo ellittico che a loro volta provengono da problemi di geometria differenziale e di fisica matematica.  Il  cosiddetto problema di autovalori o piu' in generale, quello dello spettro di operatori differenziali lineari si studiano realizzandogli come operatori non limitati in opportuni spazi funzionali generalizzati muniti con strutture hilbertiane.

La teoria di semi - gruppi di operatori su spazi di Hilbert e' strettamente collegata con diversi questioni associati alle
equazioni di tipo evoluzione specie a quelle del tipo parabolico o iperbolico. Inoltre, le tecniche dell'analisi funzionale lineare e
nonlineare  costituiscono un' importante parte della metodologia in tutti rami  dell'anilisi matematica.
   
 L'analisi funzionale si occupa di questo tipo di problematiche e quindi  studia spazi di Hilbert e loro generalizzazioni, funzioni e e operatori limitati e illimitati su tali spazi.  La teoria di Riesz -Fredholm per certi classi di operatori lineari e limitati (operatori
compatti) ha conseguenze importanti nello studio di equazioni e sistemi differenziali di tipo ellittico che a loro volta provengono da problemi di geometria differenziale e di fisica matematica.  Il  cosiddetto problema di autovalori o piu' in generale, quello dello spettro di operatori differenziali lineari si studiano realizzandogli come operatori non limitati in opportuni spazi funzionali generalizzati muniti con strutture hilbertiane.

La teoria di semi - gruppi di operatori su spazi di Hilbert e' strettamente collegata con diversi questioni associati alle
equazioni di tipo evoluzione specie a quelle del tipo parabolico o iperbolico. Inoltre, le tecniche dell'analisi funzionale lineare e
nonlineare  costituiscono un' importante parte della metodologia in tutti rami  dell'anilisi matematica.
 
Alcuni argomenti di ricerca del settore di analisi funzionale sono i seguenti:
 
Teoria di semi gruppi e applicazioni, operatori monotoni e generalizzazioni,  equazioni di Hamilton-Jacobi [P.  Acquistapace,
Carminati]
 
 

La matematica interviene come strumento indispensabile nello studio dei problemi del mondo reale. I modelli matematici permettono infatti di descrivere in modo adeguato l'evolversi di fenomeni del mondo che ci circonda. Si presenta da una parte il problema di "tradurre" matematicamente il problema reale in forma matematica (fase di modellizzazione), dall'altra il problema di individuare metodi efficienti per "calcolare numericamente" la soluzione (fase di analisi e risoluzione). Calcolare numericamente significa applicare un numero finito di operazioni aritmetiche e/o logiche ad un insieme finito di numeri reali (i dati) per ricavare un altro insieme finito di numeri reali (i risultati) che fornisca la massima informazione sulla soluzione del problema. L'Analisi Numerica interviene in questa seconda fase nello sviluppo ed analisi di strumenti e metodologie matematiche che permettano di individuare ed analizzare metodi di risoluzione (algoritmi) efficienti per una vasta classe di problemi concernenti principalmente l'Analisi Matematica e l'Algebra Lineare.

Anche se l'Analisi Numerica ha origini molto antiche (i primi riferimenti a tal proposito risalgono agli antichi babilonesi che utilizzavano dei metodi numerici per approssimare soluzioni di equazioni di primo grado), essa ha avuto un enorme sviluppo solo di recente con l'introduzione degli elaboratori elettronici (computers). Ai tradizionali metodi sviluppati nei secoli scorsi si sono recentemente affiancati dei sofisticati metodi di risoluzione numerica che sono diventati strumenti indispensabili nella risoluzione di molti problemi della vita quotidiana (previsioni meteorologiche, esami clinici quali TAC e RNM, trasmissione ed elaborazione di informazioni digitalizzate, simulazione differenziale, guida automatica, telefonia cellulare).

Per certi problemi, lo sviluppo dei metodi numerici ha prodotto una accelerazione nei tempi di risoluzione, maggiore di quella prodotta dallo sviluppo della tecnologia dei calcolatori negli ultimi 30 anni. L'utilizzazione dei metodi numerici e, più in generale, di matematica computazionale, avviene a livello scientifico ormai in ogni disciplina e, a livello industriale, nelle industrie tecnologicamente più avanzate. La matematica ha infatti profondamente modificato il modo di produzione industriale. Ad esempio, nella progettazione e realizzazione di un prodotto (automobile, aereo satellite, centraline telefoniche, ecc.) viene generalmente costruito un modello matematico che descrive il comportamento del prodotto sotto diverse condizioni. Risolvendo numericamente il problema matematico con l'ausilio di un computer, si raccolgono preziose informazioni sul comportamento del prodotto allo studio. Questa simulazione matematica permette di correggere e migliorare il progetto senza dover costruire fisicamente un costoso e talvolta anche pericoloso prototipo.

Gli sbocchi occupazionali sono nell'ambito della ricerca scientifica e tecnologica (università, CNR, altri organi o istituti di ricerca), e nell'industria. Un altro sbocco, comune agli altri indirizzi, è l'insegnamento.

L'attività di ricerca nel settore dell' Analisi Numerica èquanto mai viva ed ha avuto una notevole espansione negli ultimi anni.

RICERCA E DIDATTICA

La attività di ricerca a Pisa viene svolta principalmente nei seguenti settori:

1. Analisi e sintesi di algoritmi in diversi ambienti di calcolo (calcolatori vettoriali e paralleli). La tecnologia moderna fornisce strumenti di calcolo che permettono di svolgere simultaneamente molte operazioni in "parallelo". Ciò ha cambiato fortemente la logica di risoluzione algoritmica dei problemi. Per poter utilizzare pienamente la maggior potenzialità di calcolo occorre abbandonare quegli algoritmi che sono efficienti in ambiente "sequenziale" ed è necessario reinventare algoritmi specifici con caratteristiche di alto "parallelismo".
2. Studio della complessità computazionale di problemi dell'Analisi Numerica. È molto diverso poter risolvere un sistema lineare di n equazioni in n incognite con n³ operazioni aritmetiche anziché con n!=n(n-1)(n-2)...2. Nel primo caso, per sistemi di 50 equazioni, la soluzione può essere calcolata con un  "personal computer" in pochi centesimi di secondo. Nel secondo caso, anche usando i più potenti mezzi di calcolo esistenti, non sarebbe sufficiente la vita dell'universo per poter completare il calcolo. La complessità aritmetica di un problema è il minimo numero di operazioni aritmetiche sufficienti a risolvere il problema stesso. In questo settore di ricerca si studiano strumenti per poter dare limitazioni superiori e inferiori alla complessità. Sono molto rari i casi di problemi significativi la cui complessità è nota.
3. Analisi di strutture in problemi di Algebra Lineare Numerica. In molti modelli matematici è richiesta la risoluzione di problemi di algebra lineare (tipicamente risoluzione di sistemi, inversione di matrici e calcolo di autovalori e autovettori) in cui intervengono matrici dotate di particolari proprietà di struttura. L'analisi delle proprietà di struttura delle matrici è utile per la individuazione di algoritmi efficienti di risoluzione. L'utilizzazione delle strutture permette spesso di risolvere problemi altrimenti intrattabili computazionalmente. Una struttura molto diffusa, che interviene nella modellizzazione di problemi anche di natura molto diversa, è la struttura di Toeplitz.
4. Problemi riguardanti il trattamento di polinomi. Si studiano, da un punto di vista algoritmico, problemi relativi ai polinomi (calcolo del massimo comun divisore, del minimo comune multiplo, del quoziente e del resto, approssimanti di Padé, interpolazione, approssimazione degli zeri, ecc.). In molti di questi problemi intervengono matrici strutturate (struttura di Toeplitz) e sono coinvolti i problemi di cui al punto 3). Questo settore di ricerca ha ampie intersezioni col calcolo simbolico e la computer algebra. Presso il Dipartimento di Matematica è in corso un progetto di ricerca europeo ESPRIT, il progetto FRISCO, che si propone di integrare strumenti simbolici e numerici per individuare algoritmi di risoluzione efficienti di sistemi di equazioni polinomiali. Sistemi di equazioni polinomiali intervengono in molti problemi industriali, fra questi di particolare rilievo sono i problemi di robotica.
5. Analisi e sintesi di metodi numerici per catene di Markov. Molti problemi di teoria delle code sono modellizzati da catene di Markov con matrici di transizione di dimensioni molto elevate, spesso infinite e dotate di strutture molto speciali. È molto importante, in questo contesto, individuare metodi numerici efficienti per calcolare l'autovettore di tali matrici corrispondente all'autovalore 1. Lo sviluppo di metodi numeroci è fortemente correlato all'analisi di struttre di cui al punto3.

Presso il Corso di Laurea in Matematica sono impartiti i seguenti insegnamenti Analisi Numerica 1^o modulo (Prof. D. Bini), Analisi Numerica 2^o modulo (Prof. D. Bini), Calcoli Numerici 1^o modulo (Prof. O Menchi), Calcoli Numerici 2^o modulo (Prof. D. Bini). La Scuola di Dottorato di Matematica dell'Università di Pisa prevede un corso di indirizzo numerico.

Alcune tesi di laurea in matematica nel settore dell'Analisi Numerica discusse negli ultimi anni sono:

• Analisi numerica di sistemi di code: il metodo PSA
• Metodi di approssimazione decentrati per flussi incomprimibili
• Il calcolo della funzione esponenziale in multiprecisione con il pacchetto GMP
• Metodi numerici e simbolici per il trattamento di polinomi univariati
• Proprieta' spettrali di matrici di Toeplitz a blocchi generate da una funzione a quadrato sommabile
• Il calcolo degli autovalori di matrici di Toeplitz.
• Metodi di precondizionamento per la risoluzione di sistemi lineari di Toeplitz.
• Analisi del metodo di Madsen-Reid: per l'approssimazione di zeri di polinomi.
• Il metodo di Weyl per l'approssimazione di zeri di polinomi analisi  numerica e implementazione.

 

    La storia della matematica consente di ripercorrere la genesi e l'evoluzione nel tempo delle idee e delle tecniche matematiche, e contribuisce a sfatare  il luogo comune secondo cui la matematica sarebbe una scienza statica e ormai cristallizzata, nella quale non c'e' piu' nulla da scoprire.

    Essa non richiede - almeno ad un primo approccio - particolari prerequisiti, se non una buona conoscenza dei contenuti dei corsi del primo biennio di  matematica e, soprattutto, un reale interesse culturale verso la storia e le sue problematiche. In certi campi puo' essere necessaria, se non addirittura indispensabile per un serio lavoro di ricerca, la conoscenza di lingue quali il greco e il latino per la matematica antica, il latino per quella dell'epoca moderna, il tedesco, il francese e l'inglese per quella contemporanea.

   Come esempio di un interesse tipico dello storico della matematica si potrebbe citare il ``caso'' Galileo. Affrontare la complessa vicenda culturale, scientifica e umana dello scienziato pisano richiede la conoscenza dei suoi  testi e delle sue scoperte, del contesto culturale e politico in cui essi si collocarono, richiede di riuscire a ricostruire il senso che aveva per il suo autore un particolare problema (ad es. la determinazione della legge di caduta dei gravi) evitando traduzioni affrettate e fuorvianti in termini moderni. E' attraverso questo lavoro che la storia della matematica diventa uno strumento che permette di capire il passato per illuminare il presente e, per converso, di utilizzare le nostre problematiche per ricostruire la scienza che ci ha precedut i.
 

RICERCA E DIDATTICA
 

   L'unico corso pienamente attinente al settore di storia della matematica tenuto presso il Dipartimento di Matematica e'
 
      Storia delle matematiche Mod. I e II (prof. P.D. Napolitani)

 
   Va tuttavia tenuto conto che presso il Dipartimento si tengono con
frequenza seminari e conferenze di storia delle matematiche; in particolare vi si svolgono alcune delle riunioni del Seminario di Storia delle Matematiche delle Universita' toscane e che Pisa e' la sede di un seminario di lavoro e ricerca internazionale, All'alba della matematica moderna: l'opera di Francesco Maurolico, le cui sessioni si tengono 4-5 volte l'anno.
 
   Inoltre, all'interno del Dottorato in Matematica con sede a Pisa e' stato recentemente attivato un percorso di Storia, che dovrebbe permettere allo studente interessato di formarsi una professionalita' specifica in questo settore e  fornire, d'altro canto, una piu' completa panoramica culturale per i dottorandi in altri settori matematici.
 

   Sono inoltre attivati a Pisa un corso di Storia della Fisica (prof. Roberto Vergara Caffarelli; corso di laurea in Fisica); un corso di Storia della Scienza e della Tecnica (prof. Tito Tonietti, corso di laurea in storia); un corso seminariale di Storia della Scienza presso la Scuola Normale Superiore (prof. Speiser).

   In questo campo sono state assegnate negli ultimi anni alcune tesine e tesi di laurea.
 

   Le prospettive di lavoro per chi si laurea in questo settore e intenda mettere a frutto le specifiche conoscenze acquisite, sono principalmente nell'ambito della ricerca pura. Va detto che una preparazione specifica nel settore puo'  da un lato aprire possibilita' in settori quali il giornalismo scientifico o il lavoro redazionale presso case editrici, dall'altro costruire un importante bagaglio culturale per il futuro insegnante. Possibilita' di impiego potrebbero aprirsi anche presso biblioteche con fondi matematici antichi, presso biblioteche di dipartimenti scientifici e presso musei di storia della scienza.
 

    Specifici settori di ricerca in quest'area attivi a Pisa sono:
 

1) Matematica rinascimentale e moderna:
   - il ritorno dei classici della matematica greca; le relazioni fra l'eredita     ' scientifica medievale e la nuova sensibilita'
       umanistica.
 
   - la nascita e lo svilupparsi della geometrizzazione del mondo fisico; Galilei e la sua scuola; la matematica gesuitica; le
       nuove tecniche degli indivisibili: Valerio, Cavalieri e Torricelli;

   - la nascita della nuova algebra simbolica e la sua applicazione alla geometria: Francois Viete e la sua scuola;
      alla  rivoluzione cartesiana e la nascita della matematica moderna.
 

2) Matematica contemporanea:
 

   - le trasformazioni dell'algebra nella seconda meta' del XIX secolo: l'opera     di Kummer e Dedekind;

   - il pensiero e l'opera di Hermann Weyl, in particolare i lavori sulle rappresentazioni dei gruppi continui e sul modello
      ``geometrico'' del continuo;
 

   - il processo di formalizzazione da Felix Klein a David Hilbert con il conseguente conflitto contro l'intuizionismo di L.E.J.
      Brouwer e seguaci;

   - teorie matematiche della scale musicali: dal Rinascimento fino a Schonberg.
 
 

   L'algebra e' lo studio delle strutture astratte, ossia degli oggetti matematici che, anche se si presentano in modi diversi ed appaiono nell'ambito di differenti teorie matematiche, tuttavia possiedono proprieta' formali estrema mente simili e sono percio' accomunabili in un'unica teoria astratta. Per esempio, i numeri interi e i polinomi in una variabile a coefficienti reali hanno proprieta' pressocche' identiche se si considera la loro struttura di anello, cioe' la loro struttura rispetto alle operazioni usuali di addizione e moltiplicazione. Le strutture fondamentali dell'algebra sono gli insiemi forniti di operazioni, quali i gruppi (che sono dotati di una operazione e comprendono per esempio molti insiemi di trasformazioni geometriche, strutture aritmetiche quali le classi di congruenza e strutture  combinatorie come le permutazioni), gli anelli e i campi (dotati di due operazioni, che comprendono gli interi, i polinomi, le serie di potenze e le matrici), i moduli e gli spazi vettoriali (dotati di due operazioni, una delle quali dipende da un insieme di costanti opportuno), i reticoli e le algebre di Boole, che mimano le operazioni di unione, intersezione e complemento degli insiemi.

  La teoria dei numeri e' estremamente variegata ed ha diversi sottosettori; essa si avvale di volta in volta di strumenti algebrici, analitici, geometrici, combinatori e probabilistici. La parte piu' famosa della teoria dei numeri e'  probabilmente quella che riguarda la distribuzione dei numeri primi e i legami che ci sono fra la struttura additiva e moltiplicativa dei numeri naturali  (problema dei primi gemelli, ossia coppie di primi della forma (p,p+2) e congettura di Goldbach, che dice che ogni numero pari si puo' scrivere come somma di due primi). Tra le altre problematiche, ricordiamo lo studio e la risoluzione delle equazioni diofantee, ossia con variabili intere (si pensi per esempio al famosissimo problema delle soluzioni intere dell'equazione di Fermat  $x^n+y^n=z^n$, oggi completamente risolto) affrontati anche con metodi di tipo geometrico; l'approssimazione diofantea, ossia lo studio delle approssimazioni di numeri irrazionali mediante razionali, la dimostrazione della irrazionalita' o trascendenza di alcuni numeri classici e la determinazione delle loro migliori approssimazioni; lo studio delle estensioni algebriche dei numeri razionali, l'estendibilita' del concetto di fattorizzazione unica a tali strutture e la determinazione effettiva di metodi di fattorizzazione.

 
  Le prospettive di lavoro per chi si laurea nei settori di algebra e teoria dei numeri sono principlamente nell'ambito della ricerca pura. Tuttavia recentemente si e' sviluppato un filone di ricerca di tipo algoritmico che permette l'applicazione a numerose situazioni pratiche. In particolare molti sistemi per la codificazione segreta come quelli attualmente in uso per codici personali di identificazione (sistema bancario, sistemi di sicurezza, etc.) si basano su operazioni relativamente semplici in una direzione ma estremamente complesse nella direzione opposta, come la moltiplicazione di numeri primi e la sua opposta, cioe' la scomposizione di un numero come prodotto di fattori primi. Queste ed altre applicazioni permettono impieghi di prestigio anche in settori legati all'industria e in generale al mondo produttivo. In ogni caso uno sbocco professionale rilevante, come per qualsiasi laureato in matematica, e' l'insegnamento presso scuole di qualsiasi ordine e grado.
 

RICERCA E DIDATTICA

   I principali settori di ricerca sono i seguenti.

   ALGEBRA COMPUTAZIONALE

 
   I principali temi di ricerca nell'ambito dell'algebra computazionale sono:

  1) Analisi e miglioramento degli algoritmi di algebra commutativa, con particolare riguardo alla metodologia delle basi di
      Groebner.

  2) Implementazione di algoritmi e sviluppo dei sistemi di calcolo algebrico.

  3) Metodi seminumerici per la risoluzione dei sistemi di equazioni polinimiali.

  4) Sviluppo di metodologie e applicazioni nel campo della geometria algebrica  reale.
 

TEORIA DEI NUMERI

  1) Approssimazione diofantea, irrazionalita' e misure di irrazionalita' di costanti classiche.

  2) Stime effettive per l'approssimazione di numeri algebirici mediante numeri razionali.

  3) Studio di equazioni diofantee mediante metodi geometrici (curve ellittiche e varieta' abeliane).

  4) Proprieta' aritmetiche dei polinomi nelle parti frazionarie dei numeri  reali ed applicazioni alle soluzioni algebriche delle
      equazioni differenziali di tipo ipergeometrico.

  5) Fattorizzazione dei primi nei campi di numeri; metodi effettivi e teoremi di densita'.

  6) Polinomi a coefficienti p-adici: criteri per la fattorizzazione e densita'  dei polinomi irriducibili.
 

  La Scuola di Dottorato di Matematica dell'Universita' di Pisa prevede diversi sottosettori, uno dei quali e' dedicato all'algebra e alla teoria dei numeri.

  Le principali collaborazioni con altri enti di ricerca sono le seguenti:
 

   - Institute for Advanced Study di Princeton, New Jersey (USA);

   - Universite' de Paris;
 
   - Universite' de Bordeaux;
 
   - Universite' de Metz;

   - Universitat Ulm;

   - Universita' di Venezia;

   - Universita' di Genova;

   - Universita' di Pavia.
 
 

   I corsi attivati nel settore nell'anno accademico 1997-98 sono i seguenti:
 

   - Algebra (prof. Pardini)

   - Istituzioni di Algebra Superiore Modulo I e II (prof. Dvornicich)

   - Algebra Superiore Modulo I (dott. Del Corso)

   - Algebra Superiore Modulo II (prof. Traverso)

   - Teoria dei Numeri Modulo I (prof. Dvornicich)
 
   - Approssimazione diofantea (per il dottorato di ricerca, prof. Amoroso)

   - Equazioni diofantee (per il dottorato di ricerca, prof. Schlickewei)
 
 
 

   Il Calcolo delle probabilita', che si puo' genericamente definire come lo studio matematico dei fenomeni aleatori, e' al giorno d'oggi una teoria matematica perfettamente formalizzata, legata in modo assai stretto alla teoria della misura e dell'integrazione (tanto da poter essere considerata, secondo autorevoli matematici, come un capitolo speciale di questa teoria).

   La Statistica matematica (o Inferenza statistica) si puo' identificare con la teoria delle decisioni in condizioni d'incertezza: essa fornisce un complesso di tecniche matematiche, piu' o meno raffinate, che permettono, in condizioni  d'incertezza, di scegliere le decisioni che rendano minime o massime certe  quantita', di natura probabilistica, legate alle conseguenze delle decisioni stesse.

   Nelle applicazioni della matematica alla fisica e alla tecnica, il tradizionale uso di schemi deterministici ha ceduto il passo, gia' da gran tempo, a un  impiego massiccio di modelli aleatori. L'impiego di siffatti modelli e' poi pratica corrente nelle applicazioni della matematica alle scienze economiche e sociali. Di qui l'evidente importanza della probabilita' e della statistica nella preparazione di un matematico dell'indirizzo applicativo.

Va sottolineato che le applicazioni piu' importanti della probabilita'  riguardano i cosiddetti processi stocastici ed esigono un apparato matematico molto ricco e sofisticato. L'approfondimento di questo apparato, dei suoi rapporti con numerose altre
strutture matematiche e delle insospettabili ``applicazioni'' che se ne possono trarre nell'ambito della stessa matematica tradizionale e' poi di grande utilita' anche per il matematico ``puro'', e non puo' quindi mancare, al giorno d'oggi, nel suo bagaglio culturale.

Infine, considerando il rapido diffondersi delle materie probabilistiche e statistiche nell'insegnamento secondario, non puo' sfuggire l'importanza di queste materie nella preparazione del futuro insegnante di matematica.

 
 RICERCA E DIDATTICA

   La ricerca svolta presso l'Universita' di Pisa si inserisce in un progetto di Ricerca Nazionale (finanziato dal Ministero dell'Universita' e della Ricerca Scientifica e Tecnologica), dal titolo ``processi stocastici'', al quale partecipano ricercatori di altre 12 sedi universitarie italiane, ed in un progetto Finalizzato del CNR dal titolo ``Decisioni stocastiche, teorie ed applicazioni'' (sottoprogetto ``Modelli per i mercati finanziari''). Si tratta di una ricerca di base, volta ad approfondire lo studio dei processi stocastici e dell'integrazione stocastica, sia nell'ambito della probabilita' classica che in quello della cosiddetta ``probabilita' quantistica''. Tra i temi di ricerca, si puo' segnalare:

1) teoria generale dei processi stocastici

2) inferenza statisitca dei processi stocastici

3) applicazioni del calcolo stocastico alla finanza

4) problemi di esistenza e stabilita' per equazioni differenziali stocastiche

5) equazioni differenziali stocastiche tipo Navier--Stokes

  Sono importanti i seguenti insegnamenti:

   Calcolo delle Probabilita' I e II modulo (Prof. Letta)

   Statistica Matematica I modulo (prof. M. Pratelli)
                        II modulo (prof. P.A. Zanzotto)
 

  Alcune recenti tesi di dottorato o di laurea:
 

- valutazione del prezzo delle opzioni americane: metodi statistici

- applicazione ai modelli statistici della nozione di convergenza stabile

- convergenza stabile e scambiabilita'

- rappresentazione delle martingale come integrali stocastici: applicazioni ai modelli dei mercati finanziari.
 

  Alcune delle tesi di laurea discusse negli ultimi due anni:

- Indipendenza condizionale, leggi condizionali, scambiabilita'.

- Dal moto browniano all'equazione di Schrodinger.

- Inferenza statistica per processi stocastici stazionari e loro generalizzazio
  ni.

- Sequenze finite e infinite di variabili aleatorie scambiabili e loro applicazioni alla statistica.

- La Statistica robusta.

- La scambiabilita' e il teorema di de Finetti: recenti sviluppi e applicazioni.
 
 

   All'inizio di questo secolo assistiamo ad un intensificarsi delle ricerche logico-fondazionali a seguito della crisi dei fondamenti della matematica verificatasi con la scoperta di una serie di paradossi concernenti la natura degli insiemi
infiniti di Cantor.

   Sotto l'influenza delle idee di Hilbert la logica matematica si e' andata successivamente caratterizzando come quella disciplina che studia le relazioni esistenti tra gli oggetti della matematica  (che comprendono delle entita'  infinite) e il linguaggio formale (per sua natura finito) attraverso cui il matematico parla di questi oggetti. Questo tipo di analisi ha portato ad una chiarificazione del rapporto tra ``verita'' e ``dimostrabilita''' e, con i  risultati di Godel, alla individuazione di alcuni limiti intrinseci del ragionamento formalizzato.

  Intorno agli anni `30 la logica si e' arricchita di un nuovo capitolo concernente lo studio degli algoritmi e della calcolabilita' permettendo ad esempio di dimostrare che alcuni problemi non sono risolubili in modo algoritmico, cioe', diremmo oggi, con un calcolatore.

  I settori di ricerca della logica matematica si possono distinguere in:

   1) Critica dei fondamenti;

   2) Teoria degli insiemi;

   3) Teoria dei modelli;

   4) Teoria della calcolabilita' e della complessita';

   5) Teoria della dimostrazione e matematica costruttiva.
 
 
    Oltre che nell'insegnamento i laureati in logica matematica possono trovare uno sbocco professionale in settori dell'area informatica.

   All'universita' di Pisa l'insegnamento e la ricerca nel settore della logica matematica viene svolto da docenti che afferiscono a vari dipartimenti e tra i quali sussistono rapporti di collaborazione scientifica.
 

   Matematica (prof. A. Berarducci)

   Scienze della informazione (prof. E. Borger)

   Ingegneria, Matematica (prof. M. Forti)

   Filosofia (prof. E. Moriconi)
 

   Esiste in Italia la associazione AILA (Associazione Italiana Logica Matematica) che fornisce via rete informazioni sulle attivita' afferenti la logica in Italia (convegni, dottorato, concorsi, borse di studio, ecc.). La associazioneEACSL (European Association Computer Science Logic) coordina le attivita' afferenti all'area interdisciplinare logica matematica-informatica, e organizza una serie di convegni sia in Italia che all'estero. La associazione SILFS  (Societa' italiana logica e filosofia della scienza) organizza una serie di convegni nazionali di logica e filosofia della scienza e pubblica un bollettino periodico.  E' attivo in Italia il dottorato in Logica Matematica presso le universita' di Siena e Milano.