Programma di Analisi Numerica Modulo 1

1. Rappresentazione in base ed errori.   Rappresentazioni in base di numeri reali, rappresentazione in virgola mobile, aritmetica di macchina, errore di cancellazione. Errore inerente, errore algoritmico, condizionamento di un problema e stabilità di un algoritmo. Analisi diretta ed inversa dell'errore. Esempi significativi: sommatoria, produttoria e prodotto scalare. Costo di un algoritmo e complessità di un problema.
2. Sistemi di equazioni non lineari.  Il caso di una singola equazione: il metodo di bisezione, metodi di iterazione funzionale, teoremi del punto fisso, criteri di arresto, analisi della propagazione degli errori, ordine di convergenza di un metodo. I metodi di Newton, di Aitken. Il caso di sistemi di equazioni: norme e raggio spettrale, teoremi di convergenza, il metodo di Newton-Raphson, ordine di convergenza.Il problema del calcolo numerico delle radici di un polinomio: condizionamento numerico, teoremi di localizzazione, sequenze di Sturm, varianti del metodo di Newton, metodi di deflazione esplicita, metodi di deflazione implicita, iterazioni simultanee, metodi di Durand-Kerner e di Aberth.
3. Sistemi di equazioni lineari. Norme di vettori e matrici, teorema di equivalenza; numero di condizionamento di na matrice , forma canonica di Schur, matrici normali, matrici riducibili e forte connessione del grafo associato. Localizzazione degli autovalori, teoremi di Gerschgorin. Matrici  elementari di Gauss e di Householder, fattorizzzione LU, QR, LL^T. I metodi di eliminazione di Gauss, di Householder, di Cholesky, analisi della stabilità numerica e del costo computazionale: strategie del massimo pivot parziale e totale. Calcolo dellínversa e del rango di una matrice. Generalità sui metodi iterativi: i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel, teoremi di convergenza.
4. La trasformata discreta di Fourier. Radici n-esime dell'unità, trasformata diretta (DFT) e inversa (IDFT), gli algoritmi di trasformata veloce (FFT) in base 2, algoritmo di Cooley-Tukey, algoritmo di Sande-Tukey. Complessità computazionale e stabilità numerica. L'algoritmo FFT su campi finiti. Trasformate trigonometriche: la trasformata dei seni, dei coseni, e di Hartley. Applicazioni della DFT nel filtraggio di segnali, in operazioni con polinomi e con numeri interi.

Testi di riferimento:
 

1. D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna 1988.
2. R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, Bologna 1992.