INDICAZIONI SULLO SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DEI FOGLI 10-11 In questa scheda si trovano soluzioni semilavorate e in certi casi solo la risposta non giustificata per alcuni degli esercizi dei fogli 10-11. Lo studente dovrebbe invece fornire tutti i dettagli. Scrivendo (X,Y) ci riferiamo all'esercizio Y del foglio X. (10,1) cos(x)-exp(-x^2/2)= (x^4/12)(1+ a(x)), (sen(x))^4= x^4(1+b(x)), dove a(x)->0 e b(x)->0 quando x->0. Quindi il limite cercato L=1/12. (10,2) E' una forma indeterminata del tipo 1^infinito. Si scrive: (cos(x))^(1/x^2) = [1+(cos(x)-1]^{[1/(cos(x)-1)][(cos(x)-1)/x^2]} da cui si deduce che il limite cercato e' uguale a L= lim_{x->0} e^[(cos(x)-1)/x^2] = e^{lim_{x->0} [(cos(x)-1)/x^2]} Il limite nell'esponente si tratta facilmente, per esempio, usando una delle regole dell'Hopital per cui infine si ottiene che L= e^{-1/2}. (10,3) Si tratta di determinare il piu' piccolo intero n>0 tale che f^(n)(0) e' diverso da zero, per cui a=f^(n)(0). Quindi si ottiene che: sen(x^2)-x^2 = (-1/6)x^6(1+e(x)). (10,4) [ERRATA NEL TESTO: si intendeva f(x)=p(x)+x^3c(x), c(x)->0 quando x->0.] (sen(x))^2= x^2(1+a(x)), x^3(sen(x))^2= x^5(1+a(x)), dove a(x)->0 quando x->0. Usando la formula di Newton, si vede che (1+x)^4= p(x) + x^4, dove p(x) e' un polinomio di terzo grado. Quindi: x^3(sen(x))^2+(1+x)^4= p(x) +x^3(x^2(1+e(x))+x) = p(x) + x^3c(x), dove c(x)->0 quando x->0. (10,5) (a) Si cerca una retta incognita di equazione y=mx+a, tale che lim_{x-> +infinito} (f(x)-mx-a) = 0. Determiniamo allora: m= lim_{x-> +infinito} f(x)/x = 1 a= lim_{x-> +infinito} (f(x)-x) = 1/3 NOTA: Si puo' usare lo sviluppo all'infinito di f(x)-x= x(1+ (1/3X) + (1/x)b(x)-1) dove b(x)->0 quando x-> +infinito. Lo sviluppo all'infinito puo' essere ricondotto ad uno sviluppo intorno a 0, mediante la sostituzione x=1/t. (b) Si usa lo sviluppo all'infinito f(x)-(x+1/3)=(-1/9x)(1+(1/9)d(x)), dove d(x)->0 quando x->+infinito. Dunque f(x)-(x+1/3) e' definitivamente negativo quanto x-> +infinito, cioe' il grafico e situato definitivamente sotto l'asintoto. (10,6) La funzione f e' dispari, f(0)=0, f'(0)=1. Quindi la retta tangente al grafico nel punto (0,0) ha equazione y=x. Sviluppando si verifica che f(x)-x= (-1/15)x^5(1+a(x)), a(x)-> 0 quando x-> 0 quindi il grafico e' sotto la tangente per x>0 abbastanza piccolo, e' sopra la tangente per x<0 abbastanza piccolo. NEI SEGUENTI ESERCIZI INDICHEREMO CON I(f) L'INTEGRALE INDEFINITO DI f, CON I_a^b f QUELLO DEFINITO (11,1) (xarctan(x))'= actan(x) + x/(1+x^2). Quindi I(arctan(x))= xarctan(x) - I(x/(1+x^2)). L'ultimo integrale indefinito si tratta per mezzo della sostituzione diretta 1+x^2 = t ottenendo infine I(arctan(x))= xarctan(x) -(1/2)log(1+x^2)+c . (11,2) (xarcsen(x))'= arcsen(x) + x(1-x^2)^{-1/2}. Quindi I(arcsen(x)= xarcsen(x) - I(x(1-x^2)^{-1/2}). L'ultimo integrale indefinito si tratta per mezzo della sostituzione 1-x^2 = t ottenendo infine I(arcsen(x)= xarcsen(x) + (1-x^2)^{1/2}. (11,3) sen(2x)cos(3x)= [sen(2x-3x)+sen(2x+3x)]/2 = [sen(x)+sen(5x)]/2 ecc. (11,4) sen^2(x)cos^3(x) = (1-sen^2(x))sen^2(x)cos(x). Ponendo t= sen(x), ci riduciamo a calcolare l'integrale indefinito di un polinomio, I((1-t^2)t^2) che e' immediato. (11,5) Ponendo t=cos(2t), si ha che sen^2(x)=(1-t)/2, cos^2(x)=(1+t)/2, sen(x)cos(x)dx= (-1/4)dt. Per cui ci riduciamo al calcolo di (-1/4)I([(1-t)/2][(1+t)/2]). (11,6) Cosi' come gli integrali (11,3)-(11,5), si puo' trattare usando la funzione di Eulero e svolgendo algebricamente tutti i calcoli. (11,7) Si pone cos(x)=t e si ottiene I(tan(x))= -log(|cos(x)|)+c. (11,8)) F(x)= [x-sen(x)cos(x)]/2 se x maggiore o uguale a 0; F(x)= arctan(x) per x in (-2,0); F(x)= -x + arctan(-2) -2 se x e' minore o uguale a -2. F e' continua su tutta la retta. F e' derivabile su (-1,0) e su (0,1). Non e' derivabile in 0. Su (-1,0), F'(x)= 1/(1+x^2); su (0,1), F'(x)= sen^2(x). La funzione integrale G(x) di f(x) di punto base 1 verifica l'uguaglianza: G(x) = I_0^1(sen^2(x)) + F(x) dunque G ha le stesse proprieta' di F. (11,9) E' trascurabile. (11,10) E' un integrale indefinito della forma I(R(x,x^{3/2}), dove R(x,y) e' una funzione razionale di due variabili. Dunque i punti del piano della forma (x,x^{3/2}) appartengono alla curva nel piano definita dall'equazione polinomiale x^3-y^2=0. Si razionalizza mediante (x,y)=(t^2,t^3); ci riduciamo all'integrale I(2R(t^2,t^3)tdt)=I(2t^{-8})= (-2/7)t^{-7} + R. (11,11) E' l'integrale di una funzione razionale, che puo' essere studiato applicando la procedura vista a lezione. Facendo la divisione con il resto, x^5-1 = (x^3-x)(x^2+1) + x-1. Quindi I([x^5-1]/[x^3-x])= I(x^2+1)+I([x-1]/[x^3-x]). Il primo integrale della somma e' immediato. Per integrare il secondo, cerchiamo A e B tali che (x-1)/(x^3-x) = 1/(x(x+1)) = A/x + B/(x+1), cioe' A=1, B=-1. Dunque I([x-1]/[x^3-x]) = I(1/x) - I(1/(x+1)) = log(|x|) - log(|x+1|) + R.