Dati registro
insegnamento: Analisi Matematica 1
codice: 561AA
corso di studi: Matematica (MAT-L)
anno accademico: 2024-2025
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti,
Alessandra Pluda
totale ore: 130 (lezioni:
85 ore; esercitazioni: 45 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 80
(lezioni: 65 ore; esercitazioni: 15 ore)
totale ore Alessandra Pluda: 50
(lezioni: 20 ore; esercitazioni: 30 ore)
Lezioni
- Mercoledì 25/09/2024 14:00-15:00 (1 ora) lezione:
Giovanni Alberti
Presentazione del corso: docenti; programma ("calcolo" nel primo
semestre, "analisi" nel secondo; differenze tra i due semestri).
Esami; Team del corso (come iscriversi e a cosa serve:
comunicazioni, materiale didattico).
Raccomandazioni e precisazioni: frequenza, libri di testo,
approccio allo studio e agli esercizi.
- Mercoledì 25/09/2024 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Test di verifica delle conoscenze di base. Il test è
articolato su 9 domande a risposta aperta (a cui dare solo la
risposta senza procedimento).
- Lunedì 30/09/2024 09:10-10:10 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Revisione del test di ingresso: individuare dominio e
immagine di una funzione a partire dal grafico; descrivere
insiemi del piano in termini di disequazioni; risoluzione
grafica di disequazioni.
- Lunedì 30/09/2024 10:00-11:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso nozioni di base: numeri, logaritmo in base "e", angoli
in radianti, significato del simbolo di radice, per quali numeri
a e b è definita la potenza a^b.
- Martedì 01/10/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso delle nozioni di base di trigonometria; coordinate
polari; grafici delle funzioni elementari (da ricordare a
memoria). Prime operazioni sui grafici: dato il grafico y=f(x),
tracciare i grafici y=f(x)+c e y=f(x+c) (con spiegazione delle
regole).
- Mercoledì 02/10/2024 09:15-10:05 (1 ora) lezione:
Alessandra Pluda
Operazioni sui grafici: dilatazioni e compressioni
orizzontali e verticali, riflessione rispetto all'asse x e
all'asse y, grafico di |f(x)| e f(|x|).
- Mercoledì 02/10/2024 10:15-11:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su operazioni sui grafici e coordinate polari.
- Lunedì 07/10/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Funzioni da un insieme X (dominio) ad un insieme Y (codominio);
immagine e grafico di una funzione; immagine e controimmagine di
un insieme secondo una funzione. Definizione astratta di
funzione come grafico. Riconoscere il dominio e l'immagine a
partire dal grafico.
Funzioni date da una formula: insieme di definizione (ma in
generale il dominio può essere più piccolo dell'insieme di
definizione).
Altri esempi di funzioni: legge oraria di un punto in movimento,
funzioni di più variabili, etc.
Funzioni iniettive, surgettive e biiettive; interpretazione
grafica di questi concetti. Definizione di funzione invertibile
e di funzione inversa; una funzione è invertibile se e solo se è
biiettiva.
- Martedì 08/10/2024 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Grafico della funzione inversa. Esempi di funzioni invertibili e
relative inverse; il logaritmo come inversa della funzione
esponenziale (avendo posto il codominio dell'esponenziale uguale
all'immagine); la radice quadrata come inversa del quadrato
(fatte le opportune modifiche di dominio e codominio).
- Martedì 08/10/2024 12:10-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Inverse delle funzioni trigonometriche, grafico di
tan(arctan(x)) e di arctan(tan(x)). Esercizi sul trovare
l'inversa di una funzione data da una formula.
- Mercoledì 09/10/2024 09:10-11:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Definizione di funzione continua (su X contenuto in R e a
valori in R). Commenti sulla definizione. Le funzioni elementari
(tranne la parte intera) sono continue sull'insieme di
definizione (senza dimostrazione); somme, prodotti e
composizioni di funzioni continue sono continue (senza
dimostrazione). Esempi (grafici) di funzioni continue e
discontinue.
- Lunedì 14/10/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di massimo e minimo di un qualunque insieme di
numeri reali. Definizione di estremo superiore ed inferiore per
un insieme X dato da un'unione finita di intervalli; chiusura di
X.
Definizione di limite di una funzione f da X in R in un punto x
bar della chiusura di X (con X come sopra). Definizione di
limite destro e sinistro. Esempi a partire dalle funzioni note.
Unicità del limite. Se f è definita in x bar e continua, allora
il limite vale f(x bar).
Casi in cui il limite non ha senso (che non vuol dire che non
esiste!); elenco dei possibili comportamenti di un limite
(quando ha senso).
- Martedì 15/10/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Regole elementari per il calcolo dei limiti (con solo cenni di
dimostrazione): cambio di variabile (versione "semplificata" e
versione precisa); limite della somma e del prodotto di due
funzioni, e limite del reciproco (inclusi i casi estremi:
+infinito + L con L diverso da -infinito, +infinito * L con L
diverso da 0); "forme indeterminate". Teorema del confronto (o
dei carabinieri).
- Mercoledì 16/10/2024 09:00-09:45 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo dei limiti
- Mercoledì 16/10/2024 10:00-10:55 (1 ora) lezione:
Alessandra Pluda
Derivate: motivazione geometrica (retta tangente al grafico
di una funzione) e fisica (definizione di velocità puntuale).
Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
Esempio di calcolo della derivata a partire dalla definizione.
- Lunedì 21/10/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Calcolo delle derivate: tabella delle derivate delle funzioni
elementari e regole di derivazione (da dimostrare). Esempi di
calcolo delle derivate. Dimostrazione delle regole (tutte) e
delle derivate delle funzioni elementari (tutte tranne le
funzioni trigonometriche e trigonometriche inverse).
Per dimostrare che (e^x)' = e^x ho definito il numero "e" come
l'unico numero reale tale che (e^x-1)/x tende a 1 per x che
tende a 0. (Non dimostro l'esistenza né l'unicità di un tale
numero).
- Martedì 22/10/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Dimostrazione delle formule per le derivate delle funzioni
trigonometriche e delle funzioni trigonometriche inverse.
Teorema di de l'Hôpital (enunciato ma non dimostrato) con esempi
e controesempi.
Ancora sulla definizione del numero "e" (come l'unico numero
tale che (e^x-1)/x tende a 1 quando x tende a 0): se esiste un
numero a diverso da 1 tale che esiste il limite di (a^x-1)/x
quando x tende a 0, allora esiste anche "e", inoltre "e" è
unico.
- Mercoledì 23/10/2024 09:05-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Definizione di trascurabilità e di "o piccolo". Gerarchie
di infiniti e infinitesimi. Definizione di asintotica
equivalenza. Esempi. Proprietà dell'equivalenza asintotica e
principio di sostituzione nei limiti.
- Lunedì 28/10/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Nozione di parte principale di una funzione in 0 e in
+/-infinito. Nozione di "o grande" (versione precisa e versione
"semplificata"). Alcune relazioni tra la nozione di "o grande" e
quella di "o piccolo".
Polinomio di Taylor di ordine d in 0 di una funzione f(x); resto
e sviluppo di Taylor. Teorema dello sviluppo di Taylor (formule
del resto di Peano); dimostrazione della formula R_d(x) = o(x^d)
per d=3.
- Martedì 29/10/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema dello sviluppo di Taylor (formule del resto di Peano):
dimostrazione della formula R_d(x) = O( x^{d+1} ). Lemmi utili:
la derivata del polinomio di Taylor di ordine d di f è il
polinomio di Taylor di ordine d-1 di f'; il polinomio di Taylor
di ordine d di f(x) in 0 è l'unico polinomio P(x) tale che f(x)
= P(x) +o(x^d).
Funzioni pari e dispari, parità e disparità delle derivate, il
polinomio di Taylor (in 0) di una funzione pari contiene solo
potenze pari, quello di una funzione dispari contiene solo
potenze dispari.
Sviluppo di Taylor di exp(x) (cioè e^x).
- Mercoledì 30/10/2024 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Sviluppi di Taylor significativi (con dimostrazione): exp(x),
sin(x), cos(x), log(1+x), (1+x)^a (e casi particolari:
(1+x)^{-1}, (1-x)^{-1}. Esempi di calcolo degli sviluppi di
Taylor a partire da quelli significativi. Alcune proprietà
intuitive di "o piccoli" e "o grandi". Dimostrazione (non
combinatorica) della formula dello sviluppo del binomio (a+b)^d
usando lo sviluppo di Taylor di (1+x)^d.
- Lunedì 04/11/2024 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Proprietà degli O grandi. Esercizi sugli sviluppi di Taylor.
Esercizi sulle parti principali.
- Martedì 05/11/2024 11:10-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sulle parti principali. Esercizi sui limiti.
- Mercoledì 06/11/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Definizioni: valore massimo e minimo di una funzione;
estremo superiore ed inferiore dei valori (solo nel caso in cui
l'immagine è unione finita di intervalli); punti di massimo e
minimo, punti di massimo e minimo locali. Risultati fondamentali
per la ricerca dei valori massimi e minimi di una funzione: a)
Teorema di Weierstrass (esistenza di massimo e minimo per una
funzione continua su un intervallo chiuso; dimostrazione
rimandata alla seconda parte del corso); b) nei punti di massimo
e minimo locale interni al dominio la derivata (se esiste) si
annulla. Algoritmo per la ricerca dei punti di massimo e minimo,
versione "base" (funzione continua su un intervallo chiuso) e
versione "avanzata" (funzione continua su un'unione finita di
intervalli non necessariamente chiusi né limitati). Condizioni
sufficienti affinché un punto critico sia un punto di massimo o
minimo locale (solo enunciato).
- Lunedì 11/11/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Dimostrazione avanzata dalla lezione precedente: un punto
critico di f in cui la derivata seconda è positiva (risp.,
negative) è un punto di minimo locale (risp. massimo locale).
Rilevanza della classificazione dei punti critici: equlibrio
stabile e instabile per una massa puntiforme.
Funzioni crescenti e decrescenti (strettasmente o meno).
Caratterizzazione delle funzioni crescenti o decrescenti su un
intervallo in termini di segno della derivata (dimostro solo che
una funzione crescente ha derivata positiva). Caratterizzazione
delle funzioni strettamente crescenti (o decrescenti) su un
intervallo (senza alcuna dimostrazione).
Esercizi sul calcolo di massimi e minimi e sul disegno del
grafico di una funzione (con applicazione al calcolo del numero
di soluzioni di un'equazione).
- Martedì 12/11/2024 11:10-12:50 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su massimo/minimo, studio di funzione e
applicazioni.
- Mercoledì 13/11/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Definizione di integrale definito tramite la nozione di area (la
definizione di integrale secondo Riemann verrà data nel secondo
semestre).
Approssimazione dell'integrale definito tramite somme (di
Riemann) (enunciato ma non dimostrato). Un'altra interpretazione
dell'integrale: lavoro di una forza su un punto che si muove
lungo un segmento.
Calcolo esatto degli integrali, prima parte. Definizione di
primitiva (di una funzione definita su un intervallo) e teorema
fondamentale del calcolo integrale (con idea di dimostrazione).
Tabella delle primitive elementari. Regola 1: somma degli
integrali definiti su due intervalli concatenati. Regola 2: la
primitiva (ovvero l'integrale definito) della combinazione
lineare di due funzioni è la combinazione lineare deglle
primitive (ovvero degli integrali definiti).
- Lunedì 18/11/2024 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Calcolo degli integrali: formula di integrazione per parti e
formula di cambio di variabile (con esempi). Ripasso della
definizione e delle proprietà di base dell'esponenziale
complesso; derivata e primitiva di exp(ax) quando a è un numero
complesso.
- Lunedì 18/11/2024 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sul calcolo degli integrali e delle primitive.
- Martedì 19/11/2024 11:00-12:00 (1 ora) lezione:
Giovanni Alberti
Velocità e accelerazione di un punto in movimento a partire
dalla legge oraria, valocità vettore e velocità scalare, spazio
percorso in un intervallo di tempo, lunghezza della traiettoria,
lunghezza del grafico di una funzione.
- Martedì 19/11/2024 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sul calcolo degli integrali e della lunghezza di una
curva.
- Mercoledì 20/11/2024 09:00-10:00 (1 ora) lezione:
Alessandra Pluda
Area di una figura piana come integrale della lunghezza
delle sezioni. Volume di un solido come integrale delle aree
delle sezioni. Formule per il volume dei solidi di rotazione.
- Mercoledì 20/11/2024 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo di aree comprese tra i grafici di due
funzioni. Esempi classici sul calcolo dei volumi: volume della
sfera, del cono retto a base circolare.
- Lunedì 25/11/2024 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Primitive di funzioni razionali fratte.
- Martedì 26/11/2024 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi vari: disegnare la traiettoria di un punto a partire
dalla legge oraria, disegnare una curva definita in termini di
coordinate polari, e calcolarne la lunghezza.
Funzioni trigonometriche iperboliche: definizione di senh, cosh,
proprietà elementari, calcolo di arcsinh, interpretazione
geometrica.
- Mercoledì 27/11/2024 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo del volume dei solidi
- Lunedì 02/12/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Equazioni differenziali. Definizione generale ed esempi; esempi
tratti da altri contesti: equazione di decadimento, caduta di un
grave (con accelerazione di gravità costante e non); problema
geometrico.
Equazioni differenziali del primo ordine: enunciato (a parole)
del teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy.
Equazioni a variabili separabili, con esempi.
- Martedì 03/12/2024 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su equazioni a variabili separabili.
- Martedì 03/12/2024 12:00-13:00 (1 ora) lezione:
Alessandra Pluda
Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine.
Formula risolutiva e problema di Cauchy.
- Mercoledì 04/12/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n:
definizione e problema di Cauchy. Enunciato di esistenza e
unicità per il problema di Cauchy. L'insieme delle soluzioni del
problema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n (con
dimostrazione). Caso a coefficienti costanti: polinomio
caratteristico, base dello spazio delle soluzioni nel caso in
cui le radici del polinomio caratteristico sono tutte reali e
distinte (con dimostrazione).
- Lunedì 09/12/2024 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Equazioni differenziali lineari di ordine d a coefficienti
costanti ed omogenee: base dello spazio delle soluzioni nel caso
generale. (È stata omessa solo la dimostrazione
dell'indipendenza lineare nel caso in cui le radici del
polinomio caratteristico non sono tutte reali.)
- Martedì 10/12/2024 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi sulla risoluzione delle equazioni differenziaali
lineari a coefficienti costanti, omogenee e non; ricerca delle
soluzioni particolari per certe classi di termini noti.
- Mercoledì 11/12/2024 14:00-15:00 (1 ora) lezione:
Alessandra Pluda
Metodo degli annichilatori per la risoluzione di equazioni
differenziali ordinarie lineari di ordine n a coefficienti
costanti non omogenee
- Mercoledì 11/12/2024 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti
costanti dipendenti da un parametro omogenee e non omogenee.
Riduzione dell'ordine di equazioni differenziali ordinarie
lineari di ordine n non omogenee.
- Mercoledì 26/02/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Ripasso della notazione base di teoria degli insiemi.
Insiemi numerici: N, Z, Q, R, C. I numeri reali sono definiti
come i numeri con espansione decimale infinita (problema: le
procedure standard per il calcolo di somma e prodotto funzionano
solo per numeri con espansione decimale finita). I numeri
razionali corrispondono ai numeri reali con espansione decimale
periodica (cenno di dimostrazione).
Definizione di insieme finito / infinito / numerabile.
Esempi di insiemi infiniti numerabili: Z, Z^2, N^2, Q, A (numeri
algebrici); l'insieme R non è numerabile (dimostrazioni nella
prossima lezione).
- Venerdì 28/02/2025 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Alcune caratterizzazioni utili degli insiemi finiti /
infiniti. Numerabilità di Z e di N^2. L'unione di una famiglia
numerabile di insiemi numerabili è numerabile; il prodotto di
una famiglia finita di insiemi numerabili è numerabile.
Dimostrazione della numerabilità di Q, Q^n, A. L'insieme R dei
numeri reali non è numerabile.
- Martedì 04/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di insiemi con cardinalità uguale (|A|=|B|) e
con cardinalità maggiore o uguale (|A|≤|B|); caratterizzazione
di |A|≤|B|. Teorema di Cantor-Bernstein-Schroeder (senza
dimostrazione).
I seguenti insiemi hanno la stessa cardinalità (senza
dimostrazione): un intervallo di numeri reali, R, R^n, C^n,
l'insieme delle parti di N.
Numeri reali estesi (è ben definito l'ordinamento, ma non le
operazioni). Dato E sottoinsieme dei reali estesi si
definiscono: massimo / minimo, insieme dei maggioranti / dei
minoranti, estremo superiore / inferiore. Esempi:
intervalli, insieme vuoto. Teorema: estremo inferiore e
superiore esistono per ogni insieme E.
- Mercoledì 05/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Nozioni preliminari in vista della caratterizzazione
astratta dei numeri reali: insiemi ordinati e parzialmente
ordinati; esempi. Definizione di massimo/minimo,
maggiorante/minorante, estremo superiore/inferiore per un
sottoinsieme di un insieme ordinato. Definizione di ordinamento
completo. Equivalenza di esistenza di inf/sup e di completezza.
Definizione di campo ordinato; R è un campo ordinato; non esiste
alcun ordinamento sul campo C che lo rende un campo ordinato.
Un campo ordinato e completo è isomorfo a R (cenno per sommi
capi della dimostrazione).
- Venerdì 07/03/2025 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Successioni di numeri reali. Definizione di limite di una
successione. Definizione di intorno di un numero reale esteso e
definizione unificata di limite di una successione usando gli
intorni. Sotto-successioni. Proprietà elementari dei
limiti: unicità / passaggio a sotto-successione / teorema del
confronto / etc. Esempio di successione non convergente.
Le successioni monotone (= crescenti oppure decrescenti)
ammettono limite in R esteso.
Caratterizzazione delle successioni convergenti a un limite
finito come successioni di Cauchy (dimostrazione rimandata alla
lezione successiva).
- Martedì 11/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Dimostrazione della caratterizzazione delle successioni
convergenti a un limite finito.
Teorema di Bolzano-Weierstrass.
- Mercoledì 12/03/2025 11:10-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Successioni definite per ricorrenza. Successioni definite
per ricorrenza lineare, del primo ordine, autonoma e
omogenea: formula del termine n-esimo e comportamento.
Successioni definite per ricorrenza lineare, del primo ordine,
autonoma e non omogenee: formula del termine n-esimo,
risoluzione tramite la soluzione della ricorrenza omogenea +
soluzione particolare. Successioni definite per ricorrenze
lineari, del secondo ordine, autonome e omogenee.
- Venerdì 14/03/2025 09:00-11:00 (2 ore) non tenuta:
Giovanni Alberti
Lezione non tenuta per sospensione delle lezioni dovuta
all'emergenza per il maltempo.
- Martedì 18/03/2025 11:10-12:00 (1 ora) lezione:
Alessandra Pluda
Successioni definite per ricorrenza: l'insieme delle
successioni che soddisfano un'equazione alle differenze di
ordine k è uno spazio vettoriale di dimensione k. Costruzione di
k successioni linearmente indipendenti a partire dalle radici
del polinomio caratteristico associato all'equazione.
- Martedì 18/03/2025 12:10-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Successione di Fibonacci. Esempi di successioni definite per
ricorrenza, non lineari, autonome e del primo ordine.
- Mercoledì 19/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su: insiemi densi in R, successioni, successioni
per ricorrenza non omogenee.
- Giovedì 20/03/2025 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Dettagli conclusivi sulle successioni: uso degli avverbi
"frequentemente" e "definitivamente"; definizione di liminf e
limsup di una successione; esempi di liminf e limsup per alcune
successioni non convergenti. Valori limite di una successione (=
limiti delle sottosuccessioni convergenti); relazioni tra i
valori limite, liminf e limsup. Caratterizzazione di liminf e
limsup.
- Venerdì 21/03/2025 09:00-11:00 (2 ore) non tenuta:
Giovanni Alberti
Questa lezione è stata scambiata con quella del corso di
Geometria 1 del 20 marzo, ore 9-11.
- Martedì 25/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Definizione di punto isolato e di punto di accumulazione di
un insieme, con esempi (intervalli, insieme dei numeri interi,
insieme dei numeri razionali). Definizione di limite di una
funzione (in un punto di accumulazione). Proprietà elementari
dei limiti: unicità, confronto, permanenza del segno, limite
della somma e del prodotto (già viste al primo semestre).
Collegamento tra limiti e limiti di successioni. Continuità di
una funzione in un punto.
- Mercoledì 26/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Definizione di funzione continua. Caratterizzazione della
continuità (in un punto) in termini di limite; caratterizzazione
del limite in termini di continuità. Le funzioni elementari, con
l'eccezione della funzione "parte intera", sono continue in
tutto l'insieme di definizione (senza dimostrazione).
Propagazione dell'errore nella somma e nel prodotto; somma (o
prodotto) di due funzioni continue è continua (corollario: il
limite della somma (prodotto) di due funzioni è la somma
(prodotto) dei limiti). La composizione di funzioni continue è
continua.
- Venerdì 28/03/2025 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Dimostrazione della formula di cambio di variabile nei
limiti. Esercizi vari su continuità, limiti e successioni tra
cui: punti di continuità della funzione "parte intera", la
funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto, esempio di
funzione discontinua solo sui razionali, definizione di
continuità a destra/sinistra (e di limite destro/sinistro); le
funzioni monotone (crescenti o decrescenti) ammettono limite
destro e sinistro in ogni punto. .
- Martedì 01/04/2025 11:00-13:00 (2 ore) non tenuta.
Lezione non tenuta per assenza di entrambi i docenti
(partecipazione a convegno).
- Mercoledì 02/04/2025 11:00-13:00 (2 ore) non tenuta.
Questa lezione è stata scambiata con quella del corso di
Geometria 1 del 17 aprile, ore 9-11.
- Venerdì 04/04/2025 11:10-13:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Teorema di Weierstrass (esistenza di massimi e minimi per
una funzione continua su un intervallo chiuso). Necessità delle
ipotesi e possibili generalizzazioni. Giustificazione
dell'algoritmo per la ricerca di massimi e minimi visto al primo
semestre.
Teorema di esistenza degli zeri. Necessità delle ipotesi. Prima
dimostrazione (con l'algoritmo di bisezione).
- Martedì 08/04/2025 11:00-12:00 (1 ora) lezione:
Teorema di esistenza degli zeri, seconda dimostrazione.
Corollari: teorema dei valori intermedi, una funzione continua
porta intervalli in intervalli.
- Martedì 08/04/2025 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Applicazione (della prima dimostrazione) del teorema dei
valori intermedi: calcolo della soluzione dell'equazione xe^x=4
con errore inferiore a 10^{-2}. Vari esercizi sul teorema dei
valori intermedi (per alcuni è stata data solo una traccia).
- Mercoledì 09/04/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
L'inversa di una funzione continua e strettamente crescente
(o decrescente) definita su un intervallo è continua. In
generale l'inversa di una funzione continua può non essere
continua.
Definizione di derivata (in un punto di accumulazione del
dominio). Una funzione si dice derivabile (in un punto) se la
derivata esiste ed è finita; funzioni di classe C^k;
caratterizzazione della derivabilità in termini di esistenza
dello sviluppo di Taylor del primo ordine.
Tutte le funzioni elementari sono derivabili nel dominio di
definizione (le dimostrazioni sono quelle del primo semestre);
eccezioni: |x| non è derivabile in 0, la derivata di x^a con 0
< a < 1 in 0 è +infinito, la derivata di arcsin(x) in 1 e
-1 è +infinito, la derivata di arccos(x)...
Derivata della somma, del prodotto e della composizione di
funzioni derivabili (rispetto al primo semestre viene data una
dimostrazione completa della derivabilità della funzione
composta).
- Venerdì 11/04/2025 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Derivata della funzione inversa.
Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Applicazione del teorema di
Lagrange: dimostrazione del fatto che una funzione derivabile
con derivata sempre positiva è crescente (lasciata indietro dal
primo semestre).
- Martedì 15/04/2025 11:10-13:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Definizione di insieme convesso (nel piano e in R^d).
Definizione di funzione convessa / concava in termini di
convessità del sopra-grafico / sotto-grafico; caratterizzazione
in termini di disuguaglianze. Caratterizzazione in termini di
monotonia della derivata e quindi di segno della derivata
seconda.
Esempio di funzione derivabile in un punto con derivata
discontinua
- Mercoledì 16/04/2025 11:00-12:00 (1 ora) lezione:
Giovanni Alberti
Altre applicazioni dei teoremi di Lagrange e di Cauchy: il
limite della derivata (se esiste) coincide con la derivata,
dimostrazione del teorema di de l'Hôpital. (GIOVANNI ALBERTI)
- Mercoledì 16/04/2025 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sulle funzioni derivabili, inclusa la
dimostrazione del fatto che la funzione exp(-1/|x|) (estesa a 0
in 0) è di classe C^infinito.
- Giovedì 17/04/2025 09:00-10:00 (1 ora) lezione:
Giovanni Alberti
Teorema dello sviluppo di Taylor con formule del resto di
Peano, di Lagrange e con la formula integrale.
- Giovedì 17/04/2025 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi su funzioni derivabili e teorema di Taylor, tra
cui: calcolo del valore di "e" con errore inferiore a 10^{-3}.
- Martedì 29/04/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teoria dell'integrazione secondo Riemann: definizione di
integrale (secondo Riemann) di una funzione limitata e definita
su un intervallo chiuso a partire dalle somme di Riemann
superiori e inferiori e dall'integrale superiore e inferiore. La
funzione di Dirichlet non è integrabile.
Enunciati dei risultati sull'integrale di Riemann da dimostrare
in questa lezione e nelle seguenti. Alcune proprietà elementari
di somme superiori e inferiori.
- Mercoledì 30/04/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Dimostrazione dei vari risultati sull'integrale di Riemann,
fino alla linearità.
Definizione di funzione uniformemente continua. Le funzioni con
derivata limitata (definite su un intervallo) sono uniformemente
continue. La funzione radice(x) è uniformemente continua; le
funzioni exp(x), sin(x^2) non sono uniformemente continue.
- Venerdì 02/05/2025 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema di Heine-Cantor (le funzioni continue su un
intervallo chiuso sono uniformemente continue).
Le funzioni continue su un intervallo chiuso sono integrabili.
Approssimazione del valore dell'integrale (di una funzione
continua) con una somma di Riemann e stima dell'errore in
termini del modulo di continuità.
Altre classi di funzioni integrabili (solo enunciati).
Definizione di primitiva di una funzione (definita su un
intervallo); esistenza di una primitiva di una funzione
continua; Teorema fondamentale del calcolo integrale (calcolo
dell'integrale definito tramite una primitiva).
- Martedì 06/05/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Integrali impropri: motivazione, definizione di integrale
improprio semplice come limite di integrali "propri", esempi dei
possibili comportamenti degli integrali impropri semplici.
Esempi di calcolo degli integrali impropri; esempi fondamentali:
integrale di 1/x^a da 0 a 1 e da 1 a +infinito.
Alcuni fatti elementari utili a determinare il comportamento
di un integrale improprio (senza conoscere la primitiva), tra
cui: comportamento dell'integrale di f(x) da "a" a +infinito
conoscendo il limite di f(x) per x —> +infinito; possibili
comportamenti dell'integrale improprio di una funzione a segno
costante; criteri del confronto: semplice, asintotico debole,
asintotico forte. Esempi di uso dei vari criteri.
- Mercoledì 07/05/2025 11:05-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Criterio della convergenza assoluta per integrali impropri.
Esercizi sullo studio del comportamento degli integrali impropri
semplici. Integrale di 1/(x logx) e varianti. Utilizzo degli
integrali impropri per capire se un'area è finita o no.
Definizione e studio del comportamento degli integrali impropri
non semplici.
- Giovedì 08/05/2025 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Integrali impropri non semplici, primi esempi. Comportamento
dell'integrale da 1 a +infinito di sin(x)/x^2, sin(x)/x,
|sin(x)|/x. Esercizi sugli integrali impropri con parametro.
- Venerdì 09/05/2025 09:00-11:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Serie (o somme infinite). Definizione del valore di una
serie come limite delle somme parziali. Esempio importante: la
serie geometrica. Esempi dei possibili comportamenti di una
serie.
Alcuni fatti elementari utili a determinare il comportamento di
una serie, tra cui: gli addendi a_n di una serie convergente
tendono a zero; comportamento a partire dal segno del limite
degli addendi a_n; possibili comportamenti di una serie a
termini (definitivamente) positivi (o negativi); teorema del
confronto serie-integrale; criterio del confronto semplice e del
confronto asintotico debole.
- Martedì 13/05/2025 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Criterio del confronto asintotico forte (avanzato dalla
lezione precedente).
Calcolo della serie di 1/(n^2+n), serie telescopiche.
Esercizi sulla determinazione del comportamento delle serie.
- Martedì 13/05/2025 12:00-13:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Serie con addendi a segno variabile (cioè non
definitivamente costante): la convergenza assoluta implica la
convergenza, criterio di Leibniz per serie a segni alterni
(dimostrazione rimandata alla lezione successiva); esempi di uso
del criterio di Leibiniz.
Attenzione: il criterio del confronto asintotico forte non vale
per serie a segno variabile, e non si può semplificare il
criterio di Leibniz sostituendo l'ipotesi di decrescenza con una
condizione asintotica.
- Mercoledì 14/05/2025 11:00-13:00 (2 ore) lezione:
Alessandra Pluda
Dimostrazione del criterio di Leibniz. Criterio della radice
e del rapporto per le serie a termini positivi.
- Venerdì 16/05/2025 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Serie di Taylor (in 0) di una funzione . Esistono
funzioni di classe C^infinito su R la cui serie di Taylor
converge solo per x=0 (senza dimostrazione); esistono funzioni
f(x) di classe C^infinito su R la cui serie di Taylor converge,
ma non a f(x) (esempio: f(x):=exp(-1/|x|) estesa a 0 in x=0). La
serie di Taylor converge a f(x) se e solo se il resto di Taylor
R_n(x) converge a 0 per n —> infinito.
Discussione della convergenza della serie di Taylor di alcune
funzioni elementari: exp(x), sin(x), cos(x) (con dimostrazione);
log(1+x) (dimostrazione solo accennata), (1+x)^a (senza
dimostrazione).
Uso della serie di Taylor per definire "e" e exp(x) per x reale
e anche complesso; dimostrazione della formula exp(ix) = cos(x)
+ i sin(x).
- Venerdì 16/05/2025 10:00-11:00 (1 ora) lezione:
Giovanni Alberti
Serie di potenze (con coefficienti a_n): definizione del
raggio di convergenza R come reciproco del limsup della radice
n-esima di |a_n|; calcolo di R come reciproco del limite di
limite di a_{n+1}/a_n. Studio del comportamento della serie di
potenze a partire da R. La funzione definita da una serie di
potenze è di classe C^infinito sull'intervallo (-R,R) (senza
dimostrazione). Esempi di calcolo del raggio di convergenza R.
- Lunedì 19/05/2025 09:10-10:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Calcolo esatto del valore di una serie. Calcolo del raggio
di convergenza di una serie di potenze.
- Lunedì 19/05/2025 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Giovanni Alberti
Esercizi vari: comportamento di una serie di potenze,
rappresentazione di pigreco/4 come serie (con dimostrazione
completa), stima della coda di una serie con un integrale
(usando il criterio del confronto serie-integrale).