Dati registro
insegnamento: Theory of Currents [Teoria delle Correnti]
codice: ---
corso di studi: Dottorato in
Matematica
(CD05
)
anno accademico: 2023-2024
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 44 (lezioni:
44 ore)
Lezioni
-
Mercoledì 15/11/2023 09:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Introduzione al corso. La teoria delle correnti (intere)
come approccio alla soluzione del problema di Plateau
(dimostrazione dell'esistenza di superfici minime con bordo
assegnato). Breve digressione sull'approccio parametrico, e
perché è limitato alle superfici di dimensione due.
- Venerdì 17/11/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso delle nozioni di base: misure scalari e
vettoriali. Teorema di Riesz (identificazione delle misure con
il duale delle funzioni continue e infinitesime all'infinito),
convergenza debole di misure e teorema di compattezza. Misure di
Hausdorff: definizione e proprietà di base, formula dell'area
per mappe C^1; dimensione di Hausdorff.
- Mercoledì 22/11/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Ulteriori dettagli sulla formula dell'area.
Funzioni Lipschitziane, proprietà fondamentali: compattezza,
estensione (lemma di McShane), differenziabilità (teorema di
Rademacher) e proprietà di Lusin con le funzioni C^1.
Insiemi rettificabili: definizione e caratterizzazione in
termini di ricoprimento con superfici C^1.
- Venerdì 24/11/2023 11:00-13:00 (2 ore)
lezione: Giovanni Alberti
Insiemi d-rettificabili e puramente d-non
rettificabili: proprietà di base, esempio di insieme 1-non
rettificabile di misura positiva, esistenza di insiemi
1-puremente non rettificabili con dimensione alta (senza
dimostrazione). Esistenza e unicità del fibrato tangente
(debole) per un insieme rettificabile; due caratterizzazioni del
fibrato tangente per "blow-up" (le dimostrazioni sono rimandate
alla lezione successiva).
- Mercoledì 29/11/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Dimostrazione delle caratterizzazioni dello spazio tangente
approssimato enunciate nella lezione precedente.
Caratterizzazione della d-rettificabilità in termini di
esistenza di un cono tangente d-dimensionale (con cenno di
dimostrazione) oppure in termini di esistenza della densità
(teorema di Marstrand + Mattila + Preiss, senza dimostrazione).
Caratterizzazione della d-pura non rettificabilità in termini di
proiezioni su sottospazi d-dimensionali (teorema di Besicovitch
+ Federer, senza dimostrazione).
- Mercoledì 06/12/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Ripasso delle nozioni di base di algebra multilineare:
definizione dello spazio dei k-covettori su uno spazio
vettoriale V; prodotto esterno, costruzione della base dei
k-covettori associata ad una base di V. Dimostrazione della
formula di Binet generalizzata.
Definizione di orientazione di uno spazio vettoriale (come
classe di equivalenza delle basi); definizione di
parallelogramma associato ad una k-upla di vettori e suo volume
(richiede un prodotto scalare); il valore di un k-covettore
associato ad una k-upla di vettori dipende solo dallo span W di
questi vettori, dall'orientazione indotta su W, e dal volume del
parallelogramma (dimostrazione rimandata alla lezione
successiva).
Definizione di k-forma su (un aperto di) R^n, e integrazione di
una k-forma su una superficie orientata.
- Mercoledì 13/12/2023 09:00-11:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Definizione dei k-vettori semplici come classe di
equivalenza delle k-uple di vettori.
Definizione dello spazio dei k-vettori (non semplici) su V come
spazio dei k-covettori sul duale di V. Identificazione dei
k-vettori semplici all'interno dello spazio così definito.
Dualità tra k-vettori e k-covettori.
Prodotto scalare (e norma) sullo spazio dei k-vettori e dei
k-covettori su uno spazio vettoriale V dotato di prodotto
scalare.
I k-vettori semplici sono identificati univocamente dallo span
dei vettori associati, dall'orientazione indotta sullo span e
dalla norma, che coincide con il volume del parallelogramma
associato.
- Venerdì 15/12/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Espressione della norma di un K-vettore semplice come
determinante. Espressione dello Jacobiano di una mappa come
norma del prodotto delle derivate parziali.
Massa dei k-vettori e comassa dei k-covettori (e relazione con
le norme indotte dal prodotto scalare).
Interpretazione dell'orientazione di un k-piano come k-vettore
unitario. Interpretazione dell'orientazione di una superficie
k-dimensionale come campo (continuo) di k-vettori tangenti, e
rappresentazione dell'integrazione di una forma. Orientazione
canonica del bordo.
Rappresentazione delle k-forme in coordinate. Definizione di
differenziale di una k-forma usando le coordinate (e cenno alla
definizione intrinseca). Teorema di Stokes (senza
dimostrazione).
Push-forward di k-vettori e pull-back di k-covettori secondo
mappe lineari tra spazi vettoriali. Pull-back di una forma
secondo una mappa C^1. Proprietà del pull-back (senza
dimostrazioni).
- Giovedì 08/02/2024 16:00-18:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Inizio della teoria delle correnti astratte.
Breve riassunto della teoria delle distribuzioni.
Definizione dello spazio D^k delle k-forme di classe C^infinito
a supporto compatto. Lo spazio delle k-correnti D_k definito
come duale di D^k. Convergenza (puntuale) di una successione di
correnti. Definizione di bordo e di massa di una k-corrente
arbitraria.
Corrente associata ad una superficie k-dimensionale orientata:
il bordo della corrente coincide con la corrente associata al
bordo; la massa coincide con il volume k-dimensionale.
Caratterizzazione delle correnti di massa finita come misure a
valori nei k-vettori. Correnti normali.
- Venerdì 09/02/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esempi di calcolo del bordo (ed esercizi lasciati da fare).
Integrazione di una famiglia ad un parametro di correnti di
massa finita oppure di correnti normali.
Compattezza per successioni di correnti normali con masse e
masse dei bordi equilimitate; semicontinuità delle masse (e
delle masse dei bordi). Esistenza della soluzione del problema
di Plateau nell'ambito delle correnti normali. Perché questo
risultato non è soddisfacente.
Correnti rettificabili, correnti rettificabili con molteplicità
intera, correnti intere, correnti poliedrali. Teorema di
compattezza (o di chiusura) di Federer e Fleming (dimostrazione
rimandata alla fine del corso); esistenza della soluzione del
problema di Plateau nell'ambito delle correnti intere.
- Venerdì 16/02/2024 16:00-18:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
A proposito del teorema di Federer e Fleming: perché non
basta considerare correnti intere con molteplicità 1; esempi di
minimi (minimizzazione della massa vs minimizzazione del
"size"); esempi che mostrano la necessità delle ipotesi;
varianti del teorema di F&F; teorema di compattezza di
Ambrosio-Kirchheim.
Interpretazione delle correnti intere come compattificazione
delle superfici orientate: le correnti poliedrali sono dense
nelle correnti intere ma le superfici forse no.
- Martedì 20/02/2024 15:00-17:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Struttura del resto del corso, fino alla dimostrazione del
teorema di F&F.
Pull-back di forme e push-forward di correnti secondo una mappa.
Ipotesi necessarie sulla mappa per definire il push-forward (a
seconda delle correnti). Proprietà elementari del push-forward.
Stima sulla massa del push-forward.
Teorema: il push-forward di una corrente rettificabile è
rettificabile.
- Venerdì 23/02/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Completamento della dimostrazione delle rettificabilità del
push-forward di correnti rettificabili.
Prodotto di correnti, e formula per il bordo del prodotto.
Prodotto di correnti rettificabili.
- Martedì 27/02/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Constancy Lemma, versione base: una k-corrente senza bordo
in R^k è un multiplo della corrente canonica associata a R^k.
Versione avanzata: rappresentazione delle k-correnti normali in
R^k come funzioni BV. Varianti: rappresentazione delle
k-correnti normali supportate su aperti di R^k e su superfici
k-dimensionali.
Teorema: la misura associata ad una k-corrente normale in R^n è
assolutamente continua rispetto alla misura di Hausdorff
k-dimensionale (con idea della dimostrazione — i dettagli sono
rimandati alla lezione successiva).
- Giovedì 29/02/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Strumento utile: prodotto di una corrente per una funzione e
per una forma; formula per il bordo del prodotto.
Dimostrazione del teorema di struttura delle misure associate a
correnti normali (avanzata dalla lezione precedente).
Corrente associata ad un cammino Lipschitz. Rappresentazione
delle correnti intere 1-dimensionali come somme di (correnti
associate a) cammini Lipschitz (senza dimostrazione).
Formula di omotopia. Derivazione degli enunciati principali
della teoria del grado (per mappe tra varietà orientate) usando
il Costancy Lemma e la formula di omotopia.
- Giovedì 07/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Stime della massa nella formula di omotopia.
Definizione della norma flat di una corrente T (come inf di
M(R)+M(S) sulle rappresentazioni T = R + bordo di S) e risultati
di base. La convergenza in normal flat implica la convergenza
nel senso delle correnti (e la caratterizza su opportune classi
di correnti — la dimostrazione è rimandata alla fine del corso).
Esempi di correnti con norma flat infinita, con norma flat
finita e massa infinita; esempi di calcolo (o stima dall'alto)
della norma flat.
- Martedì 12/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esercizio: stima della norma flat associata ad una curva
chiusa (ed applicazione alla risoluzione di altri esercizi).
Costruzione del cono su una corrente senza bordo (e per
opportune 0-correnti)
Definizione alternativa della norma flat per una corrente T
senza bordo (come sup di M(S) sulle rappresentazioni T = bordo
di S); confronto della norma così definita e la normal flat
usuale.
- Giovedì 14/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Caratterizzazione della norma flat come sup dell'azione su
forme.
Nuova stima per la massa nella formula di omotopia; applicazione
al caso di omotopia affine.
- Martedì 19/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Deformazione poliedrale: scopo e idea della costruzione in
un caso semplice (k-correnti senza bordo in R^n, con k=n-1);
idea per la costruzione con k qualunque (iterazione); principali
difficoltà tecniche della costruzione.
Enunciato del teorema di deformazione poliedrale per correnti
senza bordo; lemma base, con dimostrazione della stima
fondamentale (la costruzione del push-forward secondo una mappa
singolare è solo accennata).
- Giovedì 21/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Completamento della dimostrazione del lemma base per il
teorema di deformazione poliedrale per correnti senza bordo.
Corollario: teorema isoperimetrico per correnti intere senza
bordo in R^n. Estensione del teorema isoperimetrico a correnti
su varietà compatte (senza dimostrazione).
Teorema di deformazione poliedrale per correnti con bordo.
- Martedì 26/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Applicazione del teorema di deformazione poliedrale: la
norma flat è compatta sulla classe delle correnti con norme e
norme dei bordi equilimitate, e supporti equilimitati.
Preparazione per lo slicing di correnti: formula di coarea per
l'integrazione di una funzione su R^k, rispetto a una mappa da
R^k in R^h (senza dimostrazione). Corollario: formula di coarea
per l'integrazione di una k-forma su R^k.
Formula di coarea per l'integrazione di una funzione su un
insieme k-rettificabile. Corollario: formula di coarea per
l'integrazione di una k-forma su un insieme k-rettificabile.
Corollario: formula di slicing per correnti rettificabili.
Slicing di correnti normali: definizione astratta (a partire
dalla formula per di slicing per le correnti rettificabili).
Costruzione per mappe a valori in R usando l'operatore bordo
(senza dimostrazione) ed estensione a mappe a valori in R^h. Le
slice del bordo coincidono con il bordo delle slice.
- Mercoledì 27/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione:
Giovanni Alberti
Ricapitolazione delle proprietà essenziali delle slice T_y
di una k-corrente normale T rispetto ad mappa da R^n in R^k.
Mappe BV da R^h in uno spazio normato (definizione basata sulla
stima della norma L^1 della differenza tra una funzione e una
sua traslata).
Teorema (Jerrard): la mappa che ad ogni y in R^h associa la
slice T_y è BV avendo dotato lo spazio delle correnti con la
norma flat.
Teorema di rettificabilità via slicing (White,
Ambrosio+Kirchheim): se le slice T_y di T secondo le proiezioni
di R^n sui k-piani coordinati sono 0-correnti intere, allora T è
rettificabile a molteplicità intera.
Teorema di rettificabilità del bordo e teorema di
compattezza/chiusura di Federer e Fleming, dimostrati a usando
il teorema di rettificabilità precedente.