Dati registro
insegnamento: Analisi Matematica 1
codice: 561AA
corso di studi: Matematica (MAT-L)
anno accademico: 2023-2024
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti,
Alessandra Pluda
totale ore: 132 (lezioni:
81 ore; esercitazioni: 51 ore)
totale ore Giovanni Alberti: 72
(lezioni: 60 ore; esercitazioni: 12 ore)
totale ore Alessandra Pluda: 60
(lezioni: 21 ore; esercitazioni: 39 ore)
Lezioni
- Gio 28/09/2023 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Lezione introduttiva: descrizione del programma del corso,
struttura degli esami, strumenti (lezioni, ricevimenti,
materiale didattico). Osservazioni sparse.
- Gio 28/09/2023 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Test di verifica delle conoscenze di base. Il test è anonimo ed
articolato su 10 domande a risposta aperta (a cui dare solo la
risposta).
- Lun 02/10/2023 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso delle notazioni (logaritmi, angoli) e delle nozioni
di base: potenze, funzioni trigonometriche. Elenco delle
funzioni elementari (di cui conoscere a memoria il grafico).
- Lun 02/10/2023 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi sui grafici di funzioni.
- Mar 03/10/2023 09:10-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Operazioni sui grafici di funzioni: traslazioni
verticali/orizzontali, dilatazioni/compressioni
verticali/orizzontali, riflessioni rispetto all'asse x, all'asse
y e rispetto all'origine. Disegnare |f(x)| e f(|x|).
- Gio 05/10/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Notazione per gli intervalli. Insiemi di numeri: naturali,
interi, razionali, reali. Piano con coordinate cartesiane (R^2)
e spazio con coordinate cartesiane (R^3); spazio euclideo di
dimensione d con coordinate cartesiane (R^d).
Definizione di funzione da X a Y come grafico. Dominio,
codominio e immagine (l'immagine non coincide necessariamente
con il codominio). Funzioni date da una formula: insieme di
definizione (il dominio può essere un sottoinsieme dell'insieme
di definizione). Altri esempi di funzioni. Funzioni iniettive,
suriettive, bigettive; interpretazione grafica di queste
nozioni. Inversa di una funzione; unicità dell'inversa e
caratterizzazione delle funzioni invertibili.
- Lun 09/10/2023 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Grafici delle funzioni inverse. Esempi di inversa. Inverse delle
funzioni trigonometriche e applicazioni: 1) risoluzione di
equazioni trigonometriche; 2) coordinate polari e cartesiane dei
punti del piano.
- Mar 10/10/2023 09:00-10:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Una funzione f è bigettiva se e solo se è invertibile. Esercizi
vari su funzioni inverse.
- Mar 10/10/2023 10:00-11:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di funzione continua (da X contenuto in R a
valori in R). Commenti sulla definizione. Le funzioni elementari
(tranne la parte intera) sono continue sull'insieme di
definizione (senza dimostrazione); somme, prodotti e
composizioni di funzioni continue sono continue (senza
dimostrazione).
- Gio 12/10/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ultime osservazioni sulle funzioni continue. Esempi
(grafici) di funzioni continue e discontinue.
Limiti di funzioni (definite su X unione finita di intervall)
con esempi. (Sono state date solo alcune definizioni—le altre
sono state lasciate per esercizio). limite destro e sinistro.
Osservazioni base: il limite è unico, può non esitere, essere
finito, oppure essere + o - infinito; non sempre ha senso
parlare di limite.
- Lun 16/10/2023 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Cambio di variabile nei limiti: formula base, enunciato, esempi
e controesempi. Limite della somma è la somma dei limiti.
Enunciato con dimostrazione nel caso di limiti entrambi finiti.
Discussione dei casi in cui i limiti non sono finiti e forma
indeterminata +infinito-infinito.
- Lun 16/10/2023 15:10-16:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Limite del prodotto è il prodotto dei limiti, idea della
dimostrazione, discussione dei casi in cui i limiti non sono
finiti, forma indeterminata 0 per infinito. Limiti del reciproco
e del rapporto. Teorema del confronto con dimostrazione.
- Mar 17/10/2023 09:00-10:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo dei limiti.
- Mar 17/10/2023 10:00-11:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Derivate: motivazione geometrica (retta tangente al grafico di
una funzione) e fisica (definizione di velocità puntuale).
Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
Esempio di calcoli della derivata a partire dalla definizione.
Elenco delle derivate delle funzioni elementari (senza
dimostrazioni).
- Gio 19/10/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Regole di derivazione (della somma, del prodotto, del rapporto e
della composizione di due funzioni); esempi di applicazione
delle regole.
Dimostrazione delle regole di derivazione e delle formule per le
derivate delle funzioni elementari (tranne le funzioni
trigonometriche). La regola della derivata della funzione
composta e quella della funzione inversa sono state dimostrate
solo parzialmente; per la derivata di e^x è stata data per buona
la caratterizzazione del numero "e" come quello per cui il
limite di (e^h-1)/h per h -> 0 è 1.
- Lun 23/10/2023 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Completamento delle dimostrazioni riguardanti il calcolo delle
derivate: derivate delle funzioni trigonometriche e delle
funzioni trigonometriche inverse.
Teorema di de L'Hôpital: enunciato leggere ed enunciato preciso
(la dimostrazione è rimandata al secondo semestre). Esempi di
uso, ed esempi "problematici".
- Lun 23/10/2023 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su retta tangente a un grafico.
- Mar 24/10/2023 09:00-10:50 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Definizione di trascurabilità e di "o piccolo". Gerarchie di
infiniti e infinitesimi.
Definizione di asintotica equivalenza. Definizione di parte
principale. Esempi. Proprietà dell'equivalenza asintotica e
principio di sostituzione nei limiti.
- Gio 26/10/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Nozione di "o grande"; caratterizzazione in termini di limite
del rapporto, esempi, confronto con la nozione di "o piccolo".
Polinomio e resto di Taylor di grado d di una funzione in 0.
Teorema dello sviluppo di Taylor, prima parte: formule di Peano
per il resto: R_d(x)=o(x^d); R_d(x)=O(x^{d+1}) (con
dimostrazione).
- Lun 30/10/2023 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Sviluppo di Taylor, prosecuzione. Caratterizzazione del
polinomio di Taylor in termini del resto. Funzioni pari/dispari:
parità/disparità delle derivate e del polinomio di Taylor (in
zero). Sviluppi di Taylor di un polinomio.
Sviluppi di Taylor fondamentali: exp(x)=e^x, sin(x), cos(x),
(1+x)^a, log(1+x). Applicazione immediata: dimostrazione della
formula del binomio di Newton.
Applicazioni future: rappresentazione del numero "e" e
dell'esponenziale exp(x) come somma infinita, definizione di
exp(z) con z numero complesso come somma infinita e derivazione
dell'identità exp(ix) = cos(x) + i sin(x).
- Mar 31/10/2023 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Proprietà degli O grandi. Esercizi sugli sviluppi di Taylor.
Esercizi sulle parti principali.
- Gio 02/11/2023 11:00-12:50 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sulle parti principali. Esercizi sui limiti.
- Lun 06/11/2023 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizioni: valore massimo e minimo di una funzione; estremo
superiore ed inferiore dei valori (solo nel caso in cui
l'immagine è unione finita di intervalli); punti di massimo e
minimo, punti di massimo e minimo locali.
Risultati fondamentali per la ricerca dei valori massimi e
minimi di una funzione: a) Teorema di Weierstrass (esistenza di
massimo e minimo per una funzione continua su un intervallo
chiuso; dimostrazione rimandata alla seconda parte del corso);
b) nei punti di massimo e minimo locale interni al dominio la
derivata (se esiste) si annulla.
Algoritmo per la ricerca dei punti di massimo e minimo, versione
"base" (funzione continua su un intervallo chiuso) e versione
"avanzata" (funzione continua su un'unione finita di intervalli
non necessariamente chiusi né limitati).
- Mar 07/11/2023 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Condizioni sufficienti affinché un punto critico sia un
punto di massimo o minimo locale.
Definizioni: funzioni crescenti / decrescenti; funzioni
strettamente crescenti / decrescenti. Caratterizzazione delle
funzioni crescenti / decrescenti in termini di segno della
derivata; le funzione con derivata strettamente positiva /
negativa sono strettamente crescenti / decrescenti.
- Mar 07/11/2023 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su problemi di massimo e minimo.
- Gio 09/11/2023 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su problemi di massimo e minimo.
- Gio 09/11/2023 12:00-13:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di integrale (definito) in termini di area. Perché
questa definizione va superata (nella seconda parte del corso).
Approssimazione dell'integrale con somme finite. Stima effettiva
dell'errore dell'approssimazione per funzioni con derivata
limitata.
- Lun 13/11/2023 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Calcolo esatto degli integrali. Definizione di primitiva;
enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale e
riduzione del calcolo degli integrali al calcolo delle
primitive. Idea della dimostrazione del teorema (non completa).
Elenco di alcune primitive elementari. Formule di integrazione
(con esempi): additività dell'integrale (definito), linearità,
formula di integrazione per parti, formula di cambio di
variabile.
- Mar 14/11/2023 09:00-11:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo delle primitive: regola di integrazione
per sostituzione. Primitive di funzioni razionali fratte.
- Gio 16/11/2023 11:00-12:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo delle primitive di funzioni razionali
fratte.
- Gio 16/11/2023 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi sul calcolo di integrali e primitive.
- Lun 20/11/2023 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Altre applicazioni / interpretazioni dell'integrale. Velocità
vettoriale di un punto in movimento come derivata della
posizione, e distanza percorsa tra due istanti come integrale
del modulo della velocità. Lunghezza di una curva, intesa come
traiettoria di un punto in movimento; lunghezza del grafico di
una funzione.
Lavoro di una forza non costante.
Area di una figura piana come integrale della lunghezza delle
sezioni.
- Mar 21/11/2023 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Volume di un solido come integrale delle aree delle sezioni.
Formule per il volume dei solidi di rotazione.
- Mar 21/11/2023 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi sul calcolo dei volumi, inclusi alcuni esempi classici
(volume della sfera, del cono retto a base circolare, e di un
cono qualunque).
- Gio 23/11/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sul calcolo dei volumi. Esercizi su traiettorie e
lunghezza di una curva.
- Lun 27/11/2023 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Equazioni differenziali, alcuni esempi introduttivi:
determinazione della legge oraria di un solido in caduta libera
(con e senza l'approssimazione di gravità costante); legge di
decadimento; un problema geometrico.
Equazioni differenziali del primo ordine: forma normale,
problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità per la
soluzione del problema di Cauchy (enunciato impreciso).
Equazioni a variabili separabili: esempi e risoluzione.
- Mar 28/11/2023 09:00-10:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi sulle equazioni a variabili separabili, incluso esempio
di non unicità della soluzione del problema di Cauchy (x'=radice
di x), discusso in dettaglio.
- Mar 28/11/2023 10:00-11:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Equazioni differenziali lineari del primo ordine: teorema di
esistenza ed unicità (solo enunciato) e risoluzione. Esempi.
- Gio 30/11/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n:
definizione e problema di Cauchy. Enunciato di esistenza e
unicità per il problema di Cauchy. L'insieme delle soluzioni del
problema omogeneo è uno spazio vettoriale di dimensione n (con
dimostrazione). Caso a coefficienti costanti: polinomio
caratteristico, base dello spazio delle soluzioni nel caso in
cui le radici del polinomio caratteristico sono reali e distinte
(con dimostrazione).
- Lun 04/12/2023 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n a
coefficienti costanti omogenee: base dello spazio delle
soluzioni.
- Lun 04/12/2023 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi su equazioni differenziali lineari di ordine n a
coefficienti costanti omogenee.
- Mar 05/12/2023 09:00-10:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Continua la teoria delle equazioni differenziali lineari. Fatto
generale: le soluzioni di un'equazione non omogenea sono date
dalla somma di una particolare soluzione dell'equazione non
omogenea e di una generica soluzione dell'equazione omogenea.
Nel caso di un'equazione a coefficienti costanti non omogenea
basta trovare una soluzione particolare (le soluzioni
dell'equazione omogenea sono note).
- Mar 05/12/2023 10:00-11:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Ricettario per la ricerca delle soluzioni particolari (di
equazioni a coefficienti costanti) per particolari classi di
termini noti, con esempi.
- Gio 07/12/2023 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Metodo degli annichilatori per la risoluzione di equazioni
differenziali lineare di ordine n a coefficienti costanti con
termine noto che risolve a sua volta una equazioni differenziali
lineare di ordine k.
- Gio 07/12/2023 12:10-13:00 (1 ora) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi sull'utilizzo del metodo degli annichilatori.
- Lun 11/12/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Ripasso della notazione base di teoria degli insiemi. Insiemi
numerici fondamentali: N, Z, Q, R, C. I numeri reali visti come
i numeri con espansione decimale infinita (attenzione: gli
usuali algoritmi per la somma e il prodotto sono definiti solo
per numeri con espansione decimale finita). I numeri razionali
risultano essere i numeri reali con espansione decimale
periodica (cenno di dimostrazione).
Insiemi finiti. Insiemi infiniti ed insiemi numerabili. Esempi
di insiemi infiniti numerabili: Z, Z^2, N^2 (dimostrazioni
parziali).
- Mar 12/12/2023 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Alcuni strumenti utili per verificare la numerabilità di un
insieme, tra cui: unione numerabile di insiemi numerabili è
numerabile; prodotto di una quantità finita di insiemi
numerabili è numerabile. Dimostrazione della numerabilità di Q,
Q^n, insieme dei numeri algebrici.
L'insieme R dei numeri reali non è numerabile; l'insieme P(N)
delle parti di N non è numerabile (con dimostrazioni).
Definizione di insiemi equipotenti; gli insiemi R, P(N), R^d
sono equipotenti (senza dimostrazione).
- Gio 14/12/2023 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione:
Alessandra Pluda
Esercizi vari su equazioni differenziali ordinarie.
- Lun 26/02/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Numeri reali (definiti in termini di espansioni decimali);
numeri reali estesi.
Definizione di massimo e minimo di un insieme; definizione di
maggioranti e minoranti, e di estremo superiore ed inferiore.
Esempi: sup e inf degli intervalli e dell'insieme vuoto.
Teorema: sup e inf esistono sempre (dimostrazione solo
dell'esistenza dell'inf per un insieme non vuoto di numeri
positivi). Corollario: esistenza dei punti di separazione tra
due insiemi di numeri reali ordinati (assioma di completezza).
Nota: all'interno dei numeri razionali sup e inf potrebbero non
esistere.
- Mar 27/02/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Approccio astratto alla completezza. Definizione di ordinamento
su un insieme (totale/parziale). Esempi: numeri reali, insieme
delle parti di un insieme dato (ordinato per inclusione); due
esempi di ordinamenti del piano, uno totale e l'altro parziale
(verifiche lasciate per esercizio).
Assioma di completezza. Definizione di massimo, minimo,
maggiorante, minorante, estremo superiore e inferiore per un
sottoinsieme di un insieme ordinato. L'esistenza di estremo
superiore ed inferiore equivale all'assioma di completezza.
Definizione di campo ordinato. Teorema (non dimostrato): ogni
campo ordinato e completo è isomorfo ai numeri reali.
- Ven 01/03/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di limite per una successione di numeri reali (o
reali estesi), data sia in termini di intorni che in termini di
epsilon & co. Definizione di sotto-successione.
Proprietà elementari dei limiti: unicità, confronto, il limite
di una sotto-successione coincide con il limite della
successione (se esiste); esempio di successione non convergente.
Successioni di Cauchy.
Teoremi importanti: le successioni crescenti convergono al sup
dell'insieme degli elementi della successione; le successioni
decrescenti convergono all'inf dell'insieme degli elementi della
successione; una successione ha limite finito se e solo se è di
Cauchy.
- Lun 04/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione:
Giovanni Alberti
Completamento della dimostrazione della convergenza delle
successioni di Cauchy (dettagli avanzati dalla lezione
precedente).
Esercizi su campi ordinati, incluso il fatto che in un campo
ordinato l'equazione x^2=-1 non può avere soluzione. Risoluzione
di alcuni esercizi dati in precedenza: l'insieme delle parti
ordinato per inclusione è completo; i due ordinamenti sul piano
già visti sono compatibili con l'operazione di somma, uno è
completo e l'altro no. (GIOVANNI ALBERTI)
- Mar 05/03/2024 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema di Bolzano-Weierstrass: una successione limitata ammette
una sotto-successione convergente. (Variante: una successione in
R esteso ammette una sotto-successione convergente ad un numero
in R esteso).
- Mar 05/03/2024 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi "teorici", tra cui: sup e inf sono limiti di una
successione di elementi dell'insieme, i razionali sono densi in
R, esempio di campo ordinato (non completo) più grande dei reali
(serie di potenze formali con un numero finito di addendi con
esponente negativo).
- Ven 08/03/2024 11:10-12:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Successioni per ricorrenza.L'insieme delle successioni che
soddisfano una equazione alle differenze di ordine k è uno
spazio vettoriale di dimensione k.
- Ven 08/03/2024 12:10-13:00 (1 ora) esercitazione: Alessandra
Pluda
Successioni per ricorrenza lineari, primo ordine, autonome,
omogenee: formula del termine n-esimo e comportamento.
Successioni per ricorrenza lineari, primo ordine, autonome, non
omogenee: formula del termine n-esimo, soluzione
omogenea+particolare. Successioni per ricorrenza lineari,
secondo ordine, autonome, omogenee. Successione di Fibonacci.
- Lun 11/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione: Alessandra
Pluda
Esercizi su successioni per ricorrenza non lineari del primo
ordine.
- Mar 12/03/2024 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione: Alessandra
Pluda
Esercizi su: sup e inf, insiemi densi in R, successioni,
successioni per ricorrenza non omogenee.
- Ven 15/03/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Terminologia: uso degli avverbi "frequentemente" e
"definitivamente". Ultimi dettagli sui limiti di successioni:
definizione di liminf e limsup di una successione; esempi e
caratterizzazione.
Definizione di punti limite di una successione, e proprietà
dell'insieme dei punti limite (il massimo è il limsup, il minimo
è il liminf, ecc.), lasciate per esercizio.
- Lun 18/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di punto isolato e di punto di accumulazione di un
insieme, con esempi (intervalli, insieme degli interi, insieme
dei razionali).
Definizione di limite di una funzione (in un punto di
accumulazione). Proprietà elementari dei limiti: unicità,
confronto, permanenza del segno, limite della somma e del
prodotto (già viste al primo semestre). Collegamento tra limiti
e limiti di successioni.
Continuità di una funzione in un punto. Caratterizzazione in
termini di limiti. Caratterizzazione della continuità in termini
di successioni.
- Mar 19/03/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Relazione tra continuità e limiti. Propagazione dell'errore
nella somma e nel prodotto (con dimostrazione). Proprietà di
base delle funzioni continue: comportamento rispetto alla
composizione, alla somma e al prodotto (con dimostrazione).
Enunciati "analoghi" per i limiti di funzione: cambio di
variabile nei limiti, limite della somma e limite del prodotto -
revisione degli enunciati visti al secondo semestre,
dimostrazione bastata sulla relazione con la continuità lasciata
per esercizio.
- Ven 22/03/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema di Weierstrass (esistenza di massimi e minimi per una
funzione continua su un intervallo chiuso). Necessità delle
ipotesi. Giustificazione dell'algoritmo per la ricerca di
massimi e minimi visto al primo semestre.
Teorema di esistenza degli zeri; prima dimostrazione. Necessità
delle ipotesi. Corollari: teorema dei valori intermedi (con
dimostrazione), una funzione continua manda intervalli in
intervalli (dimostrazione lasciata per esercizio).
- Lun 25/03/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema degli zeri: completamento della dimostrazione accennata
alla lezione precedente, e seconda dimostrazione. Algoritmo per
il calcolo approssimato di uno zero.
Intorno destri e sinistri, punti di accumulazione destri e
sinistri, limite destro e sinistro; continuità a destra e a
sinistra. Relazione tra continuità a destra/sinistra e limite
destro/sinistro.
Una funzione monotona (cioè crescente o decrescente) ammette
limite destro e sinistro in ogni punto (dimostrazione lasciata
per esercizio). Discussione della funzione parte intera.
- Mar 26/03/2024 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione: Alessandra
Pluda
Esercizi di applicazione del teorema degli zeri e
dell'algoritmo di bisezione. Esercizi sulle funzioni continue.
- Lun 08/04/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione di derivata (di una funzione f in un punto del
dominio che è anche punto di accumulazione); derivata destra e
sinistra, derivate di ordine superiore. Definizione di funzione
di classe C^k con k=0,1,... fino da k=infinito.
Caratterizzazione della derivabilità (la derivata esiste ed è
finita) in termini di sviluppo di Taylor del primo ordine.
Rivisitazione delle proprietà elementari delle derivate già
viste al primo semestre con enunciati precisi: derivata della
somma, del prodotto, della funzione composta, della funzione
inversa (con nuova dimostrazione degli ultimi due enunciati).
- Mar 09/04/2024 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
L'inversa di una funzione f strettamente crescente e continua
definita su un intervallo è continua (l'ipotesi che il dominio
di f sia un intervallo è fondamentale). Una funzione iniettiva e
continua definita su un intervallo è necessariamente crescente
oppure decrescente (traccia di dimostrazione da completare per
esercizio).
Esercizio: dire quando una funzione definite da due formule è
continua e quando è derivabile.
- Mar 09/04/2024 12:10-13:00 (1 ora) lezione: Alessandra
Pluda
Teorema di Rolle, teorema di Cauchy, teorema di Lagrange.
- Ven 12/04/2024 11:10-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Caratterizzazione delle funzioni monotone in termini del
segno della derivata (con dimostrazione). Definizione di insieme
convesso (nel piano e in R^d). definizione di funzione convessa
/ concava in termini di convessità del sopra-grafico /
sotto-grafico; caratterizzazione in termini di disuguaglianze.
Caratterizzazione in termini di monotonia della derivata e
quindi di segno della derivata seconda (si dimostra solo che f
convessa implica f' crescente).
- Lun 15/04/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Teorema di de l'Hôpital: enunciato preciso, necessità delle
ipotesi (sulla struttura del dominio e sull'esistenza del limite
del rapporto delle derivate), dimostrazione dettagliata nel caso
0/0, traccia di dimostrazione nel caso */infinito.
Applicazione importante: se la derivata ammette limite L in un
punto, allora la funzione è derivabile in tal punto con derivata
L. Esempi: derivata di x^a in 0 per 0 < a < 1; derivata di
arcsin(x), arccos(x), radice(1-x^2) in +1 e -1.
Esempio di funzione derivabile in un punto con derivata
discontinua. Esempio di funzione (non banale) di classe
C^infinito con derivate tutte nulle in un punto.
- Mar 16/04/2024 11:10-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Teorema dello sviluppo di Taylor, formula del resto di
Peano, di Lagrange e integrale.
- Ven 19/04/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Integrazione secondo Riemann: definizione di suddivisione;
ordinamento parziale delle suddivisioni. Definizione di somma di
Riemann inferiore e superiore. Definizione di integrale (di
Riemann) inferiore e superiore, e di funzione integrabile
(secondo Riemann).
- Lun 22/04/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esempio di funzione limitata non integrabile secondo Riemann
(funzione di Dirichlet).
Proprietà di base dell'integrale di Riemann: additività (con
dimostrazione); linearità (con dimostrazione parziale);
confronto (con dimostrazione); il modulo di una funzione
integrabile è integrabile e l'integrale del modulo maggiora il
modulo dell'integrale (con traccia di dimostrazione).
Funzioni uniformemente continue; la funzione sen(x) è
uniformemente continua, le funzioni derivabili su un intervallo
con derivata limitata sono uniformemente continue.
Caratterizzazione della mancanza di uniforme continuità; le
funzioni e^x e sin(x^2) non sono uniformemente continue.
- Mar 23/04/2024 11:10-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Teorema di Heine-Cantor. Le funzione continue su [a,b] sono
integrabili. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema
di esistenza di una primitiva per funzioni continue su un
intervallo. Due primitive di una funzione definita su un
intervallo differiscono per una costante.
- Lun 29/04/2024 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Una funzione limitata su un intervallo [a,b] è integrabile se
l'insieme D dei punti di discontinuità è: a) vuoto (già visto);
b) finito (con traccia di dimostrazione da completare); c) si
ricopre con una famiglia finita di intervalli con somma delle
lunghezze arbitrariamente piccola (dimostrazione lasciata per
esercizio).
Caratterizzazione dell'integrabilità in termini di D (solo
enunciato).
Definizione di integrale improprio semplice come limite. Esempi
di calcolo degli integrali impropri semplici. Esempi dei
possibili comportamenti.
- Mar 30/04/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Giovanni
Alberti
Esempi importanti di integrali impropri: integrale di 1/x^a tra
0 e 1; integrale di 1/x^a tra 1 e infinito.
Problema: determinare il comportamento di un integrale improprio
senza conoscere una primitiva della funzione integranda. Fatti
di base sugli integrali impropri semplici (tra cui:
comportamenti ammissibili per funzioni positive, criteri del
confronto e del confronto asintotico).
- Gio 02/05/2024 14:00-16:00 (2 ore) esercitazione: Alessandra
Pluda
Esercizi sugli integrali impropri. Esempi di uso del
confronto asintotico e cambio di variabile. Integrale di 1/ (x^a
log^b(x)) e varianti.
Utilizzo degli integrali impropri per capire se un area è finita
o no.
Integrali impropri non semplici, primi esempi.
- Ven 03/05/2024 11:00-13:00 (2 ore) esercitazione: Alessandra
Pluda
Esercizi sugli integrali impropri con parametro.
Comportamento dell'integrale di sin(x)/x.
Definizione di serie. Serie geometrica.
- Lun 06/05/2024 14:00-16:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Criterio del confronto, confronto asintotico debole,
confronto asintotico forte per le serie.
- Mar 07/05/2024 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Serie a segno variabile: criterio della convergenza assoluta,
criterio di convergenza di Leibniz per serie a segno alterno.
- Mar 07/05/2024 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi su serie a termini positivi. Serie telescopiche.
Esercizi sulla convergenza assoluta. Il criterio del confronto
asintotico non si applica alle serie a segno variabile: esempio.
Criterio di non esistenza "alla Leibniz" per serie a segni
alterni.
- Ven 10/05/2024 11:00-13:00 (2 ore) lezione: Alessandra
Pluda
Criterio della radice e del rapporto per le serie.
- Lun 13/05/2024 14:00-15:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esercizi sull'uso del criterio del rapporto e della radice.
Relazione tra il numero L dato dal criterio del rapporto e
quello dato dal criterio della radice (se esistono).
- Lun 13/05/2024 15:00-16:00 (1 ora) lezione non
tenuta
Lezione non tenuta per sospensione della didattica nel corso
di laurea in Matematica.
- Mar 14/05/2024 11:00-12:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Serie di Taylor (in 0) di una funzione, e criterio di
convergenza della serie di Taylor alla funzione.
Serie di potenze: definizione del raggio di convergenza R
(formula collegata al criterio della radice), convergenza
assoluta della serie per |x|<R; non convergenza per |x|>R.
La serie è derivabile per |x|<R e la derivata coincide con la
serie delle derivate. Calcolo di R tramite formula collegata al
criterio del rapporto.
- Mar 14/05/2024 12:00-13:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Esempio di funzione f(x) nulla solo per x=0 con serie di Taylor
banale. Rappresentazione in serie di Taylor di exp(x), cos(x),
sen(x). Rappresentazione di (1+x)^a e log(1+x) come serie di
Taylor per |x|<1 (dimostrazione parziale).
Esercizi sul calcolo del raggio di convergenza di serie di
potenze.
- Gio 16/05/2024 14:00-15:00 (1 ora) lezione: Giovanni
Alberti
Definizione del numero "e" come serie; definizione di exp(z) con
z numero complesso come serie; dimostrazione della formula
exp(ix) = cos(x) + i sin(x).
Ulteriori sviluppi: definizione di exp(A) con A matrice quadrata
come serie: a che serve, e come si calcola?
Formula di Stirling (dimostrazione parziale).
- Gio 16/05/2024 15:00-16:00 (1 ora) esercitazione: Giovanni
Alberti
Calcolo approssimato di "e" con errore inferiore a 10^{-3}.
Rappresentazione di pi/4 come serie a segni alterni dei
reciproci dei numeri dispari.
Comportamento della serie di n^z con z numero complesso:
convergenza assoluta per Re(z) < -1, non convergenza per
Re(x) > 0, cenno ai casi rimanenti.
- Ven 17/05/2024 11:15-13:00 (2 ore) esercitazione: Alessandra
Pluda
Esercizi misti su: serie, integrali impropri. Studio di una
funzione
definita come integrale.