Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica 3
codice: 547AA
corso di studi: Matematica (MAT-L e WMA-LM)
anno accademico: 2018-2019
responsabile: Giovanni Alberti
docente: Giovanni Alberti
totale ore: 66 (lezioni: 49 ore, esercitazioni: 17 ore)

Lezioni

1. Lun 24/09/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
   Introduzione al corso: programma, prerequisiti, modalità d'esame, materiale didattico.
   Introduzione alla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue. Definizione di sigma-algebra e di misura sigma-additiva. Esempio chiave: sigma-algebra dei misurabili secondo Lebesgue e misura di Lebesgue. Confronto con la nozione di insieme misurabile secondo Riemann-Peano-Jordan e la misura di Riemann-Peano-Jordan. (Sono state dimostrate solo alcune delle proprietà enunciate.)
2. Mer 26/09/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
   Altro esempio di misura: la misura che conta i punti (su un insieme ambiente qualunque). Altro esempio di sigma-algebra: i Boreliani (in R^n).
   Funzioni misurabili rispetto ad una sigma-algebra. Proprietà delle funzioni misurabili (con dimostrazione parziale).
   Costruzione dell'integrale (per approssimazione con le funzioni semplici) prima per le funzioni misurabili positive e poi per le funzioni misurabili con segno qualunque.
3. Gio 27/09/2018 16:00-17:00 (1:0 h) lezione.
   Comportamento di una misura rispetto all'unione numerabile crescente e all'intersezione numerabile decrescente.
   Lemma chiave: approssimazione dell'integrale di una funzione misurabile positiva dall'alto e dal basso con l'integrale di funzioni semplici (generalizzate). Corollario: additività dell'integrale. 
4. Gio 27/09/2018 17:00-18:00 (1:0 h) esercitazione.
   L'insieme di Cantor ha misura di Lebesgue 0.
   Cardinalità degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Cardinalità degli insiemi Boreliani (traccia).
5. Lun 01/10/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
   Teoremi di convergenza sotto il segno di integrale: teorema di convergenza monotona (Beppo Levi), lemma di Fatou, teorema di convergenza dominata (Lebesgue).
   Complementi di teoria della misura: teorema di Fubini-Tonelli e il teorema di cambio di variabile (senza dimostrazione). Cosa vuol dire che una proprietà vale "quasi ovunque".
6. Mer 03/10/2018 9:00-10:00 (1:0 h) lezione.
   L'integrale secondo Riemann coincide con quello secondo Lebesgue (quando esiste). Caratterizzazione delle funzioni di una variabile integrabili secondo Riemann in termini di misura dell'insieme di discontinuità (solo enunciato). Somme di numeri indicizzarti da insiemi qualunque come integrale rispetto alla misura che conta i punti.
7. Mer 03/10/2018 10:00-11:00 (1:0 h) esercitazione.
   Esercizi sui teoremi di convergenza per gli integrali. 
8. Gio 04/10/2018 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
   Norma L^p e norma L^infinito di una funzione (la dimostrazione della disuguaglianza triangolare per p finito è rimandata alla lezione successiva), gli spazi L^p come quoziente.
   Disuguaglianza di Jensen (due dimostrazioni).
9. Lun 08/10/2018 9:00-10:00 (1:0 h) lezione.
   Disuguaglianze di Young, Hölder e Minkowski.
10. Lun 08/10/2018 10:00-11:00 (1:0 h) esercitazione.
    Esercizi di teoria della misura e dell'integrazione. 
11. Lun 08/10/2018 14:00-16:00 (2 ore) lezione.
    Completezza della norma degli spazi L^p.
    Nozioni di convergenza per successioni di funzioni: uniforme, puntuale, puntuale q.o., in norma L^p, in misura; relazioni fondamentali tra queste nozioni, inclusi i controesempi rilevanti e il teorema di Severini-Egorov (enunciato ma non dimostrato). 
12. Mer 10/10/2018 9:00-11:00 (2 ore)Lezione non tenuta, ma anticipata a lunedì 8 dalle 16 alle 18, facendo uno scambio col corso di Geometria e Topologia Differenziale.
13. Gio 11/10/2018 16:00-18:00 (2 ore). Lezione non tenuta per assenza del docente. 
14. Lun 15/10/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Dimostrazione del teorema di Severini-Egorov (enunciato ma non dimostrato nella lezione precedente).
    Risultati di densità e approssimazione: densità in L^p delle seguenti classi di funzioni: funzioni limitate e in L^p, funzioni limitate e a supporto compatto (solo per p finito), funzioni semplici, funzioni continue e a supporto compatto (solo per p finito). Controesempi rilevanti. Teorema di Lusin.
15. Mer 17/10/2018 9:00-11:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi su integrazione e spazi L^p: separabilità degli spazi L^p per p finito, non separabilità di L^infinito. Formula di integrazione delle funzioni radiali su R^d e determinazione dell'appartenenza a L^p per certe classi di funzioni radiali. Lo spazio L^p è contenuto in L^q per p < q (e dominio di misura finita) e l'immersione è continua.
16. Gio 18/10/2018 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Definizione di prodotto di convoluzione per funzioni su R^d. Stime L^p-L^1 e L^p-L^q sul prodotto di convoluzione ed esistenza dello stesso. Uniforme continuità del prodotto L^p-L^q.
17. Lun 22/10/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Derivabilità del prodotto di convoluzione: caso g in L^p(R^d), f di classe C^1 su R^d con f e nabla f in L^q(R^d).
    Approssimazione di una funzione f in L^p(R^d) per convoluzione: f*g_delta tende a f in norma L^p se f è in L^p(R^d) e g_delta è un nucleo di regolarizzazione.
    Approssimazione di una funzione f in L^p(R^d) con funzioni C^infinito.
18. Mer 24/10/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Spazi (reali) con prodotto scalare, spazi di Hilbert. Esempi chiave: L^2 e l^2.
    Definizione di base di Hilbert (insieme ortonormale massimale rispetto all'inclusione). Esempio di base di H. per l^2; verifica del fatto che lo span della base non è mai tutto lo spazio, e la base non è una base algebrica di l^2 (si tratta di un fenomeno generale).
    Teorema della base: ogni elemento in uno spazio di Hilbert X si scrive come combinazione lineare infinita degli elementi di una base.
19. Gio 25/10/2018 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Osservazioni varie sugli spazi di H. e sulle basi di H.: un'insieme ortonormale è massimale se e solo se il suo span è denso; una base di uno spazio di H. è numerabile se e solo se lo spazio è separabile, etc.
    Dato Y sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert X, X si scrive come somma diretta di Y e del suo ortogonale. (Attenzione l'ipotesi che lo spazio sia di Hilbert è necessaria.)
    Uno funzionale lineare continuo su uno spazio di H. si rappresenta tramite il prodotto scalare (dimostrazione rimandata alla lezione successiva).
20. Lun 29/10/2018 16:00-17:00 (1:0 h) lezione.
    Dimostrazione del teorema sulla rappresentazione dei funzionali lineari su uno spazio di Hilbert tramite prodotto scalare.
    Nel teorema suddetto l'ipotesi di continuità è necessaria (esempio di funzionale lineare non continuo) ed anche l'ipotesi che lo spazio sia di Hilbert (esempio di funzionale continuo su uno spazio con prodotto scalare non completo che non può essere rappresentato per prodotto scalare).
    Spazi di Hilbert complessi: cosa cambia? 
21. Lun 29/10/2018 17:00-18:00 (1:0 h) esercitazione.
    Sia Y il sottospazio di L^2(0,1) delle funzioni costanti: verificare che Y è chiuso e trovarne il complemento ortogonale. Sia Y il sottospazio di L^2(-1,1) delle funzioni pari: verificare che Y è chiuso e trovarne il complemento ortogonale.
    Dato E di misura finita, dimostrare che l'immersione di L^p(E) in L^q(E) per p>q è continua. Dimostrare che non è surgettiva nel caso E=[0,1].
22. Mer 31/10/2018 9:00-11:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi su argomenti sparsi: gli insiemi chiusi e limitati in uno spazio di Hilbert non sono necessariamente compatti, per esempio una base di Hilbert (il punto è che la limitatezza non implica la totale limitatezza); inclusione e non inclusione per gli spazi L^p e per l^p; caratterizzazione della continuità per operatori tra spazi normati; chiusura in L^2 dello spazio delle funzioni continue nulle in un punto; chiusura dell'insieme delle funzioni indicatrici; esiste un insieme E in [0,1] tale che E e il suo complementare hanno misura positiva in ogni intervallo contenuto in [0,1] (costruzione indiretta tramite il teorema di Baire).
23. Lun 05/11/2018 9:00-11:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizi su argomenti sparsi. L'integrale è un funzionale continuo su L^1(R) ma non su L^p(R) per p>1. Chiusura in L^2(R) delle funzioni a supporto compatto con integrale nullo. Base di Haar di L^2(R) (prima la versione semplice, con tutti i dettagli, poi la versione "avanzata", lasciata per esercizio).
24. Mer 07/11/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Serie di Fourier (complessa). Definizione e proprietà principali, basate sul fatto che l'insieme F delle funzioni e^{inx} con n intero, opportunamente rinormalizzate, è una base di Hilbert di L^2(-pi,pi).
    Teorema di Stone-Weierstrass e dimostrazione del fatto che F è una base di Hilbert.
25. Gio 08/11/2018 16:00-17:00 (1:0 h) lezione.
    La serie di Fourier di una funzione C^1 (con valori uguali agli estremi) converge totalmente. Relazioni tra la regolarità di una funzione e sommabilità/decadimento dei suoi coefficienti di Fourier.
26. Gio 08/11/2018 17:00-18:00 (1:0 h) lezione.
    Esercizi sul calcolo dei coefficienti di Fourier.
    Serie di Fourier della funzione x, della funzione x^2 e calcolo della somma di 1/n^2 per n da 1 a infinito. 
27. Lun 12/11/2018 9:00-10:00 (1:0 h) lezione.
    Rappresentazione delle somme parziali della Serie di Fourier come prodotti di convoluzione; convergenza puntuale della SdF per funzioni Hölderiane in un punto (solo enunciato).
28. Lun 12/11/2018 10:00-11:00 (1:0 h) lezione.
    Derivazione dell'equazione del calore in una dimensione spaziale da principi elementari sulla conduzione del calore. Equazione del calore in tutte le dimensioni (senza derivazione).
    Risoluzione (formale) dell'equazione del calore in dimensione uno (con condizioni di periodicità al bordo) tramite la Serie di Fourier.
29. Mer 14/11/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Risoluzione dell'equazione del calore in dimensione uno con condizioni di periodicità al bordo tramite SdF: teorema di esistenza e teorema di unicità (con dimostrazioni dettagliate). 
30. Gio 15/11/2018 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Derivazione dell'equazione delle onde (di compressione) in una dimensione a partire dalla legge delle molle.
    Risoluzione formale dell'equazione delle onde in dimensione uno con condizioni di periodicità al bordo tramite serie di Fourier. Teorema di unicità, primo teorema di esistenza, basato sull'espansione delle soluzione in serie di Fourier. Secondo teorema di esistenza, basato sulla ricerca di soluzioni della forma f(x-ct) + g(x+ct) (funziona solo per l'equazione delle onde). 
31. Lun 19/11/2018 9:00-10:00 (1:0 h) lezione.
    Convergenza puntuale e uniforme del prodotto di convoluzione di una funzione continua per una successione di funzioni L^1 con integrale 1 e "concentrate sempre più vicino a zero".
    Lemma di Riemann-Lebesgue e dimostrazione della convergenza puntuale della SdF nei punti di continuità Hölderiana della funzione.
32. Lun 19/11/2018 10:00-11:00 (1:0 h) esercitazione.
    Risoluzione tramite SdF di un'equazione "tipo calore" con termine forzante (esempio facile: la soluzione è data da una somma finita e non da una serie).
33. Mer 21/11/2018 9:00-11:00 (2 ore) esercitazione.
    Esercizio: trovare un dato iniziale C^infinito per cui l'equazione del calore non ammette soluzione per alcun intervallo di tempo nel passato. Esempio di equazione non risolubile in generale né nel futuro né nel passato: u_{ttt} = u_{xx}.
34. Gio 22/11/2018 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Varianti della Serie di Fourier (incluse le corrispondenti basi di Hilbert e le formule per i coefficienti delle derivate): SdF reale per L^2(-pi,+pi); SdF complessa per L^2(Q) dove Q è il quadrato [-pi,+pi]^2; serie in sen(nx) per L^2(0,pi).
    Uso di quest'ultima serie per la risoluzione dell'equazione delle onde e del calore con condizioni al bordo u(0)=u(pi), con esempio per l'equazione del calore.
    Fatto di carattere generale: dato X spazio con prodotto scalare, X' sottospazio denso, e T da X' in X applicazione lineare auto-aggiunta, allora gli autovettori con autovalori diversi sono ortogonali, e talvolta è possibile trovare una base di H. di X fatta di autovettori. Casi particolari: la base della serie di Fourier e della serie in sin(nx).
35. Lun 26/11/2018 9:00-11:00 (2 ore). Lezione non tenuta per assenza del docente, impegnato nei lavori di una commissione di concorso.
36. Mer 28/11/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Introduzione alla Trasformata di Fourier e derivazione formale della formula di inversione per passaggio al limite nella serie di Fourier.
    Definizione precisa di Trasformata di Fourier di una funzione in L^1(R). Alcune proprietà elementari della TdF. Formula per la TdF della derivata di una funzione in L^1 intersecato C^1 con derivata in L^1.
37. Gio 29/11/2018 16:00-17:00 (1:0 h) lezione.
    Formula per la derivata della TdF (di una funzione f in L^1 tale che xf è in L1). Collegamento tra il decadimento di una funzione all'infinito e la regolarità della TdF. Collegamento tra la regolarità di una funzione (con derivate on L^1) e il decadimento all'infinito della TdF.
38. Gio 29/11/2018 17:00-18:00 (1:0 h) esercitazione.
    Esempi di calcolo della TdF: exp(-|x|), exp(-x^2/2), 1/(1+x^2) (con il metodo dei residui).
39. Lun 03/12/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    La TdF del prodotto di convoluzione di due funzioni L^1 e il prodotto delle corrispondenti TdF.
    Formula di inversione della TdF (per una funzione f in L^1 con TdF in L^1).
    La TdF preserva la norma L^2 a meno di un fattore radice(2 pigreco).
40. Mer 05/12/2018 9:00-10:00 (1:0 h) lezione.
    Definizione della TdF per funzioni in L^2(R) per continuità a partire dalle funzioni in L^1 intersecato L^2. La TdF è un'isometria di L^2 in L^2 (a meno del solito fattore costante). Calcolo della TdF di una funzione L^2 come integrale improprio (cioè limite per r che tende all'infinito dell'integrale tra -r e r di f(x) exp(-iyx), se esiste).
    Condizione che garantisce che la TdF di una funzione f è in L^1: f di classe C^1 con f' in L^1.
    La TdF del prodotto di due funzioni in L^2 è il prodotto di convoluzione delle rispettive TdF (a meno di un fattore 1/(2 pigreco)). 
41. Mer 05/12/2018 10:00-11:00 (1:0 h) lezione.
    Dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica nel piano tramite SdF (per insiemi limitati con frontiera parametrizzata da una curva regolare di classe C^1).
42. Gio 06/12/2018 16:00-18:00 (2 ore). Lezione non tenuta per svolgere il primo compitino (dalle 16 alle 19).
43. Lun 10/12/2018 9:00-11:00 (2 ore) esercitazione.
    Risoluzione (formale) dell'equazione del calore su R tramite la TdF. Verifica diretta che la funzione data dalla convoluzione del dato iniziale con il nucleo del calore è effettivamente una soluzione dell'equazione del calore.
    Attenzione: usando la TdF si dimostra l'unicità solo sotto opportune ipotesi, e in effetti l'unicità manca. (Esempio analogo: risoluzione tramite TdF dell'equazione differenziale ordinaria u'=u.)
    Esercizi sul calcolo della TdF.
44. Mar 11/12/2018 9:00-11:00 (0:0 h) lezione.
    Lezione straordinaria di ripasso sulle funzioni olomorfe: definizioni equivalenti, collegamento tra il gradiente e la derivata complessa, equazioni di Cauchy-Riemann, logaritmo complesso, formula di Cauchy e rappresentazione di una funzione complessa in serie (di Taylor e di Laurent). Definizione di residuo e teorema dei residui. Calcolo degli integrali con il metodo dei residui.
45. Mer 12/12/2018 9:00-10:00 (1:0 h) lezione.
    Trasformata di Fourier in più variabili: definizione per funzioni in L^1(R^d), proprietà elementari (generalizzazione delle proprietà già viste in dimensione uno). Formula di inversione per funzioni L^1 con TdF in L^1. La TdF con conserva la norma L^1 (a meno di costante); definizione della TdF per funzioni L^2.
46. Mer 12/12/2018 10:00-11:00 (1:0 h) esercitazione.
    Esercizio: la Tdf di una funzione L^1 con supporto compatto è C^infinito, e poi che è analitica (restrizione alla retta reale di una funzione olomorfa).
47. Gio 13/12/2018 16:00-18:00 (2 ore) lezione.
    Funzioni armoniche. Le funzioni armoniche hanno la proprietà della media sulle palle (o equivalentemente sulle palle). Le funzioni con la proprietà della media sono regolari e armoniche.
    Principio del massimo (in forma forte) per funzioni armoniche. Principio del confronto.
48. Lun 17/12/2018 9:00-11:00 (2 ore) lezione.
    Una funzione olomorfa è anche armonica (nel senso che la parte reale e la parte immaginaria sono funzioni armoniche). Ogni funzione armonica definita su un aperto semplicemente connesso è la parte reale di una funzione olomorfa.
    Risoluzione tramite SdF dell'equazione di Laplace sul disco con dato al bordo sufficientemente regolare. Derivazione della formula di rappresentazione della soluzione con il nucleo di Poisson.