Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica I
codice: 004AA
corso di studi: Ingegneria Gestionale (IGE-L)
anno accademico: 2014-2015
responsabile: Giovanni Alberti 
docente: Giovanni Alberti 
totale ore: 112 (lezione: 70 ore, esercitazione: 42 ore)

Lezioni

1. Mer 01/10/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
   Presentazione del corso: programma per sommi capi, libri di testo, modalità d'esame, prove in itinere, mailing list, pagina web del docente (dove trovare avvisi, ulteriori informazioni e materiale didattico: programma dettagliato del corso, testi e soluzioni degli scritti degli anni passati, etc). 
2. Mer 01/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
   Svolgimento di alcuni esercizi elementari per la verifica delle conoscenze di base. 
3. Mer 01/10/2014, 14:30-16:30 (2 ore), lezione.
   Ripasso di alcune nozioni fondamentali: grafici delle funzioni lineari (y = ax+b) e delle funzioni potenza (y = x^a), operazioni sui grafici di funzioni: a partire dal grafico y = f(x), ottenere i grafici y = f(x)+a e y = f(x+a) con a numero reale. Svolgimento di alcuni esercizi (collegati e non). 
4. Gio 02/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione non tenuta per sospensione didattica (per permettere l'uso dell'aula per dell'esame di stato di Ingegneria). 
5. Ven 03/10/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
   Grafici delle funzioni esponenziali (y = a^x con a>0) e della funzione logaritmo (y = log x, logaritmo in base e). Ulteriori operazioni sui grafici: a partire dal grafico y = f(x) ottenere i grafici y = a f(x) e y = f(ax) con a>0, y = -f(x), y = f(-x), y = |f(x)|, y = f(|x|). 
6. Ven 03/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
   Svolgimento di esercizi principalmente sui grafici delle funzioni elementari e sulle operazioni sui grafici (disegnare il grafico di una funzione data, proporre una formula per una funzione conoscendone il grafico, etc.). 
7. Sab 04/10/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
   Ricapitolazione delle definizioni di base in trigonometria e delle principali identità trigonometriche. Grafici delle funzioni sin x, cos x, tan x. 
8. Sab 04/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
   Esercizi sulle nozioni di base di trigonometria, e sui grafici di funzioni elementari. 
9. Mer 08/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
   Notazione per gli intervalli. Esempi di funzioni: date formule e non, in contesto puramente matematico e non. Terminologia di base: dominio, codominio, immagine e grafico. Inversa di una funzione (esempio: la funzione logaritmo è l'inversa della funzione esponenziale). Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza dell'inversa: iniettività e surgettività. 
10. Mer 08/10/2014, 14:30-15:30 (1 ora), lezione.
    Ancora sulla funzione inversa: interpretazione delle condizioni di iniettività e surgettività in termini di grafico della funzione. Risoluzione dell'equazione f(x) = y (con incognita x) tramite l'inversa di f. Esempio di inversa imperfetta: la radice quadrata come inversa del quadrato. 
11. Mer 08/10/2014, 15:30-16:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sui grafici di funzioni, calcolo dell'inversa, e risoluzione di disequazioni. 
12. Gio 09/10/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Il grafico della funzione inversa. Funzioni trigonometriche inverse (arcsin, arccos, arctan): definizione e grafico. 
13. Gio 09/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi collegati alle funzioni trigonometriche inverse, calcolo delle coordinate polari di un punto. 
14. Ven 10/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Definizione di limite di una funzione (discusso in dettaglio il caso del limite finito per x che tende a un numero finito oppure a +infinito, e di limite +infinito per x che tende a +infinito; accennati o lasciati da fare i casi rimanenti). Interpretazione delle definizioni in termini di grafico (verifica a titolo d'esempio del fatto che 1/x tende a 0 per x che tende a +infinito).  
15. Sab 11/10/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Definizione di funzione continua. Definizione di limite sinistro e limite destro. Alcuni limiti legati a funzioni elementari. Le funzioni elementari sono tutte continue. Esempi di funzioni non continue. 
16. Sab 11/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi ed esempi sui limiti e sulla continuità. 
17. Mer 15/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi sui limiti di funzioni svolti mettendo in evidenza alcune proprietà elementari (non dimostrate), come, per esempio, che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti etc., ed elencando alcune forme indeterminate che richiedono un'analisi più accurata. 
18. Mer 15/10/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione svolta insieme alla dottoressa Alessandra Pluda.
    Sono stati assegnati ai presenti degli esercizi da svolgere per conto loro (che poi sono stati svolti alla lavagna) sui seguenti argomenti: limiti con metodi elementari, grafici delle funzioni, disequazioni. 
19. Gio 16/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Ricapitolazione delle proprietà elementari dei limiti e delle forme indeterminate.
    Motivazione geometrica per il calcolo delle derivate: equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Definizione di derivata. Nei punti di derivabilità la funzione è continua (senza dimostrazione). Esempi di funzioni non derivabili. Esempio: la velocità istantanea come derivata.
    Calcolo delle derivate a partire dalle derivate delle funzioni elementari usando le regole di derivazione (le dimostrazioni sono tutte rimandate alle lezioni successive). 
20. Ven 17/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione non tenuta perché l'aula non era disponibile (sciopero del personale di custodia). 
21. Sab 18/10/2014, 09:30-11:00 (1 ora e 30), lezione.
    Avanzata dalla lezione precedente: formula per la derivata del rapporto di due funzioni. Dimostrazione delle regole di derivazione e delle formule per le derivate delle funzioni elementari enunciate nella lezione precedente (tranne cos x, tan x, arcsin x, arccos x, arctan x). Caratterizzazione della costante di Nepero "e" come quel numero per cui (e^h-1)/h tende a 1 per h che tende a 0. 
22. Sab 18/10/2014, 11:00-12:30 (1 ora e 30), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle derivate e sui limiti (con metodi elementari). 
23. Mer 22/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Dimostrazioni sulle derivate delle funzioni elementari (cos x, tan x, arcsin x,...) avanzate dalla lezione precedente.
    Definizione di funzione crescente e di funzione decrescente, e caratterizzazione in termini della derivata. Teorema di Lagrange (solo giustificazione grafica). 
24. Mer 22/10/2014, 14:30-15:00 (30 minuti), lezione.
    Funzioni strettamente crescenti e strettamente decrescenti, caratterizzazione (parziale) in termini di derivata. Risoluzione della disequazione f(x) < a con f strettamente crescente. 
25. Mer 22/10/2014, 15:00-16:30 (1 ora e 30), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle derivate e sulle funzioni crescenti. 
26. Gio 23/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Punti di massimo e minimo (locali e assoluti) di una funzione, e collegamento con la derivata. Procedura per la ricerca dei punti di massimo e minimo (senza lo studio del grafico). Teorema di Weierstrass sull'esistenza dei punti di massimo e minimo per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato (enunciato ma non dimostrato). 
27. Ven 24/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione.
    Esempi ed esercizi riguardanti il teorema di Weierstrass e la ricerca dei punti di max. e min. di una funzione. Primi esercizi sullo studio del grafico di una funzione f (determinazione dell'immagine di f e dei punti di max. e min., determinazione del numero di soluzioni dell'equazione f(x) = a). 
28. Sab 25/10/2014, 09:30-11:30 (2 ore), lezione.
    Estremo inferiore e superiore per insiemi semplici (unioni finite di intervalli). Insiemi convessi (nel piano e nello spazio). Definizione di funzione convessa (risp. concava) a partire dalla convessità del sopra-grafico (risp. del sotto-grafico), espressione della convessità in termini come disequazione, e caratterizzazione in termini di derivata seconda. 
29. Sab 25/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sugli studi di funzioni (dimostrazione di disuguaglianza). 
30. Mer 29/10/2014, 10:30-12:00 (2 ore), lezione.
    Enunciato del teorema di de L'Hôpital (dimostrazione rimandata a dopo), con esempi.
    Nozione di funzione trascurabile rispetto ad un'altra (f << g) per x che tende ad un x_0 assegnato, e notazione "o piccolo" di Landau (f = o(g)). Confronto delle funzioni esponenziali, delle potenze, e del logaritmo per x che tende all'infinito o a 0. Esempi ed esercizi. 
31. Mer 29/10/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione svolta insieme alla dottoressa Alessandra Pluda.
    Sono stati assegnati ai presenti degli esercizi da svolgere per conto loro (che poi sono stati svolti alla lavagna) sui seguenti argomenti: limiti, continuità, problemi di massimo e di minimo. 
32. Gio 30/10/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Nozione di equivalenza asintotica di due funzioni (per x che tende ad un dato x_0) e di parte principale di una funzione (per x che tende a 0 o a infinito). Principio di sostituzione (di infiniti e infinitesimi nei limiti). Teorema di Cauchy e dimostrazione del teorema di de L'Hôpital. 
33. Gio 30/10/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle parti principali, e sul calcolo dei limiti usando le parti principali ed il principio di sostituzione. 
34. Ven 31/10/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Notazione compatta per la somma. Fattoriale. Notazione "o grande" di Landau (f = O(g)) in versione semplificata e in versione precisa. Esempi. Teorema dello sviluppo di Taylor (in 0) con varie stime del resto, inclusa la formula del resto di Lagrange. Applicazione: calcolo della costante "e" con 3 cifre decimali corrette. 
35. Mer 05/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Sviluppi di Taylor (in 0) di alcune funzioni elementari (e^x, sin x, cos x, log(1+x), (1+x)^a, 1/(1+x), 1/(1-x)). Giustificazione della formula e^(ix) = cos x + i sin x a partire dagli sviluppi di Taylor di e^x, cos x, sin x. Polinomi di Taylor delle funzioni pari e delle funzioni dispari; relazione tra il polinomio di Taylor di una funzione e quello della sua derivata. 
36. Mer 05/11/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo degli sviluppi di Taylor e delle parti principali. 
37. Gio 06/11/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Dimostrazione del Teorema dello sviluppo di Taylor enunciato in precedenza. 
38. Gio 06/11/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo delle parti principali. 
39. Ven 07/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione non tenuta per via di un impegno istituzionale del docente (commissione di concorso) e sostituita da un'esercitazione tenuta dalla dottoressa Alessandra Pluda. 
40. Sab 08/11/2014, 09:30-10:30 (1 ora), lezione.
    Coefficienti binomiali: definizione analitica e calcolo tramite il triangolo di Tartaglia (senza dimostrazione). Formula del binomio di Newton per (a+b)^d, dimostrata a partire dallo sviluppo di Taylor della funzione (1+x)^d. 
41. Sab 08/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi sparsi sul calcolo dei limiti, delle parti principali, e sullo studio di funzioni. 
42. Mer 12/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Breve cenno di alcuni aspetti più astratti dell'analisi: numeri naturali, interi, razionali e reali. I numeri reali "definiti" in termini di espansione decimale finita o infinita, periodica o non periodica; i numeri razionali sono i numeri con espansione decimale finita o periodica (con cenno di dimostrazione). Perché introdurre i numeri reali oltre ai razionali? Definizione di estremo superiore ed inferiore di un insieme qualunque, e completezza dei numeri reali. 
43. Mer 12/11/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione svolta insieme alla dottoressa Alessandra Pluda.
    Sono stati assegnati da svolgere in aula prima due esercizi del tipo "seconda parte dello scritto", e poi sette esercizi del tipo "prima parte dello scritto". 
44. Gio 13/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Il ruolo dei numeri reali nell'analisi (e nella geometria piana): Teorema di esistenza degli zeri (con breve cenno della dimostrazione) e Teorema di Weierstrass sull'esistenza di massimi e minimi (senza dimostrazione). Calcolo approssimato degli zeri dell'equazione f(x) = 0 tramite il metodo di bisezione, ed applicazione ad un esempio concreto: calcolo della soluzione di x^5 +x -1 = 0. 
45. Ven 14/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Algoritmo di Newton per il calcolo approssimato delle soluzioni dell'equazione f(x) = 0, ed applicazione ad un esempio concreto: calcolo della soluzione di x^5 +x -1 = 0.
    Definizione di integrale definito (di una funzione f sull'intervallo [a,b]) come area. Approssimazione dell'integrale con somme finite. Un altro significato dell'integrale: la distanza percorsa da un punto in movimento in un intervallo di tempo assegnato come integrale della velocità (scalare). 
46. Sab 15/11/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione non tenuta per via della sovrapposizione con il compitino di Fisica I. 
47. Sab 15/11/2014, 11:30-12:30 (1 ora), lezione.
    Definizione di primitiva di una funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale: un integrale definito può essere determinato a partire da una primitiva della funzione integranda. Dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo. 
48. Mer 19/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Calcolo delle primitive e degli integrali. Elenco delle primitive di alcune funzioni elementari, elenco di regole per il calcolo degli integrali e delle primitive (tra cui la formula di integrazione per parti e la formula per il cambio di variabile). Esempi di applicazione delle varie formule. 
49. Mer 19/11/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo degli integrali e delle primitive. 
50. Gio 20/11/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Stime dell'errore nell'approssimazione di un integrale con una somma finita (con dimostrazione solo della stima nel caso delle somme "centrate"). 
51. Gio 20/11/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo degli integrali. 
52. Ven 21/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Calcolo di aree e volumi: l'area di una figura piana è uguale all'integrale della lunghezza delle sezioni; il volume di una figura solida è uguale all'integrale dell'area delle sezioni. Giustificazione delle due formule. Verifica: calcolo dell'area del cerchio, del volume della sfera, e del volume del cono retto. Alcuni esercizi sul calcolo delle aree. 
53. Sab 22/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione non tenuta per permettere lo svolgimento del primo compitino. 
54. Mer 26/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Esempio: volume di un cono qualunque. Volume dei solidi di rotazione (cioè dati dalla rotazione del grafico di una funzione attorno ad uno dei due assi). Esempi/verifiche: volume della sfera e del cono retto con base circolare. Le curve nel piano come traiettorie di un punto in movimento: velocità scalare e velocità vettoriale, accelerazione, calcolo della distanza percorsa come integrale del modulo della velocità. 
55. Mer 26/11/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione svolta insieme alla dottoressa Alessandra Pluda.
    Sono stati assegnati da svolgere in aula esercizi sul calcolo di integrali, aree, e volume dei solidi di rotazione. 
56. Ven 28/11/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Esempi di curve (traiettorie di punti in movimento): moto rettilineo uniforme, moto circolare uniforme, moto rettilineo non uniforme. Parametrizzazione di curve: rette, circonferenze, grafici di funzioni. Formula per la lunghezza del grafico di una funzione, con esempi di calcolo.
    Integrali impropri semplici: definizione ed esempi dei possibili comportamenti (l'integrale esiste ed è finito, esiste ed è infinito, non esiste). 
57. Sab 29/11/2014, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi sul calcolo degli integrali di funzioni date da rapporti di polinomi, f = p/q (funzioni razionali): ci si limita al caso di p = polinomio di primo grado e q = polinomio di secondo grado (fattorizzabile e non).
    Esercizi sul calcolo dei volumi e degli integrali impropri. 
58. Sab 29/11/2014, 11:30-12:30 (1 ora), lezione.
    Ricapitolazione di quanto detto sugli integrali impropri semplici. Il comportamento di un integrale improprio in un estremo non dipende dal valore dell'altro estremo. Esistenza del limite per funzioni monotone (crescenti o decrescenti) ed esistenza dell'integrale improprio per funzioni a segno costante (positive o negative). 
59. Mer 03/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Integrali impropri semplici di funzioni positive (o a segno costante): criterio del confronto e del confronto asintotico (versione debole e versione forte). Risultati di base: a) comportamento dell'integrale di f da 1 a infinito in base al limite di f(x) per x che tende a +infinito; b) comportamento dell'integrale di f improprio nell'estremo b in base al limite di f(x) per x che tende a b; c) comportamento dell'integrale di 1/x^a tra 0 e 1, e tra 1 e infinito. Esempi di uso del criterio del confronto asintotico. 
60. Mer 03/12/2014, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi su integrali, integrali impropri, e calcolo delle aree. 
61. Gio 04/12/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Integrali improprio semplici di funzioni a segno non costante: se l'integrale del valore assoluto di f è finito, allora l'integrale di f esiste ed è finito. Integrali impropri non semplici. 
62. Gio 04/12/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sugli integrali impropri. 
63. Ven 05/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Somme infinite (serie) di numeri reali. Definizione ed primo esempio fondamentale: la serie geometrica. Esempio di serie telescopica. Criterio del confronto integrale. Discussione della serie armonica generalizzata. 
64. Sab 06/12/2014, 09:30-10:30 (1 ora), lezione.
    Criterio del confronto e del confronto asintotico (debole e forte) per le serie a termini positivi. Criterio della convergenza assoluta per serie con termini di segno variabile. 
65. Sab 06/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Esercizi su serie ed integrali impropri. 
66. Mer 10/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Criterio del rapporto e criterio della radice per serie a termini positivi. Esempi di uso di questi criteri. Serie di potenze. Teorema fondamentale sulle serie di potenze: comportamento sulla base del raggio di convergenza R, calcolo di R, derivata della serie di potenze. Esempi di calcolo del raggio di convergenza di serie di potenze. 
67. Mer 10/12/2014, 14:30-16:30 (2 ore), lezione.
    Dimostrazione parziale del teorema sulle serie di potenze. Serie di Taylor di una funzione. Criterio per la convergenza della serie di Taylor alla funzione, esemplificato per e^x, cos x, sin x. Serie di Taylor di 1/(1-x) (serie geometrica) e (1+x)^a (senza dimostrazione).
    Corollario: rappresentazione della costante "e" come serie. Rappresentazione di pigreco come serie a partire dalla serie di Taylor della funzione arctan x (senza dimostrarne la convergenza).
    Esempi di calcolo di serie di potenze riconducendosi alle serie di Taylor delle funzioni date sopra. 
68. Gio 11/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione non tenuta per sospensione didattica (assemblea studenti). 
69. Ven 12/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione non tenuta perché l'aula non era disponibile a causa dell'adesione del personale di custodia allo sciopero generale. 
70. Sab 13/12/2014, 08:30-10:30 (2 ore), lezione.
    Equazioni differenziali. Discussione di alcuni esempi fondamentali. 1) Equazione della legge oraria di un corpo in caduta libera, sia nel caso di gravità costante che non costante; risoluzione nel primo caso e ruolo delle condizioni iniziali, derivazione del principio di conservazione dell'energia nel secondo caso. 2) Equazione di decadimento: esempi concreti, derivazione, risoluzione e ruolo della condizione iniziale. 
71. Sab 13/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione.
    Esercizi su serie, serie di potenze e calcolo del raggio di convergenza. 
72. Mer 17/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Equazioni differenziali del primo ordine, teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy (solo enunciato). Equazioni a variabili separabili; risoluzione con condizioni iniziali e senza. 
73. Mer 17/12/2014, 14:30-15:30 (1 ora), lezione.
    Risoluzione delle equazioni differenziali lineari del primo ordine. 
74. Mer 17/12/2014, 15:30-16:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sulle equazioni differenziali. 
75. Gio 18/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), lezione.
    Equazioni differenziali del secondo ordine, teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy (solo enunciato). Equazioni lineari del secondo ordine. Le soluzioni di un'equazione lineare del secondo ordine omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione due. Risoluzione delle equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. 
76. Ven 19/12/2014, 10:30-11:30 (1 ora), lezione.
    Struttura delle soluzioni delle equazioni lineari non omogenee. Risoluzione delle equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto di tipo particolare (polinomi, esponenziali, etc.). 
77. Ven 19/12/2014, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione.
    Esercizi sulle equazioni differenziali lineari. 
78. Sab 20/12/2014, 08:30-10:30 (2 ore), lezione.
    Esempi significativi di equazioni differenziali lineari: pendolo, oscillatore armonico, oscillatore armonico smorzato, oscillatore armonico forzato e fenomeno della risonanza. 
79. Sab 20/12/2014, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione svolta insieme alla dottoressa Alessandra Pluda.
    Sono stati assegnati da svolgere in aula sette esercizi del tipo "prima parte dello scritto" su equazioni differenziali, serie e integrali impropri, e poi un esercizio del tipo "seconda parte dello scritto".