Dati registro

insegnamento: Analisi Matematica I
codice: 004AA
corso di studi: Ingegneria Gestionale (IGE-L)
anno accademico: 2013-2014
responsabile: Giovanni Alberti
docenti: Giovanni Alberti, Vincenzo Maria Tortorelli
totale ore: 114 (lezione: 56 ore, esercitazione: 58 ore)

Lezioni

1. Mer 02/10/2013, 09:30-11:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti,Vincenzo Maria Tortorelli).
   Presentazione del corso: programma, prerequisiti, libri di testo, modalità d'esame, pagina web, mailing list.
   Alcuni esercizi di verifica delle conoscenze di base.
2. Mer 02/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti). 
   Ripasso di alcune nozioni di base: quando è definita la potenza a^b? significato della radice di un numero, misura degli angoli (sempre in radianti), logaritmo (sempre in base e).
   Significato del grafico di una funzione. Grafici delle funzioni elementari: ax+b; x^a; a^x; log x. Operazione elementari sui grafici: ricavare a partire dal grafico di f(x) quello di f(x)+c e quello di f(x+c).
   Alcuni esempi.
3. Gio 03/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
   Dalla pagina 1 del manoscritto del primo gruppo. Ripasso dei prerequisiti (disequazioni, diseguaglianze ed identità notevoli, trigonometria). Esercizi sui grafici dal I foglio, pagina 1 manoscritto, le prime tre equazioni e la penultima, le disequazioni tranne la prima, la sesta e l'ultima, esercizio di riconoscimento di grafici della pagina 4 del manoscritto, principali proprietà di seno e coseno sul cerchio unitario, a richiesta richiamo delle formule parametriche in tan(x/2), per sen(x), (a^n - b^n) = (a-b)... quadratura di trinomi di secondo grado e risoluzione grafica di equazioni a partire dal grafico di x^2.
4. Ven 04/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
   Altre operazioni sui grafici di funzioni: ottenere dal grafico di f(x) quello di: cf(x), f(cx), -f(x), f(-x), |f(x)|, f(|x|) (per esercizio). Funzioni pari e funzioni dispari.
5. Ven 04/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
   Esercizi sui grafici di funzioni: disegnare i grafici di certe funzioni date; proporre formule per alcuni grafici disegnati alla lavagna.
6. Sab 05/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
   Ripasso veloce delle definizione di seno, coseno e tangente. Valori di queste quantità per alcuni angoli significativi. Grafico delle funzioni sen x, cos x, tan x.
7. Sab 05/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
   Esercizi sui grafici di funzioni, e in particolare delle funzioni trigonometriche.
8. Mar 08/10/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
   Esercizi sulle operazioni di traslazione dilatazione e valore assoluto di funzioni elementari, esercizi di risoluzione grafica di equazione e disequazioni dal primo foglio, pagina 3 del manoscritto: il secondo punto (tranne gli ultimi due esercizi); il terzo (tranne il primo esercizio) grafici qualitativi di sin(2x), sin(4x), sin(x^2); il quarto (in più soluzione grafica di f(x) > x^2).
   Spiegazione dei grafici di f(|x|) e |f(x)| a partire dal grafico di f(x). Simulazione di prova di esame (prima parte) dal I foglio dattiloscritto: esercizi 13Cprova2P1E1-E2-E4 (15-20 minuti).
9. Mer 09/10/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
   Riconduzione dello studio grafico di (3x+1)/(x+4) a quello di 1/x.
   Dal I foglio dattiloscritto, esercizi da esame 13C1P1G1E1, 13C1P1G1E8, 13Ex4P1G1E1, richiamo del grafico di 1/x^2, proposto 13Cprova1P2E1 come esercizio impegnativo da risolvere in seguito.
10. Mer 09/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti). 
    Notazione per gli intervalli.
    Esempi di funzioni (date da formule e non). Definizione astratta di funzione: dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione da un sottoinsieme di R a valori in R (funzioni di una variabile) e da R^2 in R (funzioni di due variabili).
    Interpretazione grafica di dominio e immagine per funzioni di una variabile.
11. Mer 09/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Definizione di inversa di una funzione f da X in Y. L'inversa esiste se e solo se f è iniettiva e suriettiva.
    Interpretazione grafica di iniettività e surgettività.
    Calcolo dell'inversa come risoluzione di un equazione: alcuni esempi semplici di calcolo dell'inversa. Esempio di funzione da R in R invertibile per cui non si riesce a trovare esplicitamente l'inversa. Il logaritmo è l'inversa dell'esponenziale, definito come funzione da R in (0,+infinito). In che senso la radice è l'inversa del quadrato?
12. Gio 10/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Esempi significativi di funzioni inverse (modulo un'opportuna scelta di dominio e codominio): logaritmo ed esponenziale, radice quadrata e quadrato, seno e arcoseno, coseno e arcocoseno, tangente e arcotangente.
    Relazione tra il grafico y=f(x) e x=f(y).
    Se g è l'inversa di f, il grafico y=f(x) coincide con quello x=g(y). Il grafico y=g(x) si ottiene da y=f(x) per riflessione rispetto alla retta y=x.
    Grafici delle funzioni trigonometriche inverse.
13. Ven 11/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti). 
    Esercizi di risoluzione esplicita e grafica di equazioni e disequazioni.
    Esercizi sul disegno di sottoinsiemi del piano definiti da equazioni e disequazioni.
14. Ven 11/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli). 
    I foglio di esercizi dattiloscritto: esercizio 13Cprova1P2E1.
    I foglio di esercizi, primo punto pagina 5 manoscritto: i grafici sin(arsin x), cos(arcos x), arcos(cos x); relazione tra arcos x e arsin x, arsin(sin x).
15. Mar 15/10/2013, 08:30-10:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Limite di una funzione f(x) per x che tende a + infinito: significato intuitivo e definizione rigorosa (sia per il limite finito che per il limite + o - infinito); interpretazione grafica della definizione. Limite di una funzione f(x) per x che tende a x_0: significato intuitivo e definizione rigorosa.
    Discussione di esempi dati da funzioni elementari, oppure da grafici disegnati. Esempi di funzioni che non ammettono limite (sen x per x che tende a +infinito, 1/x per x che tende a 0).
16. Mer 16/10/2013, 09:30-10:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Limite destro e sinistro. Definizione di funzione continua (in un punto / sul tutto il dominio). Esempi di funzioni non continue in un punto del dominio. Le funzioni elementari (e quelle ottenute a partire da queste) sono tutte continue nell'insieme di definizione.
17. Mer 16/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esempi di calcolo dei limiti usando alcune regole intuitive: il limite della somma di due funzioni è la somma dei limiti, il limite del prodotto di due funzioni è il prodotto dei limiti, limite del rapporto e della funzione composta, etc.
    Cosa fare quando uno i limiti sono infiniti (aritmetica dei limiti).
    Casi problematici ("forme indeterminate" come 0/0, etc.).
18. Mer 16/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Definizione di derivata come limite del rapporto incrementale. Interpretazione geometrica della derivata come pendenza della retta tangente al grafico della funzione. La velocità (scalare e vettoriale) come derivata. Esempio di funzione non derivabile. Calcolo della derivata a partire dalla definizione.
    Calcolo della derivata a partire dalle derivate delle funzioni elementari (lista completa) e di alcune regole (lista completa a parte la derivata della funzione inversa).
19. Gio 17/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    A) Trovare formule che definiscano funzioni con grafici "compatibili" con le informazioni qualitative date da un grafico disegnato e confronto tra approccio grafico ed analitico degli andamenti al limite evidenziati nei disegni: funzioni che valgono 1 su una semiretta, 0 sull'altra e non definite nell'estremo, lo stesso per gli intervalli, grafici oscillanti.
    B) uso dei teoremi dei carabinieri e di cambio di variabile nei limiti evidenziato nei grafici oscillanti mostrati in A).
    C) Anticipo di teoria: determinazione (tramite la geometria elementare) del limite per x -> 0 di sinx / x e quindi di (1-cos x)/x, (1 - cos x)/x^2; interpretazione grafica.
    D) III foglio di esercizi pagina 2 primo e secondo punto:limiti di rapporti di somme di infiniti ed infinitesimi confrontabili.
20. Ven 18/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Inizio delle dimostrazioni riguardanti il calcolo delle derivate: regola per la derivata della somma, del prodotto, e della funzione composta, derivata della funzione inversa, derivata delle funzioni ax+b, e^x e log x.
21. Mar 22/10/2013, 08:30-09:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Conclusione delle dimostrazioni riguardanti il calcolo delle derivate: derivata di a^x, derivata di x^a, derivata del rapporto di due funzioni, derivate di sen x, cos x, tan x, arcsin x, arctan x.
22. Mar 22/10/2013, 09:30-10:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Funzioni crescenti e decrescenti: definizione e caratterizzazione in termini di segno della derivata prima (dimostrazione basata sull'intuizione geometrica). Funzioni strettamente crescenti e strettamente decrescenti.
    Punti di massimo e minimo (assoluto) di una funzione relativamente al dominio o a un sottoinsieme del dominio; punti di massimo e minimo relativo (o locale). Teorema: la derivata di una funzione si annulla nei punti di massimo o minimo (locali o assoluti) interni al dominio (dimostrazione basata sull'intuizione geometrica).
    Algoritmo per la ricerca dei punti di massimo e minimo assoluto di una funzione, quando esistono.
    Esempi di funzioni che non hanno punti di minimo o massimo. Teorema: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ammette punti di minimo e massimo (senza dimostrazione).
23. Mer 23/10/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli, in compresenza con il dottor Marco Caroccia).
    Esercizi su studi di funzione.
    A) Richiamo di limiti notevoli e derivate di funzione composta.
    B) simulazione di una prima parte di esame scritto: 4 esercizi in 30 minuti. III foglio di esercizi: 13CProva1P1E4, 13C1P1G3E4, 13C1P1E5, 13Ex1P1G1E2.
    C) Risoluzione dei quesiti proposti.
    D) Studio del grafico di arcsin( 2x/(1+x^2)).
    E) Proposto 13C1P2G1E3 (tempo indicativo un ora).
24. Mer 23/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Ricapitolazione dei concetti introdotti nella lezione precedente; esempi riguardanti l'esistenza dei punti di massimo e di minimo.
    Funzione convesse (e concave) definite su un intervallo: definizione geometrica ed esempi. Caratterizzazione della convessità (concavità) di una funzione in termini di crescenza decrescenza) della derivata (dimostrazione basata sull'intuizione geometrica).
    Esercizio: dire se la disuguaglianza e^x > 2x vale per ogni x reale oppure no. Impostazione in termini di calcolo del valore minimo di una funzione. Eventuali problemi di una soluzione puramente grafica.
25. Gio 24/10/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi tipici collegati allo studio del grafico di una funzione: trovare il numero di soluzioni di un equazione, dimostrare una disuguaglianza, trovare il numero *intero* che rende minima (o massima) una certa funzione.
26. Gio 24/10/2013, 11:30-12:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Regola di de L'Hôpital per il calcolo del limite del rapporto di due funzioni: versione approssimativa e versione precisa. Dimostrazione in un caso semplice. Esempi di uso corretto e di uso scorretto. Esempio di rapporto di funzioni il cui limite esiste, ma non esiste il limite del rapporto delle derivate.
27. Ven 25/10/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Applicazione fondamentale della regola di de L'Hôpital: confronto (espresso in termini di limite del rapporto) delle funzioni log x, x^a e a^x per x che tende ad infinito; confronto delle funzioni log x e 1/x^a per x che tende a 0.
    Nozione fondamentale: f(x) è trascurabile rispetto a g(x) per x che tende a x_0 (notazione << e "o piccolo").
    Tabella dei confronti per le funzioni log x, x^a e a^x per x che tende ad infinito.
    Tabella dei confronti per le funzioni log x e x^a per x che tende a 0.
    Nozione fondamentale: f(x) è asintoticamente equivalente a g(x) per x che tende a x_0 (notazione: ~).
    Principio di sostituzione di infiniti e infinitesimi nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto di funzioni; caratterizzazione dell'equivalenza asintotica in termini di "o piccolo" (le dimostrazioni sono rimandate alla lezione successiva).
    Esempio di calcolo dei limiti usando quanto appena fatto.
28. Mar 29/10/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli). 
    Esercizi su studi di funzione, calcolo del numero di soluzioni dell'equazione f(x) =p, massimi e minimi locali.
    Svolgimento del testo di esame (seconde parto) 13C1P2G1E3 III foglio di esercizi.
    III Foglio di esercizi pagina 3 manoscritto: quante soluzioni ha l'equazione (x^2+1)/(x^4+1) =p al variare di p?
    III Foglio di esercizi pagina 2 manoscritto: disegnare il grafico di log(1+ sin ( x^2/(1+x^2)) senza usar le derivate.
    Quante soluzioni ha log(1+ sin ( x^2/(1+x^2))=x?
29. Mer 30/10/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Calcolo dei valori di massimo e minimo come via per dimostrare diseguaglianze dipendenti da parametri.
    Verifiche di surgettività ed iniettività.
    Calcolo della derivata in un punto di una funzione inversa non esplicitabile.
    Funzioni oscillanti infinite volte vicino a un punto: determinazione grafica dell'eventuale tangente; verifica con il limite del rapporto incrementale.
    Richiami di teoria delle funzioni continue su intervallo: immagine e iniettività. Rivisitazione grafica della definizione di limite. Permanenza del segno nei limiti graficamente.
    III Foglio dattiloscritto pag.5 Esercizio 2. III Foglio manoscritto pagina 3: quarto punto, settimo punto.
30. Mer 30/10/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Vincenzo Maria Tortorelli). 
    Introduzione ai problemi di conteggio:
    1. Numero delle "parole" di k caratteri da un "alfabeto" di n simboli (disposizioni con ripetizione). Interpretazione in termini di funzioni.
    2. Numero delle "parole" con k caratteri diversi da un "alfabeto" di n simboli (disposizioni senza ripetizione). Interpretazione in termini di funzioni.
    3. Numero dei modi di scegliere k oggetti n assegnati (combinazioni). Interpretazione in termini di sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n elementi. Metodo del testimone. Esempi e interpretazioni: estrazioni con o senza re-immissione, numero di anagrammi con o senza ripetizione, probabilità di essere nati lo stesso giorno della settimana.
    Formula del binomio di Newton e formula di Leibniz per la derivata n-esima del prodotto.
31. Gio 31/10/2013, 10:30-12:30, lezione non tenuta per sospensione didattica.
32. Mar 05/11/2013, 08:30-09:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Ripartiamo dalle nozioni di trascurabilità ("o piccolo" oppure <<) e di equivalenza asintotica (~). Dimostrazione del principio di sostituzione di infiniti e infinitesimi nei limiti e della caratterizzazione dell'equivalenza asintotica in termini di resto.
    Definizione di "o grande" (versione precisa e versione semplificata). Confronto tra "o piccolo" e "o grande".
    Definizione di parte principale di una funzione (come monomio) per x che tende a 0 o all'infinito.
33. Mar 05/11/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi elementari sull'uso delle nozioni di "o piccolo","o grande", equivalenza asintotica e parte principale.
34. Mer 06/11/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli, in compresenza con il dottor Marco Caroccia.). 
    Simulazione interattiva di prova d'esame con esercizi di combinatoria di base, limiti e convessità.
    Simulazione di prima parte (mezz'ora a disposizione):
    1a) quanti sono i numeri maggiori di 10000 che si possono scrivere con 5 cifre diverse?
    1b) usando solo le lettere A e B quante sono le parole di cinque caratteri che si possono scrivere con almeno 2 A e almeno 2 B?
    2) foglio III, esercizio 13C2P1G1E2.
    3) foglio III, esercizio 13Ex2P1G2E3.
    4) foglio III, esercizio 3 dattiloscritto pagina 5.
    Risoluzione degli esercizi.
    Simulazione di seconda parte (mezz'ora a disposizione): foglio III, esercizio 13C1provaP2E2.
35. Mer 06/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Teorema dello sviluppo di Taylor in 0 di una funzione (enunciato completo, inclusa l'unicità dello sviluppo e la formula del resto di Lagrange; dimostrazione rimandata alle lezioni seguenti).
    Calcolo dello sviluppo di e^x. Uso dello sviluppo di e^x e della formula del resto di Lagrange per calcolare il numero alla 3 cifra decimale.
    Calcolo degli sviluppi di sen(x) e cos(x); giustificazione della formula e^(it) = cos(t) + i sen(t).
36. Gio 07/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Proprietà utili degli sviluppi di Taylor: sviluppo della funzione e sviluppo della derivata, sviluppo delle funzioni pari e delle funzioni dispari.
    Calcolo dello sviluppo delle funzioni log(1+x), 1/(1+x), 1/(1-x); (1+x)^a.
    Dimostrazione del teorema sullo sviluppo di Taylor enunciato nella lezione precedente (solo per ordine d=1, 2, ed esclusa la formula del resto di Lagrange).
37. Ven 08/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Dimostrazione della formula del binomio di Newton usando lo sviluppo di Taylor di (1+x)^n.
    Esercizi sul calcolo di sviluppi di Taylor e parti principali (usando gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari).
38. Mar 12/11/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli). 
    Concavità: foglio III, esercizio 13C1provaP2E2.
    Combinatoria: percorrendo i lati di una scacchiera quanti sono i "cammini di lunghezza minima" che congiungono due vertici con differenza delle coordinate 3 e 4?
    Quante password si scrivono con 3 cifre diverse e quattro caratteri dall'alfabeto inglese di 26 lettere?
    Polinomi di Taylor e parti principali: sviluppo centrato in 1 di log x; resti di Lagrange (in 0) di 1/(1+x), di sin x, sviluppo di exp(x-x^3).
    Esercizi sul calcolo delle parti principali (per x che tende sia a 0 che all'infinito) usando gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.
    Alcuni esercizi elementari di combinatoria.
39. Mer 13/11/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi sul calcolo delle parti principali (per x che tende sia a 0 che all'infinito) usando gli sviluppi di Taylor delle funzioni elementari.
    Alcuni esercizi elementari di combinatoria. (Giovanni Alberti)
40. Mer 13/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Combinatoria e calcolo della probabilità come rapporto tra il numero di casi favorevoli su numero di casi possibili (quando lo si può fare?).
    Che probabilità c'è di indovinare un numero al lotto con una cinquina?
    Con una moneta non truccata, con che probabilità si hanno esattamente 3 teste su 4 lanci? E almeno 3 teste?
    Qual è la probabilità di estrarre 2 volte la pallina nera facendo 6 estrazioni da un'urna che contiene un pallina gialla una bianca ed una nera? E se ho due palline gialle e una nera?
    Parti principali e sviluppi di Taylor. IV foglio di esercizi: 13C1P1G1E7, 13Ex3P1G4E4.
    Confronto tra resto di Lagrange e resto esatto di 1/(1+x). Valutazione con frazioni di log(1,1) mediante il polinomio di Taylor (IV foglio pag4 manoscritto terzo punto). Altre parti principali.
41. Gio 14/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Lezione "teorica".
    Numeri interi e numeri razionali.
    Caratterizzazione dei numeri razioni come numeri con espansione decimale periodica.
    I numeri reali come numeri con espansione decimale qualunque.
    Perché sono importanti i numeri reali. Definizione di massimo (e minimo) di un insieme numerico, e poi di estremo superiore (e inferiore).
    Esempi. Completezza dei numeri reali: ogni insieme limitato superiormente e non vuoto ammette un estremo superiore (con giustificazione non del tutto rigorosa).
42. Ven 15/11/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli). 
    Combinazioni con ripetizione.
    a) In quanti modi posso distribuire 10 monete a 6 persone, una almeno ad ognuno?
    b) In quanti modi posso distribuire 10 monete a 6 persone, anche non dando nulla a qualcuno?
    Parti principali e sviluppi di Taylor.
    "Regole" utilizzate negli esercizi: se pp(A) + pp(B) non è 0 allora pp(A+B) = pp(A) + pp(B) fatte le dovute semplificazioni.
    Calcolo p.p. di log(5^x +1) per x -> infinito (due soluzioni).
    Limite di [exp(x) -1]/x elevato alla cos x/x per x che va a 0.
    Foglio IV, esercizi 13Ex3P1G4E4, 13C1P2G1E1a).
43. Mar 19/11/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
     Esercizi di combinatoria:
    1) Quanti sono i possibili risultati del lancio di due monete uguali?
    2) Quanti di due dadi diversi?
    3) Quanti quelli di due dadi uguali?
    4) Quanti sono i risultati di 10 lanci ordinati di dadi eguali?
    5) Quanti i risultati di 10 lanci di dadi egual?
    Esercizi su limiti, Taylor e parti principali:
    1) limite di x log 2x per x->0;
    2) pp di sin cos x per x->0;
    3) pp di (sin x)^2 - sin (x^2) + ... (foglio IV, esercizio 13Ex4P2G1E2).
44. Mer 20/11/2013, 09:30-10:30, lezione non tenuta per assenza del docente (recuperata in seguito).
45. Mer 20/11/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi su parti principali e sviluppi di Taylor.
46. Mer 20/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Esempi (semplici) di calcolo dei limiti. Le successioni crescenti e decrescenti hanno sempre limite.
    Teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue (con dimostrazione).
47. Gio 21/11/2013, 10:30-12:30, lezione non tenuta per sospensione didattica (prove scritte dell'esame di stato per Ingegneri) e recuperata in seguito.
48. Ven 22/11/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Esercizi di combinatoria.
    1) Quanti sono i numeri di 7 cifre maggiori di un milione che non contengono lo zero?
    2) Quante sono le parole di 7 caratteri tra quelli dell'alfabeto di 26 lettere che si scrivono con esattamente tre lettere uguali e le altre diverse anche fra di loro?
    3) Quanti sono i possibili risultati con esattamente 6 palline rosse dell'estrazione di 10 palline da un'urna che contiene 14 palline bianche e 13 palline rosse?
49. Ven 22/11/2013, 11:30-12:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
     1) parte principale di f(x) - f(a) - f'(a) (x-a) per x che tende ad a (non sempre esiste).
    1b) esempio exp(-1/x^2) per x>0 e 0 altrimenti: il suo rapporto con potenze di esponente positivo di x tende a 0 per x->0. Quindi NON ha parte principale. Quindi i suoi polinomi di Taylor son tutti nulli.
    2) Parte principale di exp (x^2) - cos (x^2).
    3) Parte principale 1 / [1+ log(1+x)] -1 per x->0.
    4a) Provare che x^5 -x^3 +3x è iniettiva e suriettiva.
    4b) Per quali a x^5 -a x^3 +3a è iniettiva? E per quali è convessa?
    4c) Calcolo della parte principale dell'inversa per y -> +infinito della funzione al punto precedente.
50. Mar 26/11/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
     Risoluzione degli esercizi della prima prova in itinere.
    I parte, gruppo 1, esercizi dall'1 all'8; I parte, gruppo 3, esercizi dall'1 all'8; II parte, gruppo 3, esercizi 1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b.
51. Mer 27/11/2013, 09:30-11:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Teorema di Cauchy, dimostrato a partire dal teorema di Lagrange.
    Dimostrazione della formula del resto di Lagrange nello sviluppo di Taylor usando il teorema di Cauchy (per d=1 e 2).
    Definizione di integrale definito di una funzione positiva in termini di area del sotto-grafico. Definizione di integrale definito di una funzione a segno variabile.
    Altri esempi di integrale definito: lo spazio percorso da un punto come integrale della velocità, il lavoro di una forza non costante (lungo un cammino rettilineo).
    Calcolo dell'integrale definito di una funzione continua per approssimazione con somme finite. Calcolo dell'integrale di x^2 tra 0 e 1 per approssimazione.
52. Mer 27/11/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Definizione di primitiva di una funzione, teorema fondamentale del calcolo integrale e calcolo effettivo degli integrali definiti, con esempi.
    Calcolo delle primitive tramite lista delle primitive delle funzioni elementari e alcune "regole": linearità dell'integrale, formula di integrazione per parti, formula di cambio di variabile.
    Esempi di applicazione delle varie formule.
53. Gio 28/11/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Dimostrazione delle regole di integrazione enunciate nella lezione precedente.
54. Gio 28/11/2013, 11:30-13:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Esercizi sul calcolo delle primitive e degli integrali.
55. Ven 29/11/2013, 10:30-12:30, lezione non tenuta per sospensione didattica.
56. Mar 03/12/2013, 08:30-10:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Calcolo di integrali e primitive (fogli V e VI).
    Per parti, per sostituzione con binomi di primo grado, per sostituzione, integrali di funzioni razionali semplici.
    Foglio V: esercizi 13C2P1G1E3, 13C2P1G1E4, 13Ex2P1G1E4, variazione 13Ex1P1G1E5.
    Primitiva di 1/(3x^2 -2), primitiva di log x, primitiva di 1/x su due semirette.
    Le potenze delle funzioni trigonometriche si possono esprimere come somme di multipli di funzioni trigonometriche con frequenze intere: richiamo della notazione esponenziale per i numeri complessi.
    Primitiva nulla in 0 di radice di (1-x^2) come esempio di sostituzione "indiretta"; confronto del risultato con quello ottenuto con metodi elementari.
57. Mer 04/12/2013, 09:30-11:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Formule per l'area di una figura piana come integrale della lunghezza delle sezioni (con giustificazione euristica).
    Esempi di calcolo di aree.
    Formula per il volume di una figura solida come integrale delle aree delle sezioni (con giustificazione euristica).
    Formule per il volume dei solidi di rotazione (cioè dei solidi ottenuti dalla rotazione del grafico di una funzione y=f(x) attorno all'asse delle x oppure attorno all'asse delle y) ottenute a partire dal risultato precedente.
    Esempi: il volume della sfera e del cono.
58. Mer 04/12/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Integrali impropri semplici. Motivazione (dal calcolo delle aree), definizione precisa come limite, e possibili comportamenti. Esempi di integrali impropri semplici.
    Esempi fondamentali: integrale da 1 a infinito di 1/x^a; integrale da 0 a 1 di 1/x^a.
    Cosa si può dire su un integrale improprio semplice senza calcolare la primitiva della funzione integranda? a) il comportamento dell'integrale improprio non dipende dal valore dell'estremo in cui non è improprio; b) l'integrale improprio di una funzione positiva esiste sempre (con dimostrazione).
    Altre proprietà verranno date nella lezione successiva.
59. Gio 05/12/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Riprendiamo la teoria degli integrali impropri: principio del confronto e del confronto asintotico (in versione completa e semplificata).
    Studio di alcuni integrali impropri usando i criteri appena enunciati e i risultati sugli integrali impropri fondamentali.
60. Gio 05/12/2013, 11:30-13:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Integrazione mediante primitive (fogli V e VI) e integrali (di funzioni) razionali. Integrali razionali notevoli, esempi primitive per reciproci di polinomi di grado 2 e 3: 1 / (x^3 -x^2-4); 1 / (x^2+x+1); 1 / (x^2 -1); 1 / (Ax^2 +Bx+C) con discriminante negativo.
    Gli integrali di funzioni razionali di e^x si riconducono ad integrali razionali.
    Calcolo delle aree: area dell'insieme dei punti (x,y) con 1 <|y|< e^x< e; con arctan|x| < y< 1.
    Esempi di integrazione per parti: calcolo delle primitive di e^(3x) sin x; e^(ax) sin bx; x 5^x.
61. Ven 06/12/2013, 10:30-11:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esempi di calcolo di integrali impropri.
62. Ven 06/12/2013, 11:30-12:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Integrali impropri di funzioni a segno variabile: il criterio della convergenza assoluta (con dimostrazione parziale).
    Serie numeriche (somme di infiniti numeri): definizione come limite delle somme parziali e possibili comportamenti.
    Esempio fondamentale: somma di x^n con x numero reale assegnato (serie geometrica).
63. Mar 10/12/2013, 08:30-10:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Enunciamo e dimostriamo alcuni risultati fondamentali per lo studio del comportamento delle serie numeriche:
    a) una serie a termini positivi (o definitivamente positivi) esiste sempre;
    b) criterio dell'integrale per serie numeriche a termini positivi;
    c) criterio del confronto e del confronto asintotico.
    Esempio fondamentale: comportamento della serie di 1/n^a con a numero reale positivo (per confronto con l'integrale).
64. Mer 11/12/2013, 09:30-11:30 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Calcolo di aree, volumi di rotazione, integrali impropri.
    Area dell'insieme dei punti (x,y) t.c. 1< xy<2 e 0<2x.
    Volume dell'insieme degli (x,y,z) tali che x^2+y^2 < (sin z)^2 e 0 < pi (traduzione a parole: volume del solido di rotazione attorno all'asse x del grafico di sin x con x tra 0 e pi).
    Esistenza e finitezza di integrali impropri: integrale di 1/x tra -1 e 1; di 1/x^2 tra -1 e 1; di tan x tra pi/2 e -pi/2; di 1 / (radice quadrata di |x^2 -1|) tra 0 e +infinito; di 1/log x tra 0 e 1.
65. Mer 11/12/2013, 14:30-16:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi sulle serie.
66. Gio 12/12/2013, 10:30-12:15 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Integrali impropri e serie. integrale di 1/(log x) su ]1;2[ e su [2;+infinito[; int. di pi/2 -arctan x su [0;+infinito[; int. di 1/(1-x^a) su [0;1[; int. 1/[x^a|log x|^b] su [2;+infinito[; int. 2^{ radice di x-1}/[ rad.x (4^{rad.x} -1)] su [0;+infinito[; serie di 1/(radice di n) - 1/n^2; serie di (1+1/n)^n; serie di (1+1/n)^(-n^2).
    Parti principali, confronto e confronto asintotico per serie e integrali impropri.
    Serie con addendi a termini positivi come aree di funzioni "a scala" con gradini di base 1.
    Esempio di una funzione non negativa con integrale finito sulla retta ma non infinitesima (rettangoli con basi di cui la serie delle lunghezze è finita).
67. Gio 12/12/2013, 12:30-13:15 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli, in compresenza con il dottor Marco Caroccia).
    Simulazione assistita della prima parte di una prova scritta su integrazione, integrali impropri, serie:
    1) calcolare l'integrale di 5^x sin x su [0;1].
    2) primitiva di 1/(t^2-1) che vale 0 per t=2.
    3) Dire se è finito il volume di rotazione attorno all'asse y di (x,y): 0< y<1/x e 0<1.
    4) Per quali a converge la serie di sin(a/n) -1/n?
    Risoluzione degli esercizi assegnati.
68. Ven 13/12/2013, 10:30-12:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Ultime osservazioni sulle serie:
    a) serie di numeri a segno variabile e criterio della convergenza assoluta;
    b) serie di Taylor, le serie di Taylor delle funzioni e^x, sen(x), cos(x) convergono ovunque (senza dimostrazione).
    Inizio della teoria delle equazioni differenziali.
    Esempio: trovare la legge oraria di un corpo in caduta libera a partire dalle leggi fisiche elementari (forza di gravità costante, forza di gravità costante più resistenza dell'aria, forza di gravità non costante).
    Il ruolo delle condizioni iniziali nella determinazione delle soluzioni.
69. Mar 17/12/2013, 08:30-09:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Fatti generali sulle equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali del primo ordine lineari: risoluzione tramite fattore integrante.
    Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: calcolo delle eventuali soluzioni costanti e delle soluzioni non costanti.
70. Mar 17/12/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine, lineari e a variabili separabili.
71. Mer 18/12/2013, 09:30-10:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Integrali impropri e serie (fogli VII, VIII).
    Singolarità in punti diversi da 0.
    Integrali impropri per le serie: serie di n^a exp(-n) e integrale su [1;+infinito[ di x^a exp(-x); serie di n^a exp(- radice di n).
    Criteri di confronto: integrale su [1;+infinito[ di (log x)^a/ x^2; integrale su [2;+infinito[ di (x^3+1)/(x^a+3); serie di (n^3+1)/(n^a+3); integrale su [0; pigreco/2[ di 1 / [(tan x)^4-1].
    Serie con termini di segno variabile e assoluta integrabilità.
72. Mer 18/12/2013, 10:45-11:30 (1 ora), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
     Prime equazioni differenziali. Calcolo delle primitive: x'(t) = 1/t , x(-1)=2:la condizione iniziale determina la costante. Equazioni lineari del primo ordine omogenee, quadratura e formula risolutiva: x' = -sin(t) x, x(0)=2 (anche come equazione a variabili separabili).
    Lineari del primo ordine non omogenee: x' = -sin(t) x + exp(cos(t)), x(0)=2.
    Equazioni lineari del primo ordine: risoluzione per linearità: 1) ricerca soluzioni equazione omogenea e 2) ricerca di una soluzione particolare z. Per 2): tentativi o metodo della variazione delle costanti: z del tipo g x con x soluzione dell'omogenea.
73. Mer 18/12/2013, 14:30-16:30 (2 ore), lezione (Giovanni Alberti).
    Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Classificazione (omogenee e non, a coefficienti costanti e non). Risultato fondamentale: le soluzioni di un'equazione lineare omogenea del secondo ordine formano uno spazio vettoriale di dimensione due: ne segue che due soluzioni linearmente indipendenti permettono di trovare tutte le altre.
    Soluzione generale delle equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee e a coefficienti costanti a partire dalle soluzioni dell'equazione caratteristica (con giustificazione delle formule date).
    Alcuni esempi.
74. Gio 19/12/2013, 10:30-11:30 (1 ora), lezione (Giovanni Alberti).
    Equazioni del secondo ordine lineari e non omogenee: la soluzione generale la si ottiene sommando la soluzione generale dell'equazione omogenea ed una soluzione particolare dell'equazione di partenza (con dimostrazione).
    "Ricettario" per la ricerca delle soluzioni particolare di equazioni a coefficienti costanti con termini noti di tipo particolare (senza dimostrazioni).
75. Gio 19/12/2013, 11:30-13:15 (2 ore), esercitazione (Vincenzo Maria Tortorelli).
    Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: x"-x = sin t; x"-x = sin t + exp(2t); x"-x = sin t + exp(2t) +2 exp(-t).
    Problema di Cauchy con condizioni x(0)=x(1)=0.
    Problema con condizioni all'infinito.
    Equazioni differenziali a variabili separabili: x'= sin(t) exp(x) e x(pi)=0; x' = 1/x; x' = cos(t)/2x e x(0)=2; x' = x^2 e x(3)=1.
76. Ven 20/12/2013, 10:30-12:30 (2 ore), esercitazione (Giovanni Alberti).
    Esercizi sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo e anche del primo ordine. Esempio importante: l'equazione del pendolo (smorzato e non) e il fenomeno della risonanza.