Harmonic maps and existence of two-dimensional minimal surfaces with prescribed boundary - the theorem of Douglas and Rado.
Inner and outer variation of the Dirichlet energy funcitonal.
Monotonicity formula for energy-minimizing maps.
Regularity of area-minimizing harmonic maps with two-dimensional domains.
Examples of area-minimizing harmonic maps with singularities in zero.
Federer's dimension reduction principle for energy-minimizing maps - estimate on the dimension of the singular set.
Existence and non-existence of homogeneous energy-minimizing maps - the role of the curvature of the co-domain.
Energy-minimizing maps with values in singular negatively curved spaces. Segregation and optimal partition problems.
Lipschitz regularity, Almgren's frequency function, and structure of the nodal sets.
Lezione 1 (G.B.) - martedì 04/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Formulazione del problema di Plateau alla Douglas-Radò,
funzionale di Dirichlet invariate per trasformazioni conformi,
Teorema di Courant-Lebesgue, trasformazioni di Mobius.
Lezione 2 (G.B.) - martedì 11/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Teorema di compattezza sul bordo del disco,
applicazione del metodo diretto per minimizzare il funzionale di Dirichlet,
conformità della soluzione.
Considerazioni finali sulla regolarità e possibili estensioni.
Lezione 3 (G.B.) - mercoledì 12/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Introduzione alle mappe armoniche tra varietà Riemanniane,
approccio intrinseco per definire il funzionale di Dirichlet,
approccio estrinseco per studiare la regolarità. Esistenza del minimo,
variazione interna e formula di monotonia.
Lezione 4 (G.B.) - martedì 18/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Variazione esterna, definizione della nearest point projection map con le sue proprietà.
Classificazione delle mappe armoniche: minimizzanti, stazionarie e debolmente armoniche.
Lezione 5 (G.B.) - mercoledì 19/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
La mappa x/|x| ha energia infinita in dimensione 2.
In dimensione 2 non ci sono singolarità.
Inizio dimostrazione della regolarità in dimensione 2 - se u è energy minimizing map,
allora u è C0,a per qualche a < 1/2.
Lezione 6 (G.B.) - martedì 25/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Continuazione dimostrazione della regolarità in dimensione 2:
se u è energy minimizing map, allora u è C0, a per ogni a minore di 1.
Lezione 7 (G.B.) - mercoledì 26/03/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
Conclusione dimostrazione della regolarità in dimensione 2:
se u è energy minimizing map e u è C0,a(B1) per ogni a minore di 1,
allora u è C1,b(B1/2) per qualche b minore di 1.
Enunciato del teorema di epsilon-regolarità in dimensione m maggiore o uguale a 3
e differenze con dimensione 2. Se la varietà target è una curva liscia,
ogni mappa u energy-minimizing è regolare per ogni dimensione m.
Lezione 8 (G.B.) - martedì 01/04/2025, dalle 16:00 alle 18:00.
La funzione x/|x| è una energy-minimizing map in ogni dimensione m \geq 3.
Uso delle mappe armoniche in problemi di cristalli liquidi
e derivazione della "one-constant approximation" per l'energia di Onseen-Frank.
Mappe armoniche come limite di soluzioni del problema di Ginzbug-Landau
quando il parametro \eps \to 0.