PREREQUISITI. Conoscenza dell'algebra elementare: calcolo letterale, scoposizione in fattori, prodotti notevoli. Risoluzioni di equazioni e disequazioni di primo, di secondo grado e disequazioni fratte. Risoluzione di sistemi di equazioni. Risoluzione di equazioni e di disequazioni irrazionali. Risoluzione di equazioni e di disequazioni con valori assoluti. Esponenziali e logaritmi: conoscenza delle loro proprieta'. Risoluzione di equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi. Conoscenza della trigonometria, in particolare delle loro proprieta' e delle formule riguardanti le funzioni trigonometriche. Risoluzione di equazioni e disequazioni trigonometriche.
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 1 (Definitivo) Vocabolario di logica e di teoria degli insiemi. Connettivi logici e loro proprieta' (commutativita', associativita', leggi di De Morgan). I quantificatori. Negazione di una proposizione. Le dimostrazioni per assurdo. Il principio di induzione. Il simbolo di sommatoria e sue proprieta'. Fattoriali, coefficienti binomiali e relative proprieta'. Dimostrazione della formula di Newton per il calcolo della potenza ennesima di un binomio. I numeri reali. Proprieta' dei naturali, degli interi e dei razionali. Dimostrazione dell'irrazionalita' di radice di 2. Gli assiomi dei reali: assiomi algebrici e di ordinamento, l'assioma di Dedekind e di Archimede. Il valore assoluto e sue proprieta'. Dimostrazione della diseguaglianza triangolare. Definizione di insieme limitato superiormente, inferiormente e di insieme limitato. Definizione di maggiorante, di minorante, di massimo e di minimo. Proprieta' degli insiemi limitati. Insiemi finiti e cardinalita'. Definizione di estremo inferiore e superiore. Dimostrazione del teorema dell'esistenza dell'estremo superiore o inferiore per sottoinsiemi di numeri reali. Dimostrazione della proprieta' caratterizzante l'estremo superiore ed inferiore. Verifica di alcune proprieta' riguardanti l'estremo superiore ed inferiore. Generalita' sulle funzioni. Definizione di funzione, di immagine di funzione, funzione surgettiva, iniettiva, biunivoca, monotona, invertibile. Grafico di una funzione. Relazione tra il grafico di una funzione e della sua inversa. Numenclatura relativa alle funzioni limitate: massimi, minimi, estremo superiore ed inferiore. LE FUNZIONI CONTINUE. Definizione di funzione continua in un punto e su di un insieme. Definizione di funzione uniformemente continua e lipschitziana. Teorema di Heine-Cantor. Dimostrazione del teorema sulle proprieta' algebriche e sul prodotto di composizione delle funzioni continue. Teorema della permanenza del segno (dim.). Teorema sull'inversa di una funzione continua. Teorema dell'esistenza degli zeri (dim.). Teorema sui valori intermedi per funzioni continue (dim.). Teorema sull'immagine di un intervallo mediante funzione continua (dim.). Una funzione continua su di un intervallo e' invertibile se e solo se e' monotona. Il teorema di Weierstrass. Dimostrazione della continuita' delle principali funzioni: polinomi, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse. I LIMITI DI FUNZIONI. Briciole di topologia: gli intorni ed i punti di accumulazione. Definizione di intorno destro e sinistro Definizione di limite. Definizione di limite destro e sinistro. Relazione tra la convergenza di una funzione ed il limite destro e sinistro. Una funzione convergente e' limitata (dim). I teoremi sui limiti della somma, del prodotto e del rapporto. I casi di indeterminazione. Caratterizzazione della continuita' di una funzione mediante il limite. Teorema della permanenza del segno per i limiti. Teorema del confronto per i limiti. Dimostrazione del teorema dei carabinieri. Teorema sui limiti di funzioni composte. Dimostrazione del teorema sui limiti di funzioni monotone. Dimostrazione del limite notevole di sin x. Limiti notevoli di potenze ed esponenziali. Definizione di limite di successione. Teoremi sui limiti di successioni. Definizione di sottosuccessione o successione estratta. Relazione tra limite di successione e di sottosuccessione. Teorema ponte. Alcuni limiti notevoli di successioni. Studio di successioni definite per ricorrenza. Definizione del simbolo di Landau. Algebra degli o-piccoli. Dimostrazione del principio di sostituzione degli infinitesimi. Sviluppi elementari delle funzioni notevoli. Calcolo di limite con gli o-piccoli. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE Definizione di differenziale e di derivata. Dimostrazione dell'equivalenza tra le due definizioni. Dimostrazione della continuita' di una funzione derivabile. Operazioni algebriche con le derivate. Dimostrazione della formula per la derivata di una somma e di un prodotto di funzioni. Derivata di una funzione composta e della funzione inversa. Significato geometrico della derivata. Derivate delle funzioni notevoli. Una funzione monotona ha la derivata prima di segno costante (dim.) Definizione di punti di massimo o minimo relativo. Dimostrazione del teorema di Fermat. Dimostrazione dei teoremi di Rolle e di Lagrange. Dimostrazione del corollario sulle funzioni con derivata prima nulla in un intervallo. Definizione di primitiva. Due primitive di una stessa funzione su di un intervallo differiscono per una costante (dim). Dimostrazione del teorema sulle funzioni con derivata prima di segno costante. Teorema sulla condizione relativa al segno della derivata prima in un intorno di un punto stazionario perche' quasto sia di massimo o di minimo relativo. Teorema sul segno della derivata seconda nei punti stazionari per avere massimi o minimi relativi. Definizione di figura convessa. Definizione di funzione convessa. Relazioni tra la convessita', la derivata prima e il segno della derivata seconda. Relazione tra una funzione convessa e la retta tangente al suo grafico. Formule per il calcolo degli asintoti obliqui. Enunciato del teorema dell'Hospita. Dimostrazione del criterio di derivabilita'. Le formule di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. CALCOLO INTEGRALE Definizione di integrale di una funzione continua. Proprieta' degli integrali: linearita', assoluta continuita', monotonia, scomposizione del dominio. Le funzioni integrali, gli integrali definiti e relative proprieta'. Dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale e del Teorema di Torricelli. Definizione di integrale improprio su di un intervallo e su una semiretta. Dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni diferenziali del primo ordine. Dimostrazione della formula per il cambio di variabile negli integrali. Dimostrazione della formula di integrazione per parti. Integrali di funzioni razionali. Integrali di funzioni irrazionali con particolare riguardo quelli di radici di polinomi di primo grado. SERIE NUMERICHE Definizione di serie convergente, divergente e indeterminata. Dimostrazione della condizione necessaria par la convergenza di una serie. Criterio integrale. Dimostrazione del criterio del confronto pe serie a termini di segno costante. Il criterio del limite (o del confronto asintotico). Criteri della radice ennesima, del rapporto e di Leibniz. Definizione di serie assolutamente convergente e criterio della convergenza assoluta.