(TEORIA ED ESERCITAZIONI)
25/9/2004 Cenni di logica e teoria degli insiemi: connettivi logici, quantificatori,
dimostrazioni per assurdo, negazione di una proposizione.
Operazioni con gli insiemi.
4/9/2004 Funzioni: definizione, dominio, campo di esistenza, immagine, iniettivita', invertibilita'.
Le funzioni valore assoluto, segno di x, parte intera. Equazioni e disequazioni con il valore
assoluto.
29/9/2004 Presentazione del corso.
L'insieme dei razionali come corpo ordinato; sua densita' sulla retta cartesiana. Esistenza di grandezze
non commensurabili, cioe' le cui misure non stanno tra loro in un rapporto razionale (esempio: il lato e
le diagonali di un quadrato). La distribuzione dei razionali sulla retta lascia scoperto un insieme denso
di punti. Insieme limitati e non limitati, massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore.
L'assioma di continuita' dei numeri reali. L'insieme R e' un corpo ordinato continuo (completo).
1/10/2004 Classi contigue; due classi contigue hanno uno ed un solo elemento di separazione. Ogni numero reale e'
l'elemento di separazione di due classi contigue di numeri decimali. Rappresentazione decimale dei reali:
il caso finito, quello periodico, quello infinito non periodico. Distanza tra numeri reali.
4/10/2004 Funzioni: definizione, dominio, campo di essitenza, immagine, iniettivita', invertibilita'. Esempi:
le funzioni valore assoluto, segno, parte intera. Equazioni e disequazioni con il valore assoluto.
6/10/2004 Lezioni sospese.
8/10/2004 Principio di induzione. Definizioni ricorsive, in particolare successioni definite per ricorrenza.
Il fattoriale di un numero naturale. Formula del binomio di Newton, coefficienti binomiali, triangolo
di Tartaglia (o di Pascal).
11/10/2004 Funzioni monotone. Prodotto di composizione tra funzioni. Relazione tra il grafico di una funzione e
quello della sua inversa.
13/10/2004 Intorno di un punto sulla retta reale. Punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi aperti e chiusi.
Retta reale estesa. Intorni di infinito. Punti di accumulazione. Esempi.
Definizione generale di limite per una funzione reale di variabile reale. Il limite puo' non esistere;
se esiste e' unico. Limite reale per x che tende ad un numero reale; interpretazione geometrica ed
algebrica. Le funzioni continue in un punto. Le funzioni elementari: loro continuita' in ogni punto
del campo di esistenza.
15/10/2004 Limite infinito per x che tende ad un numero reale. Interpretazione geometrica ed algebrica. Asintoti
verticali. Limite destro e sinistro. Limite finito all'infinito. Interpretazione geometrica ed algebrica.
Asintoti orizzontali. Limite per eccesso o per difetto. Limite infinito all'infinito.
Interpretazione geometrica ed algebrica. Esempi ed esercizi di riepilogo. Primi teoremi sui limiti:
unicita', permanenza del segno (con esempio di applicazione), passaggio al limite in una diseguaglianza,
confronto (con esempio di applicazione); le funzioni che compiono infinite oscillazioni nell'intorno di
un punto, restrizioni.
18/10/2004 Interruzione delle lezioni per protesta contro la proposta di Riforma dell'Universita' del ministro Moratti.
20/10/2004 Interruzione delle lezioni per protesta contro la proposta di Riforma dell'Universita' del ministro Moratti.
22/10/2004 Interruzione delle lezioni per protesta contro la proposta di Riforma dell'Universita' del ministro Moratti.
25/10/2004 La funzione esponenziale: proprieta'. Equazioni e disequazioni con esponenziali.
La funzione logaritmo: proprieta'. Equazioni e disequazioni con i logaritmi.
26/10/2004 Operazioni con i limiti reali e con i limiti infiniti. Forme indeterminate. Cambiamento di variabile nel calcolo di
un limite. Limiti notevoli. Esercizi di riepilogo.
27/10/2004 Infinitesimi ed infiniti. Principio di sostituzione. Esercizi di riepilogo.
28/10/2004 Richiami di trigonometria. Le funzioni trigonometriche, loro grafici e proprieta'. Limiti notevoli con le funzioni trigonometriche.
Funzioni inverse: arcsin, arcos, arctan.
29/10/2004 Ancora sul principio di sostituzione: formalizzazione dei risultati ed esercizi di riepilogo. Continuita' delle funzioni
elementari. Punti di discontinuita'.
3/11/2004 Derivata di una funzione in un punto. Retta tangente. Funzione derivata; derivate di ordine superiore. Le funzioni derivabili
sono continue; non vale il viceversa. Esempi di punti di non derivabilita': punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale.
Differenziabilita' di una funzione derivabile.
4/11/2004 Equazioni e disequazioni trigonometriche. Limiti di successioni: definizione ed esempi.
5/11/2004 Esempi di calcolo delle derivate attraverso la definizione. Regole di derivazione: somma, prodotto per un numero,
prodotto, rapporto, composizione inversa. Esercizi di riepilogo.
8/11/2004 Limiti di successioni: limiti notevoli. Teorema sul limite delle successioni monotone.
Il numero e: proprieta' della succesione che lo definisce.
Studio delle successioni definite per ricorrenza.
10/11/2004 Derivata delle funzioni trigonometriche inverse. Teorema di Fermat, studio dei massimi e minimi relativi ed assoluti di una
funzione. Esercizi di ricapitolazione.
12/11/2004 Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Applicazione del teorema di Lagrange allo studio della monotonia di una funzione.
Derivata seconda e convessita' di una funzione.
15/11/2004 Lezioni sospese per i compitini
17/11/2004 Lezioni sospese per i compitini
19/11/2004 Formula di Taylor con resto di Peano: applicazioni al calcolo dei limiti ed allo studio del comportamento locale di una funzione.
Cenni sul resto di Lagrange. Approssimazione del numero di Nepero.
22/11/2004 Funzioni continue: teorema di Weierstrass (dim.); teo. degli zeri, teorema dei valori intermedi (di Darboux) (dim.), primo e secondo
teorema dei valori intermedi (dim.), teo. sulle funzioni monotone, continuita' dell'inversa.
Esempi di applicazioni dei teoremi sulle funzioni continue allo studio dell'esistenza di soluzioni di equazioni algebriche.
24/11/2004 Ancora sulla formula di Taylor: applicazione allo studio di limiti ed alla ricerca di punti di massimo e di minimo locale o di flesso.
Cenno sul resto di Lagrange.
26/11/2004 Integrale definito come insieme delle primitive di una assegnata funzione. Le primitive di una funzione su di un intervallo
differiscono per una costante. Non tutte le funzioni ammettono primitive. Integrali immediati. Integrali per parti e per sostituzione.
29/11/2004 Applicazione dei teoremi sulle funzioni continue al calcolo delle radici di un'equazione: studio dell'esistenza delle soluzioni,
calcolo delle radici con il metodo delle Tangenti e delle Corde.
Il corpo dei numeri complessi (prime proprieta').
1/12/2004 Cambiamento di variabile nel calcolo di un integrale. Vari esempi. Integrale di una funzione razionale con il metodo di scomposizione
di Hermite. Cambiamenti di variabile razionalizzanti, in particolare nel caso di funzioni trigonometriche o radici di polinomi di
secondo grado.
3/12/2004 Esercizi di riepilogo sul calcolo integrale. Teoria di Riemann per gli integrali definiti. Definizione di integrabilita' di una funzione,
e della misura di un trapezoide. Non tutte le funzioni limitate sono integrabili. L'area dei rettangoli, dei triangoli, dei poligoni nella
teoria integrale coincide con quella elementare. Integrabilita' delle funzioni continue e generalmente continue (senza dimostrazione).
6/12/2004 Il corpo dei numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Formula della radice ennesima di un numero
complesso (Dim.). Esempi di calcolo con i numeri complessi.
Il teorema fondamentale dell'Algebra. Scomposizione di un polinomio.
10/12/2004 Proprieta' dell'integrale (in particolare teorema della media integrale). Teorema fondamentale del calcolo integrale, caso generale e caso
delle funzioni continue (Teorema di Torricelli). Esercizi di riepilogo.
13/12/2004 Serie numeriche. Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata. La serie geometrica e la serie armonica. Criterio del 2^k.
Condizione necessaria per la convergenza di una serie (dim.). Serie a termini di segno costante: criterio del confronto (dim.),
criterio della radice n-esima, criterio del rapporto, criterio del limite.
Criterio per le serie a termini di segno alterno. Definizione di serie assolutamente convergente. Criterio della convergenza assoluta.
15/12/2004 Integrali impropri: definizioni ed esercizi di calcolo; cenno sui criteri di integrabilita'.
Equazioni diffferenziali lineari del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: metodo del polinomio caratteristico per la risoluzione
dell'equazione omogenea.
17/12/2004 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: metodo dei coefficienti indeterminati per la ricerca di
una soluzione particolare dell'equazione completa.
Cenni sulle equazioni a variabili separate.
20/12/2004 Secondo compitino - ore 11-13 - aula A