"MATEMATICA" - A.A. 1999/2000 
Scritto del 12/2/2000 - Soluzioni

1(a).	La funzione integranda e' continua sui reali e il suo modulo decade come 
	1/x^2, che e' integrabile.

1(b).	Si applica la teoria dei residui. Per b>0,c>0 si integra su [-R,R] e sulla
	semicirconferenza di raggio R nel semipiano inferiore. Nel semidisco limitato
	non ci sono poli, dunque l'integrale fa 0. Similmente per b<0,c<0.

1(c).	Nel semipiano superiore c'e' il polo i/b. Calcolando il residuo si trova 
	l'integrale: 2*pi/(c-b).

1(d).	1/(x-i)=x/(1+x^2)+i/(1+x^2). La parte immaginaria converge. Quella reale non converge
	in senso ordinario, ma la sua parte principale converge e fa 0.

1(e).	Si integra -cos(x)/(1+x^2), parte reale di e^(ix)/(1+x^2). A quest'ultimo si applica
	la teoria dei residui, trovando -pi/e. La convergenza e' ordinaria per (a).

1(f).   Si integra i*cos(x)/(x-i)=i*x*cos(x)/(1+x^2)-cos(x)/(1+x^2). La parte immaginaria ha integrale
	non convergente, ma nullo nel senso della parte principale. La parte reale e'
	stata calcolata in (e).



2(a).	Usando coordinate cilindriche (r,theta,z) la prima forma risulta dtheta, dunque
	e' sempre chiusa. Similmente lo e' la terza dz. La seconda ha differenziale
	2xy(x^2+y^2)^(-2)dxdy. Dunque per la chiusura deve essere k=1 o k=-1.

2(b).   Sulla prima curva l'integrale fa 1 (contribuisce solo l'ultima forma).
	Sulla seconda fa (1-k^2)log(2) (contribuisce solo la seconda).
	Sulla terza fa 2k*pi (contribuisce solo la prima).
	Sulla quarta fa 2k*pi+e^(6pi)-1 (contribuiscono la prima e la terza).

2(c).   Deve essere chiusa (dunque |k|=1) e l'integrale sulle curve chiuse deve fare 0
	(dunque k=0). Percio': mai.