"MATEMATICA" - Ingegneria delle Telecomunicazioni - A.A. 1999/2000 
Scritto del 8/1/2000 - Soluzioni sintetiche


1a. Vero: applicazione diretta del teorema di Cauchy-Goursat.

1b. Falso: f(z)=1/z.

1c. Vero: f(z)=2+z.

1d. Siccome sono limitate, la singolarita' in 0 e' eliminabile. Sono dunque
    limitate su tutto C, quindi sono costanti.
    
1e. Vero. L'esponenziale e' surgettiva dal semipiano al piano meno l'origine.
    Quindi basta prendere exp composta f, dove f manda il disco sul semipiano.
    
    

2a. In ogni punto l'equazione soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza
    e unicita' locale. Inoltre ha le soluzioni stazionarie x=0 e x=2. Siccome
    l'equazione ha ordine 1, due soluzioni distinte non si toccano mai.
    Si deduce che la soluzione del problema e' sempre compresa tra 0 e 2,
    dunque esiste su tutta la retta.
    
2b. Dove esiste la soluzione e' maggiore di 2. Dunque cresce. Ma allora
    tra -infinito e 0 e' compresa tra 2 e lambda, quindi esiste, ed esiste
    anche almeno per un pochino a destra di 0.

2c. Analogamente: cresce, dunque tra 0 e infinito e' compresa tra lambda
    e 0, pertanto esiste, e si estende anche a sinistra di 0.

2d. L'equazione e' a variabili separabili, e si risolve esplicitamente
    esprimendo 1/(x(x-2)) in termini di 1/x e 1/(x-2). La soluzione
    decresce come e^(-2t), dunque la trasformata esiste per Re(z)>-2.