MATEMATICA - Soluzioni del Quiz del 27/5/00

1) V Chiaramente il primo integrale e' nullo. Il secondo lo e' perche' la
somma dei residui di 1/(z^2+4) nelle singolarita' (2i e -2i) contenute in
Delta_3 e' zero.

2) F Basta scegliere a_0>0 tale che (a_0 -1)^2>a_0 (ad esempio a_0=3). In
tal caso per ogni n varra' a_n<(a_n -1)^2= a_(n+1). E' facile verificare
che tale successione non e' superiormente limitata.

3) F Un autovalore della matrice del sistema e' 1. La soluzione che passa
per l'autovettore corrispondente tende quindi a infinito (esplicitamente
una di queste soluzioni e' (e^t,-e^t)).

4) V La funzione f(z) - f(z_0) e' nulla su una retta, che non e' un
insieme di punti isolati, dunque e' sempre nulla

5) V Il determinante della Jacobiana dell'applicazione in (0,0) e' 1.

6) V Si puo' stimare l'integrale che definisce F tramite quello che
definisce G: se il secondo esiste anche il primo esiste.

7) b Usando la formula di Cauchy per la derivata prima si puo' stimare
|f'(0)|. Tale formula nel nostro caso e' 
	f'(0)=1/(2i*pi) * integrale(f(z)/z^2 dz) 
dove l'integrale e' sul bordo del cerchio di centro 0 e raggio 2. Possiamo
stimare |f(z)/z^2|<=1 (perche' su tale bordo |z|=2).  La lunghezza della
circonferenza e' 4pi quindi f'(0) e' al piu' 2.

8) c L'equazione e' a variabili separabili. La soluzione cercata e'
x(t)=sqrt(t^2 +1).

9) a L'integrale cercato e' uguale all'integrale fra -infinito e +infinito
di exp(iz)/(1+z^2) dz che e' uguale a 2i*pi*(somma dei residui con Im>0).

10) d Basta integrare la forma ydx sulla curva data. Si ottiene 
l'integrale integrale di (1-cos(t))^2 fra 0 e 2pi.

11) b La curva cercata e' parametrizzabile cosi': 
(sin(t),1-cos(t),cos(t)), con t in [0,2pi]. Basta quindi cercare 
il massimo della funzione 1+sin(t)-cos(t) su tale intervallo. 

12) b All'interno dei lati della spezzata, f e' C^infinito quindi S'
converge alla derivata della f. Nei punti di "spezzamento" pero', la
derivata prima di f ha dei salti e quindi S' in totale converge solo
puntualmente. La S converge invece uniformemente.