"MATEMATICA" (A.A. 1999/2000) Argomenti delle lezioni svolte L01(01) Completezza e compattezza nei numeri reali. Numeri complessi. Funzioni continue. (5/10/99) L02(02) Derivazione parziale. Punti critici e stazionari. Integrazione. Integrabilità tra 0 e 1 delle potenze negative di x. Integrazione in più variabili. (5/10/99) L03(03) Integrazione successiva. Formule di cambio di variabile (una e più dimensioni). Integrazione sul disco in dimensione 2 e 3 delle potenze negative di |x|. (6/10/99) L04(04) Spazi vettoriali. Funzioni continue e a quadrato sommabile. Diagonalizzabilità. Prodotti scalari e hermitiani. Teorema spettrale. Condizioni per la (semi-)definizione di una forma. Matrice hessiana in un punto critico: condizioni per la stazionarietà. (6/10/99) E01(05) Completezza e compattezza nei numeri reali. (6/10/99) E02(06) Limiti di successioni. (6/10/99) E03(07) Primitive di funzioni periodiche. Disuguaglianza di Hoelder. (7/10/99) L05(08) Lunghezza di una curva. Integrale di una funzione scalare lungo una curva. Integrale di una forma differenziale lungo una curva. Invarianza per cambiamento di parametro. (7/10/99) =========================================================================== L06(09) Curva inversa. Curve chiuse e semplici. Verso di percorrenza di una curva bordo di un insieme. Segno dell'elemento d'area. Differenziale di una funzione. Differenziale di una forma. (12/10/99) L07(10) Teorema di Stokes bidimensionale. Area di una regione piana come integrale curvilineo lungo il bordo. Teorema della divergenza. Potenziale, forme chiuse, forme esatte. Esattezza delle forme chiuse su dischi e rettangoli. (12/10/99) L08(11) Esempio di forma chiusa non esatta. Insiemi semplicemente connessi. Superfici nello spazio. Area di una superficie ed integrale di una funzione. (13/10/99) L09(12) 2-forme nello spazio. Integrazione di 2-forme su superfici parametrizzate. Differenziale di una 1-forma. (13/10/99) E04(13) Discussione sull'esistenza di punti di massimo o minimo relativo interni ad un aperto di R^n per una funzione C^2; non sufficienza della semidefinitezza dell'Hessiano in un punto stazionario per l'esistenza di estremi locali. (13/10/99) E05(14) Calcolo dell'area di un insieme bidimensionale tramite integrale e cambio di variabile e tramite l'applicazione del teorema di Gauss-Green. Condizione necessaria perché una 1-forma su un aperto di R^2 di classe C^1 sia esatta. (13/10/99) L10(15) Problema della orientabilità delle superfici (nastro di Moebius). Definizione di orientazione e orientazione indotta. Formula di Stokes per superfici con bordo. Differenziale di una 2-forma e formula di Stokes per domini in R^3. (14/10/99) E06(16) Quiz su curve, chiusura ed esattezza di forme. (14/10/99) =========================================================================== L11(17) Teoremi della divergenza e del rotore. Versione della formula di Stokes analoga al teorema di integrazione per parti. (19/10/99) L12(18) Definizione implicita di curve e cambiamento di parametro. Enunciato del teorema del Dini. Idea della dimostrazione. (19/10/99) L13(19) Teorema del Dini in più variabili per funzioni scalari. Teorema di invertibilità locale in due e più variabili. Teorema del Dini in più variabili per funzioni vettoriali. (20/10/99) L14(20) Direzioni normali e tangenti a curve e superifici definite implicitamente. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili: motivazione e dimostrazione. Enunciato dell'analogo in più variabili. (20/10/99) E07(21) Esercizi sulle 1-forme differenziali in R^2 e studio delle relazioni con la semplice connessione del dominio. (20/10/99) E08(22) Dimostrazione della commutatività fra prodotto vettore e rotazioni in R^3. Esempio di integrazione di una funzione su una superficie regolare in R^3. (20/10/99) E09(23) Domande-quiz su curve, superfici e formula di Stokes. (21/10/99) L15(24) Equazioni differenziali. Ordine. Enunciato del teorema di esistenza e unicità. Esempi di non prolungabilità. Sistemi. Equivalenza tra equazioni di ordine k e sistemi di k equazioni del primo ordine. (21/10/99) =========================================================================== L16(25) Enunciato del teorema di esistenza e unicità per sistemi. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni esatte. Equazioni a variabili separabili.(26/10/99) L17(26) Equazioni lineari omogenee, spazio delle soluzioni, determinante wronskiano. Riduzione dell'ordine. Equazioni lineari non omogenee, metodo della variazione delle costanti.(26/10/99) L18(27) Equazioni a coefficienti costanti. Equazioni a coefficienti complessi. Polinomi nell'operatore derivazione. Soluzione generale di equazione a coefficienti costanti. (27/10/99) L19(28) Equazione della molla smorzata, con e senza gravità. Problema della stabilità delle soluzioni. Enunciato del teorema di dipendenza continua dai dati iniziali. Sistemi autonomi bidimensionali. Sistemi lineari, cambio di variabili. (27/10/99) E10(29) Risoluzione di esercizi sulla formula di Stokes: integrazione su superfici orientabili in R^3 di 2-forme. (27/10/99) E11(30) Esercizi su moltiplicatori di Lagrange, equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali esatte e lineari omogenee a coefficienti costanti. (27/10/99) L20(31) Dinamica delle soluzioni dei sistemi lineari autonomi bidimensionali del primo ordine a matrice invertibile. Enunciato del teorema di linearizzazione. (28/10/99) E12(32) Risoluzione di quiz proposti sulla formula di Stokes. (28/10/99) =========================================================================== L21(33) Discretizzazione di problemi continui e problemi intrinsecamente discreti. Equazioni alle differenze. Caso lineare, spazio delle soluzioni. (2/11/99) L22(34) Equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Equazione alle differenze approssimante una equazione differenziale del primo ordine ottenuta tramite la serie di Taylor. (2/11/99) L23(35) Serie numeriche. Motivazioni, serie armonica, serie geometriche, criteri di convergenza per serie a termini positivi (confronto, integrale, rapporto, radice). (3/11/99) L24(36) Serie a termini di segno alterno. Riordino ed associazione di termini. Serie assolutamente convergenti. Serie di funzioni. Convergenza. Esempi di convergenza di funzioni continue e derivabili ad una funzione discontinua. (3/11/99) E13(37) Risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee e non, a coefficienti costanti e non; applicazioni del metodo di variazione delle costanti arbitrarie. (3/11/99) E14(38) Esempio di studio qualitativo dell'andamento delle orbite di un'equazione differenziale. Esempi di applicazione del teorema di linearizzazione per sistemi autonomi bidimensionali. (3/11/99) E15(39) Risoluzione di esercizi proposti sulla formula di Stokes, sul teorema del Dini, sul teorema di invertibilità locale, sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange, sulle equazioni differenziali. (4/11/99) L25(40) Continuità del limite uniforme di funzioni continue. Controesempio alla derivabilità. Dimostrazione della derivabilità della somma di una serie nel caso le derivate abbiano norma sommabile. Centro di una serie di potenze. (4/11/99) =========================================================================== L26(41) Raggio di convergenza e sue caratterizzazioni alternative. Esempi di convergenza e non convergenza agli estremi dell'intervallo. (9/11/99) L27(42) Derivabilità termine a termine di una serie di potenze. Integrabilità termine a termine di una serie di potenze. Somma della serie armonica a segno alterno. (9/11/99) L28(43) Funzioni complesse di variabile complessa. Polinomi. Ramificazione delle funzioni radice. Esempi di separazione in parte reale e immaginaria di funzioni. (10/11/99) L29(44) Serie di potenze di variabile complessa. Disco di convergenza. Le funzioni esponenziale, seno, coseno, seno iperbolico e coseno iperbolico e le loro reciproche relazioni. Formula di Eulero. Ramificazione infinita della funzione logaritmo. (10/11/99) E16(45) Esercizi sulle successioni definite per ricorrenza; equazioni alle differenze finite lineari. Studio qualitativo dell'andamento delle orbite di un'equazione differenziale (x'=x^2+t^2). Esempio di convergenza uniforme di funzioni infinitamente derivabili ad una funzione continua. (10/11/99) E17(46) Esercizi sulle serie di potenze: calcolo del raggio di convergenza di alcune serie, analisi del loro comportamento negli estremi dell'intervallo di convergenza. Esempio di funzione infinitamente derivabile ma non analitica, calcolo della somma di una serie di potenze. (10/11/99) E18(47) Risoluzione dei quiz proposti nel compitino fiscale del 6/11/99 e in quello non fiscale del 10/11/99. (11/11/99) L30(48) Analisi della funzione seno. Forme a coefficienti complessi. La forma dz e la sua coniugata. Esempi di calcolo di integrali di forme complesse lungo curve. (11/11/99) =========================================================================== L31(49) Derivazione complessa. Equazioni di Cauchy-Riemann. Armoniche coniugate. Esempi di funzioni derivabili e non. (16/11/99) L32(50) Derivabilità e derivata delle serie di potenze. Conseguenze geometriche delle equazioni di Cauchy Riemann. (16/11/99) L33(51) Curve di livello di parte reale e immaginaria della funzione seno. Operatori di derivazione complessa. Differenziazione di una funzione in termini degli operatori complessi. Teorema di Cauchy-Goursat. (17/11/99) L34(52) Formula di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Espressione delle derivate in forma integrale. (17/11/99) E19(53) Esercizi sulle serie di potenze, calcolo del raggio di convergenza, calcolo esplicito della somma in alcuni casi particolari. Enunciato del teorema di Abel e sua applicazione nel calcolo di pi greco tramite lo sviluppo in serie della funzione arcotangente. (17/11/99) E20(54) Equazioni di Cauchy-Riemann, discussione sull'invertibilità locale di una funzione olomorfa. Esempi di funzioni non olomorfe, chiusura della forma f(z)dz se f è olomorfa su C. Armonicità di Re e Im di una funzione olomorfa, condizione necessaria perché una funzione sia parte reale o immaginaria di una olomorfa. Calcolo del raggio di convergenza di alcune serie di potenze complesse. (17/11/99) E21(55) Risoluzione dei quiz di prova. Integrale di una curva con allacciamento multiplo intorno ad un punto. (18/11/99) L35(56) Olomorfia del limite uniforme di olomorfe. Costanza delle olomorfe limitate sul piano. Dimostrazione del teorema fondamentale della algebra. Principi di identità per le funzioni olomorfe (derivate uguali, zeri isolati). (18/11/99) =========================================================================== L36(57) Divisibilità di una funzione vicino (e lontano) da un suo zero. Serie di Laurent, formula per i coefficienti. (23/11/99) L37(58) Singolarità eliminabili, poli, singolarità essenziali. Esempi e caratterizzazioni attraverso il comportamento locale del modulo della funzione. (23/11/99) L38(59) Insieme di convergenza di una serie con potenze positive e negative. Punto all'infinito del piano complesso. Sfera come estensione del piano. Funzioni meromorfe. Esempio di studio di comportamento all'infinito. (24/11/99) L39(60) Esempi di calcolo di serie di Laurent. Residui, formula fondamentale, metodi di calcolo ed esempi. (24/11/99) E22(61) Esercizi sul raggio di convergenza di serie di potenze, sulle equazioni di Cauchy-Riemann, sulla formula di Cauchy. Equazione alle differenze emergente da una equazione differenziale con incognita olomorfa. (24/11/99) E23(62) Esercizi vari sulle funzioni di variabile complessa. (24/11/99) E24(63) Definizione di una olomorfa tramite traccia al bordo. Soluzione degli esercizi proposti per iscritto (formula di Stokes e equazioni differenziali lineari). (25/11/99) L40(64) Formula dei residui. Calcolo di integrali impropri tramite la teoria dei residui: caso di funzioni infinitesime all'infinito di ordine superiore a 1. Esempi di applicazione. (25/11/99) =========================================================================== E25(65) Risoluzione dei quiz del compitino del 27/11/99. Residui di quozienti di polinomi; caso con differenza dei gradi 1 e maggiore di 1. (30/11/99) L41(66) Secondo teorema per la valutazione di integrali impropri: funzioni infinitesime all'infinito moltiplicate per la esponenziale. Il caso di singolarita' sull'asse reale. Esempi di calcolo esplicito di integrali impropri. (30/11/99) L42(67) Equivalenza tra olomorfia e conformità. Trasformazioni lineari fratte, loro azione sulle rette e sulle circonferenze. Trasformazione del disco nel semipiano. Enunciati del teorema di massimo modulo e di Riemann. (1/12/99) L43(68) Generalità sugli sviluppi di funzioni. Utilità degli sviluppi in funzioni trigonometriche per la risoluzione di equazioni lineari del secondo ordine. (1/12/99) L44(69) Prodotti reali su spazi vettoriali reali e complessi. Complessificazione di uno spazio e di un prodotto scalare. Esempi. Sistemi ortonormali e ortogonali. Minimizzazione della distanza da un sottospazio. Disuguaglianza di Bessel. (1/12/99) L45(70) Sistema ortogonale canonico per le funzioni periodiche integrabili. Coefficienti di Fourier, sommabilità del loro modulo quadro. Completezza delle successioni a quadrato sommabile. (1/12/99) E26(71) Calcolo di alcuni integrali complessi tramite la formula di Cauchy e dei residui. Sviluppo in serie di Laurent di alcune funzioni complesse. (2/12/99) E27(72) Cenni sulla sfera di Riemann e analisi delle funzioni z^{-1} e z^2 su tale sfera. Calcolo del residuo in infinito per una funzione analitica complessa. (2/12/99) =========================================================================== E28(73) Correzione dei quiz di prova di mercoledi' 1/12/99. Correzione di alcuni esercizi sul calcolo di alcuni integrali tramite il teorema dei residui. Discussione sulle serie di Fourier, ortogonalita' delle funzioni trigonometriche. (7/12/99) E29(74) Convergenza uniforme della serie di Fourier di una funzione periodica di classe C^1. Esempio di sviluppo in serie di Fourier e non convergenza puntuale della serie nei punti di salto. Problema isoperimetrico per curve semplici chiuse di classe C^2, sua risoluzione tramite lo sviluppo in serie di Fourier. (7/12/99) L46(75) Convergenza in norma di funzioni continue a tratti all'indicatrice dell'insieme dei razionali. Trancatura della serie di Fourier, nucleo di Dirichlet e sue proprieta'. (9/12/99) L47(76) Lemma di Riemann-Lebesgue, criterio di convergenza del Dini, enunciato del piu' generale criterio di convergenza. Esempi di serie di Fourier e calcolo di pi greco come somma di alcune serie notevoli. (9/12/99) =========================================================================== L48(77) Convergenza uniforme per funzioni derivabili periodiche. Enunciato del teorema di convergenza in media. Integrazione e derivazione termine a termine delle serie di Fourier. (14/12/99) L49(78) Fenomeno di Gibbs, metodo di sommazione alla Cesaro. Uso della serie di Fourier per la soluzione dell'equazione di Laplace nel disco (membrana elastica in equilibrio). (14/12/99) L50(79) Applicazione della serie di Fourier alla soluzione dell'equazione del calore in una barra finita. Trasformata di Fourier come limite della serie. Criterio di convergenza per la trasformazione inversa. (15/12/99) L51(80) Proprieta' della trasformata di Fourier e della sua inversa in relazione a derivazione, shift, cambio scala, convoluzione, prodotto, norma integrale quadratica(15/12/99) E30(81) Esercizi sullo sviluppo in serie di Fourier di funzioni, ed utilizzo di alcuni casi particolari per ottenere espressioni di pi greco. Uguaglianza di Parseval, suo utilizzo in un caso particolare per ottenere la somma degli inversi delle seste potenze dei numeri dispari. (15/12/99) E31(82) Il problema della corda vibrante e la sua soluzione (con ipotesi di sufficiente regolarita'). Distanza di una funzione periodica C^1 da un iperpiano di funzioni periodiche e C^1, calcolo di tale distanza in un caso particolare. (15/12/99) L52(83) Applicazione della trasformata di Fourier allo studio di equazioni alle derivate parziali. Trasformazione della funzione delta e derivazione formale della regola per la trasformazione inversa. (16/12/99) L53(84) Trasformata di Laplace come trasformata di Fourier a un parametro. Insieme di convergenza. Formula per la trasformazione inversa e criterio di convergenza. Relazioni della trasformazione di Laplace con integrazione, derivazione, convoluzione. (16/12/99)