GEOMETRIA E ALGEBRA - INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI - A.A. 99/00 ARGOMENTO DELLE LEZIONI SVOLTE L01(01) Vettori applicati, somma, moltiplicazione per scalare. Traslazioni, omotetie, rotazioni. Matrici 2x2, prodotto per vettori colonna, prodotto di due matrici. Intersezione di rette come sistema. (29/2/00) L02(02) I numeri naturali e gli interi. Definizione di gruppo. I numeri razionali. Definizione di campo. I numeri reali. Irrazionalita' della radice di 2. (29/2/00) L03(03) Principio di induzione, somma dei primi numeri. La successione di Fibonacci. Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Prime conseguenze algebriche delle proprieta' assiomatiche. (1/3/00) E01(04) Alcune proprieta' elementari dei campi. Il campo Z/2Z degli interi modulo due. Esempi di spazi vettoriali: codici binari, spazi di funzioni, spazio delle successioni reali. (2/3/00) L04(05) Sottospazi vettoriali: definizioni equivalenti, esempi. Sottospazio generato da un insieme. Combinazioni lineari. (2/3/00) L05(06) Caratterizzazione del generato in termini di combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi, corrispondenza con R^n, coordinate. Enunciato: nello span di n vettori ce ne sono al piu' n indipendenti. Dimensione di uno spazio. (7/3/00) L06(07) Dimensione di un sottospazio. Somma di due sottospazi. Enunciato della formula di Grassman. Estrazione di una base di un sottospazio da un insieme finito di generatori. (7/3/00) E02(08) Sistemi di generarori, dipendenza lineare, basi. Calcolo delle coordinate di un vettore rispetto a una base data. (8/3/00) L07(09) Estrazione di una base di un sottospazio da un insieme di generatori. Completamento a base di un insieme di vettori indipendenti. Caratterizzazione della somma di due sottospazi. Somma diretta. (9/3/00) L08(10) Dimostrazione della formula di Grassman e del fatto che nel generato di m vettori ce ne sono al piu' m indipendenti. (9/3/00) E03(11) Esercizi sulla formula di Grassman, sul procedimento di estrazione di una base e sul completamento a base. Successioni di tipo Fibonacci. (14/3/00) E04(12) Sottospazi vettoriali: dimensione, somma e intersezione. Formula di Grassman. Sottospazi di R^2 e R^3. (14/3/00) L09(13) Applicazioni lineari, nucleo, immagine. Teorema della dimensione, rango. Spazio delle applicazioni lineari. Esempi. (15/3/00) E05(14) Determinazione di nucleo e immagine su esempi. Codimensione di un sottospazio anche in dimensione infinita. (16/3/00) L10(15) Prodotto righe per colonne. Valori di una applicazione lineare su una base. Dimensione dello spazio delle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione. Corrispondenza tra l'azione dell'applicazione sui vettori e l'azione della matrice sulle coordinate. (16/3/00) E06(16) Calcolo di codimensioni. Trasposizione di un prodotto. Matrice di una applicazione lineare. (21/3/00) E07(17) Applicazioni lineari, Ker e Immagine; matrici associate ad una applicazione lineare. Calcolo della matrice associata ad una applicazione lineare una volta fissate una base in partenza e una in arrivo. (21/3/00) L11(18) Biunivocita' della bigezione tra applicazioni e matrici. Matrice rispetto alla base canonica. Cambio di coordinate corrispondente ad un cambio di base. Cambio di matrice corrispondente ad un cambio di base in partenza ed uno in arrivo. (22/3/00) L12(19) Sistemi lineari, sistemi omogenei, scrittura matriciale, struttura dell'insieme delle soluzioni. Rango di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli. Cenni sul metodo di eliminazione di Gauss. (23/3/00) L13(20) Determinante di una matrice 2x2: derivazione algebrica e geometrica. Cenno alla medesima derivazione nel caso 3x3. Proprieta' caratterizzanti del determinante, enunciato del teorema di esistenza e unicita' in dimensione qualsiasi. (23/3/00) E08(21) Esercizi sulla dimensione di spazi di matrici e sulla rappresentazione di vettori e applicazioni lineari tramite coordinate e matrici. (28/3/00) E09(22) Sistemi lineari e matrici. Metodo di riduzione di Gauss. Calcolo dell'inversa di una matrice con il metodo di Gauss. (28/3/00) L14(23) Riduzione di una matrice in forma triangolare inferiore con operazioni di colonna. Idea della dimostrazione dell'esistenza e unicita' del determinante. Formula del determinante di una matrice nxn come somma di n! fattoriale termini: descrizione qualitativa. (29/3/00) L15(24) Formalizzazione della formula per il determinante. Determinante della trasposta. Riassunto delle regole di calcolo del determinante con operazioni di riga e colonna. Formule di sviluppo di Laplace. Teorema di Binet. (30/3/00) E10(25) Esercizi sulle proiezioni su sottospazi, su coordinate di vettori e matrici di applicazioni. (30/3/00) E11(26) Correzione del fac-simile di quiz proposto. Esercizi su coordinate e matrici. (04/4/00) E12(27) Determinante. Sviluppo secondo una riga o una colonna. Esempi di calcolo. (04/4/00) L16(28) Formula dell'inversa di una matrice, teorema di Kramer, orlati di una sottomatrice ed enunciato del teorema degli orlati.(05/4/00) L17(29) Algoritmo di calcolo per il rango di una matrice. Dimostrazione del teorema degli orlati. (06/4/00) L18(30) Traslazioni e sottospazi affini. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio. Equazioni sovrabbondanti e determinazione della dimensione. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e viceversa per una retta nello spazio.(06/4/00) E13(31) Correzione delle domande-quiz del compitino. Esercizi sulle proiezioni e sui sistemi lineari. Matrici simmetriche e antisimmetriche. (11/4/00) E14(32) Metodo dei minori orlati per il calcolo del rango di una matrice. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine, passaggio dalle une alle altre a viceversa. (11/4/00) L19(33) Equazioni cartesiane e parametriche di piani. Parallelismo. Somma di due sottospazi: dimensione e sottospazio vettoriale parallelo. Analisi di tutte le possibilita' per una coppia di rette nello spazio. (12/4/00) L20(34) Estensione dei reali tramite l'unita' immaginaria. Numeri complessi come campo. Corrispondenza con il piano di Gauss. Rappresentazione polare: modulo e argomento. Significato geometrico di somma e prodotto. Esponenziale di un numero immaginario. Giustificazione tramite la serie di Taylor. Inverso, coniugato, parte reale, parte immaginaria: le formule fondamentali. (13/4/00) L21(35) Differenziale come applicazione lineare. Significato del determinante jacobiano e formula di cambiamento di variabile negli integrali multipli. (13/4/00) E15(36) Esercizi sulla geometria affine, il determinante, la somma diretta. (27/4/00) L22(37) Disuguaglianze triangolari, radici dell'unita', teorema fondamentale dell'algebra, molteplicita' delle radici, esponenziale complessa, cenni sulla questione del logaritmo complesso. (27/4/00) E16(38) Numeri complessi, spazi vettoriali complessi, sistemi lineari complessi. Spazio vettoriale reale soggiacente ad uno spazio vettoriale complesso. (2/5/00) E17(39) Applicazioni R-lineari e C-lineari, matrici reali associate ad applicazioni C-lineari. (2/5/00) L23(40) Lunghezza e ortogonalita' di vettori nel piano. Prodotto scalare standard in R^n. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale. Forme bilineari (simmetriche) associate a matrici (simmetriche). (3/5/00) L24(41) Proprieta' della norma e della distanza associata. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Sistemi ortogonali. Basi ortonormali. Coordinate rispetto ad una base ortonormale. (4/5/00) L25(42) Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Ortogonale di un sottospazio. Proiezioni ortogonali. (4/5/00) E18(43) Esercizi su ortonormalizzazione e proiezione ortogonale. (9/5/00) E19(44) Prodotti scalari. Basi ortonormali, calcolo delle coordinate rispetto ad una base ortonormale. Forma quadratica associata ad un prodotto scalare. (9/5/00) L26(45) Matrici simmetriche e ortogonali. Prodotti scalari hermitiani su spazi complessi. Matrici hermitiane e unitarie. (10/5/00) L27(46) Problema della rappresentazione di una applicazione in una matrice conveniente. Similitudine di matrici. Diagonalizzabilita'. (10/5/00) E20(47) Esercizi sul prodotto scalare reale. (10/5/00) L28(48) Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico, studio di alcuni coefficienti di tale polinomio, buona definizione per similitudine. (11/5/00) L29(49) Diagonalizzabilita' di matrici con autovalori distinti. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Criterio generale di diagonalizzabilita'. Diagonalizzabilita' delle simmetriche tramite ortogonali. (11/5/00) L30(50) Definitezza positiva di una matrice simmetrica. Diagonalizzabilita' sui complessi delle matrici che commutano con la trasposta coniugata. Forme canoniche reali di antisimmetriche e ortogonali (enunciato). Definitezza positiva di una hermitiana. (17/5/00) E21(51) Esercizi sul prodotto scalare hermitiano e la geometria affine complessa. (18/5/00) E22(52) Esercizi su autovalori, autovettori, diagonalizzabilita'. (18/5/00) E23(53) (Esercitazione finale facoltativa.) Correzione degli esercizi dello scritto di prova. (23/5/00) E24(54) (Esercitazione finale facoltativa.) Correzione degli esercizi dello scritto di prova. (23/5/00)